2011年安徽高考理数深度解析word版

1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 50 分 分 一 选择题 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设 是虚数单位 复数为纯虚数 则实数为 i ai i a A 2 B 2 C D 2 1 2 双曲线的实轴长是xy A 2 B C 4 D 4 3 设是定义在上的奇函数 当时 则 f xRx f xxx f A 3 B 1 C 1 D 3 设变量满足则的最大值和最小值分别为 x y1 xy 2xy A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 5 在极坐标系中 点 到圆 的圆心的距离为 2cos A 2 B C D 2 4 9 2 1 9 3 6 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几 何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 7 命题 所有能被 2 整除的数都是偶数 的否定是 A 所有不能被 2 整除的数都是偶数 B 所有能被 2 整除的数都不是偶数 C 存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D 存在一个能被 2 整除的数不是偶数 8 设集合则满足且的集合的个数 1 2 3 4 5 6 A 4 5 6 7 B SA SB S 为 来源 A 57 B 56 C 49 D 8 9 已知函数 其中为实数 若对恒成立 且 sin 2 f xx 6 f xf xR 2 则的单调递增区间是 2 ff f x A B 36 kkkZ 2 kkkZ C D 2 63 kkkZ 2 kkkZ 10 函数在区间 0 1 上的图像如图 mn f xaxx g 所示 则 m n 的值可能是 A B 1 1mn 1 2mn C D 2 1mn 3 1mn 第 II 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 12 设 则 21 21 2 210 21 1 xaxaxaax 1110 aa 13 已知向量 a b 满足 且 则 a 与 b 的夹角为 6 2 baba1 a2 b 14 已知的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的等差数列 则的ABC ABC 面积为 15 在平面直角坐标系中 如果与都是整数 就称点为整点 下列命题中正确xy yx 的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果与都是无理数 则直线不经过任何整点kbykxb 直线 经过无穷多个整点 当且仅当 经过两个不同的整点ll 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是 与都是有理数ykxb kb 存在恰经过一个整点的直线 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答 写在答题卡的制定区域内 16 本小题满分 12 分 设 其中为正实数 2 1 ax e xf x a 当时 求的极值点 a 4 3 f x 若为上的单调函数 求的取值范围 f xRa 17 本小题满分 12 分 如图 为多面体 平面与平面ABCDEFABED 垂直 点在线段上 ACFDOAD1 OA 2 ODOAB OAC ODE ODF 都是正三角形 证明直线 BCEF II 求棱锥 F OBED 的体积 18 本小题满分 13 分 在数 1 和 100 之间插入个实数 使得这个数构成递增的等比数列 将这个数的n2n 2n 乘积记作 再令 n T lg nn aT 1n 求数列的通项公式 n a 设求数列的前项和 1 tantan nnn aab n bn n S 19 本小题满分 12 分 来源 设证明1 1 yx xy yxxy yx 111 证明cba 1 cbaacb acbcba loglogloglogloglog 20 本小题满分 13 分 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每个 人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出 再派 下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别为 假设互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互独立 p pp p pp 如果按甲在先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个人 被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为 其中 321 qqq 4 是的一个排列 求所需派出人员数目的分布列和均值 数字期望 321 qqq 321 pppX EX 假定 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可使所需派出的人员数目 321 1ppp 的均值 数字期望 达到最小 21 本小题满分 13 分 设 点的坐标为 1 1 点在抛物线上运动 点满足 经 AB 2 xy Q QABQ 过点与轴垂直的直线交抛物线于点 点满足 求点的轨迹方程 QxMP MPQM P 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 参考答案与解析参考答案与解析 5 1 A 解析 设 则 所以 故选 A ai bi bR i 1 2 2aibiibbi 1 2ba 2 C 解析 可变形为 则 故选 C xy 22 1 48 xy 2 4a 2a 24a 3 A 解析 故选 A 2 1 1 2 1 1 3ff 4 B 解析 不等式对应的区域如图所示 1xy 当目标函数过点 0 1 0 1 时 分别取最小或最大值 所以的最大值和最小值2xy 分别为 2 2 故选 B 5 D 解析 极坐标化为直角坐标为 即 圆的极坐标方程 2cos 2sin 33 1 3 可化为 化为直角坐标方程为 即 2cos 2 2 cos 22 2xyx 22 1 1xy 所以圆心坐标为 1 0 则由两点间距离公式 故选 D 22 1 1 30 3d 6 C 解析 由三视图可知几何体是左右侧面是等腰梯形的直棱柱 左右侧面等腰梯形的上底为 2 下底为 4 高为 4 两侧面面积和为 1 224424 2 其余四个面的面积为 4 422 17248 17 6 所以几何体的表面积为 故选 C 488 17 7 D 解析 把全称量词改为存在量词 并把结果否定 8 B 解析 集合 A 的所有子集共有个 其中不含 4 5 6 7 的子集有个 所以集合 6 264 3 28 共有 56 个 故选 B S 9 C 解析 若对恒成立 则 所以 6 f xf xR sin 1 63 f 由 可知 32 kkZ 6 kkZ 2 ff kZ 即 所以 代入sin sin 2 sin0 21 6 kkZ 得 由 得 sin 2 f xx sin 2 6 f xx 3 222 262 kxk 故选 C 2 63 kxk 10 B 解析 代入验证 当 则1 2mn f xaxxn xxx g 由可知 结合图像可 fxaxx fxaxx 12 1 1 3 xx 知函数应在递增 在递减 即在取得最大值 由 1 0 3 1 1 3 1 3 x 知 a 存在 故选 B fa g 11 15 解析 由算法框图可知 若 T 105 则 K 14 继续执行 1 123 2 k k Tk 循环体 这时 k 15 T 105 所以输出的 k 值为 15 12 0 解析 所以 101110 102121 1 aCC 111011 112121 1 aCC aaCC 13 60 解析 则 即 26abab 22 26aa bb 22 12 26a b 所以 所以 1a b 1 cos 2 a b a b ab 60a b 14 15 3 7 解析 设三角形的三边长分别为 最大角为 由余弦定理得4 4aa a 则 所以三边长为 6 10 14 ABC 的面 222 4 4 2 4 cos120aaaa a 10a 积为 1 6 10 sin12015 3 2 S 15 解析 令满足 故 正确 若 过整点 1 2 yx 2 2kb 22yx 1 0 所以 错误 设是过原点的直线 若此直线过两个整点 ykx 1122 x yxy 则有 两式相减得 则点也在直线 11 ykx 22 ykx 1212 yyk xx 1212 xxyy 上 通过这种方法可以得到直线 经过无穷多个整点 通过上下平移得对于ykx lykx 也成立 所以 正确 与都是有理数 直线不一定经过整点 错ykxb kbykxb 误 直线恰过一个整点 正确 2yx 16 本小题满分 12 分 本题考查导数的运算 极值点的判断 导数符号与函数单调变化 之间的关系 求解一元二次不等式 考查运算能力 综合运用知识分析和解决问题的能 力 解 对求导得 xf 22 2 1 21 ax axax exf x 1 I 当时 若 则解得 3 4 a 0 x f 0384 2 xx 2 3 1 x 2 1 2 x 结合 可知 1 x 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 x f 0 0 xf极大值极小值 所以 是极小值点 是极大值点 2 3 1 x 2 1 2 x II 若为上的单调函数 则在上不变号 结合与条件 知 xfR x f R 1 0 a 012 2 axax 8 在上恒成立 因此 由此并结合 知R0 1 444 2 aaaa0 a 10 a 17 本小题满分 13 分 本题考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 空间直线平行的证明 多面体体积的计算 考查空间想象能力 推理论证能力和运算 求解能力 I 综合法 证明 设 G 是线段与延长线的交点 由于与都是正三角形 所DAEBOAB ODE 以 OBDE 2 1 2 ODOG 同理 设是线段与延长线的交点 有 又由于和都 G DAFC2 ODGOG G 在线段的延长线上 所以和重合 DAG G 在和中 由 和 可知和分别是和GED GFD OBDE 2 1 OCDF 2 1 BCGE 的中点 所以是的中位线 故 GFBCGEF BCEF 向量法 过点作 交于点 连 由平面平面 知FADFQ ADQQE ABEDADFC 平面 以为坐标原点 为轴正向 为轴正向 为 FQABEDQ QEx QDy QF 轴正向 建立如图所示空间直角坐标系 z 由条件知 0 0 3 E 3 0 0 F 0 2 3 2 3 B 2 3 2 3 0 C 则有 2 3 0 2 3 BC 3 0 3 EF 所以 即得 BCEF2BCEF II 解 由 知 而是边长为 2 的1 OB2 OE 0 60 EOB 2 3 EOB SOED 正三角形 故 所以 3 EOD S 2 33 OEDEOBOBED SSS 9 过点作 交于点 由平面平面知 就是四棱锥FDGFQ DGQABED ACFDFQ 的高 且 所以 OBEDF 3 FQ 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 18 本小题满分 13 分 本题考查等比和等差数列 指数和对数的运算 两角差的正切公 式等基本知识 考查灵活运用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 解 I 设构成等比数列 其中 则 221 n ttt 1 1 t100 2 n t 2121 nnn ttttT 1 1212 ttttT nnn 2 并利用 得 1 2 2 213 10 nini tttt21 ni 2 2 12211221 2 10 n nnnnn ttttttttT 2lg nTa nn 1 n II 由题意和 I 中计算结果 知 3tan 2tan nnbn1 n 另一方面 利用 kk kk kk tan 1tan 1 tan 1tan 1tan 1tan 得 1 1tan tan 1tan tan 1tan kk kk 所以 2 3 2 31 1 1tan tan 1tan tan 1tan n k n k n k kn kk kkbS n n 1tan 3tan 3tan 19 本小题满分 12 分 本题考查不等式的基本性质 对数函数的性质和对数换底公式等 基本知识 考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力 证明 I 由于 所以1 x1 y xy yxxy yx 111 2 1 xyxyyxxy 将上式中的右式减左式 得 1 2 yxxyxyxy 10 1 2 yxyxxyxy 1 1 1 xyyxxyxy 1 1 yxxyxy 1 1 1 yxxy 既然 所以 从而所要证明的不等式成立 1 x1 y0 1 1 1 yxxy II 设 由对数的换底公式得xb a logyc b log xy a c 1 log x a b 1 log y b c 1 log xyc a log 于是 所要证明的不等式即为 xy yxxy yx 111 其中 1log bx a 1log cy b 故由 I 立知所要证明的不等式成立 20 本小题满分 13 分 本题考查相互独立事件的概率计算 考查离散型随机变量及其分 布列 均值等基本知识 考查在复杂情景下处理问题的能力以及抽象概括能力 合情 推理与演绎推理 分类讨论思想 应用意识与创新意识 解 I 无论以怎样的顺序派出人员 任务不能被完成的概率都是 1 1 1 321 ppp 所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关 被等于 321313221321321 1 1 1 1ppppppppppppppp II 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时 随机变量的分 321 qqqX 布列为 X123 P 1 q 21 1 qq 1 1 21 qq 所需派出的人员数目的均值 数学期望 是EX 1 1 3 1 2 21211 qqqqqEX 2121 23qqqq III 方法一 由 II 的结论知 当以甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人时 11 2121 23ppppEX 根据常理 优先派出完成任务概率大的人 可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明 对于的任意排列 都有 321 ppp 321 qqq 21212121 2323ppppqqqq 事实上 23 23 21212121 ppppqqqq 21212211 2qqppqpqp 2 2212112211 qpqpqpqpqp 1 2 221112 qpqqpp 1 21211 qqppq 0 即 成立 方法二