武大控制测量学 第11-12章控制网平差

第十一 十二章控制网平差 本章提要 11 1条件平差数学模型和公式11 2水准网按条件平差算例11 3附合导线按条件平差算例12 1参数平差数学模型和公式12 2高程网参数平差及算例12 3三角网网参数平差及算例 习题 本章提要 本章讲述条件平差与参数平差的原理及基本数学模型 两种方法计算结果是完全相同的 还介绍了高程网条件平差 三角网条件平差 附合导线条件平差 高程网参数平差 三角网参数平差 并给出了算例 1 条件平差与参数平差原理2 条件平差的步骤及相应数学模型 3 能分别采用条件平差与参数平差解决高程控制网 平面控制网平差 知识点及学习要求 难点 在本章学习过程中 伴随有大量的公式推导与应用 特别是控制网条件方程与误差方程列立 法方程解算为本章的突破点 11 1条件平差数学模型和公式 设某一平差问题中有个误差独立的观测值 个函数独立的未知数 必要观测数 多余观测数为 记 观测值 相应权阵 平差值改正数 平差值 1 条件平差的数学模型和公式1 平差值方程 1 式中 1 2 为条件方程的系数 为条件方程的常项数 2 改正数条件方程 以 1 2 代入 1 得纯量形式为 2 式中 为条件方程的闭合差 或称为条件方程的不符值 即 令 矩阵形式为 4 3 3 改正数方程上改正数条件方程式中的解不是唯一的解 根据最小二乘原理 在的无穷多组解中 取 最小的一组解是唯一的 的这一组解 可用拉格朗日乘数法解出 为此 设 称为联系数向量 它的唯数与条件方程个数相等 按拉格朗日乘数法解条件极值问题时 要组成新的函数 将 对求一阶导数 并令其为零得 5 上式称为改正数方程 其纯量形式为 i 1 2 n 6 4 法方程 将代入得 矩阵形式为 7 上式称为联系数法方程 简称法方程 式中法方程系数距阵 为 因故 是阶的对称方阵 法方程的纯量形式为 8 从法方程解出联系数K后 将值代入改正数方程 求出改正数值 再求平差值 这样就完成了按条件平差求平差值的工作 2 条件平差法求平差值的步骤 根据平差问题的具体情况 列出平差值条件方程式 1 并转化为改正数的条件方程 2 条件方程的个数等于多余观测的个数r 根据条件方程的系数 闭合差及观测值的权组成法方程式 8 法方程的个数等于多余观测的个数 解法方程 求出联系数K 并代入法方程检验 将K代入改正数方程 6 求改正数值 将V代入平差值方程求平差值 将平差值代入平差值方程 检验是否满足条件 精度评定 2 精度评定 1 单位权中误差 从中误差计算公式可知 为了计算 关键是计算 下面将讨论的计算方法 由直接计算 由联系数及常数项计算 直接在高斯 杜力特表格中解算 2 平差值函数的权倒数 设有平差值函数为它的权函数式为 令则 这就是高斯约化表中的计算公式 其规律与计算规律完全相同 11 2水准网按条件平差算例 在如图1所示水准网中 两点高程及各观测高差和路线长度列于 表1 中 试求 及点高程之最或然值 点间平差后高差的中误差 解 列条件方程式 不符值以 mm 为单位 已知 故 其条件方程式为 列函数式 故 组成法方程式 1 令每公里观测高差的权为1 按1 将条件方程系数及其与权倒数之乘积填于 表2 中 2 由下表2数字计算法方程系数 并组成法方程式 0 表2条件方程系数表 续表 4 法方程式的解算 1 解算法方程式在 表3 中进行 2 计算之检核 由表3中解得 两者完全一致 证明表中解算无误 5 计算观测值改正数及平差值 见表4 6 计算点高程最或然值 m m m 表3高斯 杜力特表格 表4改正数与平差值计算表 7 精度评定 单位权 每公里观测高差 中误差 mm 点间平差后高差中误差 mm 11 3附合导线按条件平差算例 1 附合导线的条件平差方程式 如图1所示 符合在已知 之间的单一符合导线有条与是已知方位角 设观测角为 测角中误差为 观测边长为 测边中误差为 1 2 此导线共有个观测值 有个未知数 故则 因此 应列出三个条件方程 其中一个是坐标方位角条件 另两个是纵 横坐标条件 1 坐标方位角条件设观测角的改正数为 1 2 1 观测边的改正数为 1 2 由图1知 式中 方位角条件的不符值 按 若导线的A点B与点重合 则形成一闭合导线 由此坐标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件 2 纵 横坐标条件设以 表示 图1 中各导线边的纵坐标增量之平差值 表示 图1 中各导线边的横坐标增量之平差值 由图可写出以坐标增量平差值表示的纵 横坐标条件 1 令 则 2 将上式代入式 2 得纵坐标条件式 且同理已可得横坐标的条件式即 3 上式就是单一符合导线的纵 横坐标条件方程 为条件式的不符值 按 式中 是由观测值计算的各导线点的近似坐标 计算时一般以秒为单位 以cm为单位 若 以m为单位 则 从而使全式单位统一 若单一导线的与点重合形成闭合导线 则纵 横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合条件 以增量平差值表示为 2 符合导线的精度评定1 单位权中误差 单一符合导线计算单位权中误差公式与边角网相同 按 2 平差值的权函数式 为了平定平差值函数的精度 必须要列出权函数式 一般有下列三种函数式 边长平差值权函数式由导线边故其权函数式为 坐标平差值的权函数式由 23页图1 得点坐标平差值的权函数式为 坐标方位角平差值权函数式由 23页图1 得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为 3 附合导线按条件平差算例 在下图2所示附合导线中A B为已知点 其坐标为 方位角 应用红外测距仪观测导线的转折角和边长列入下表1 试按条件平差法 求各观测值及平差后边的边长相对中误差 表1近似坐标计算 解 1 确定观测值的权 测角中误差 边长中误差按仪器给定公式为 cm 式中 以cm为单位 由上式算得 cm cm cm cm 以角度观测的权为单位权 即 表2条件方程及权函数式系数表 续表 则边长的权为 边长权倒数为 2 计算条件方程式不符值 由表1得 3 计算条件方程式系数及权函数式系数 列于上表2中 4 组成法方程式并解算 根据上表2中系数组成法方程系数 然后填于下表3中相应行内 法方程式的解算在下表3中进行 cm cm 表3法方程式解算表 5 计算改正数和平差值 由法方程解算表解得的联系数k和观测边加相应改正数 即得角度和边长平差值 计算见下表4 表4观测值之平差值计算 6 计算边的精度 1 单位权中误差 按 计算边的中误差 2 边长相对中误差 12 1参数平差数学模型和公式 1 参数平差 间接平差 数学模型 1 平差值方程 设平差问题中 有个不等精度的独立观测 相应权为 1 2 并设需个必要观测 用表示选定的未知数 按题列出个平差值方程为 2 误差方程 令则1式为 其中 1 2 则2式的矩阵形式为 若设 3 法方程式中有个待定的改正数和个未知数 共个待定量 而方程只有个 所以有无穷多组解 为了寻求一组唯一的解 根据最小二乘原理按的准则求 按数学上求函数自由极值的理论 即 转置后得 代3式代入4式得法方程 令 5式可表示为 其纯量形式为 将上式算得的代入式2求出改正数向量V 进而求出观测平差值 2 按间接平差法求平差值的计算步骤 根据平差问题的性质 选择个独立量作为未知数 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数 若函数为非线性要将其线性化 列出误差方程 由误差方程系数和自由项组成法方程 法方程个数等于未知数个数 解算法方程 求出未知数改正数 计算未知数 由误差方程计算V 求出观测量平差 3 精度评定 1 单位权中误差和的计算同条件平差一样 间接平差单位权中误差公式为 的计算方法为 或 由 直接计算 由未知数改正数及法方程常数项及计算 在高斯 杜力特表中解算 2 未知数函数的权倒数和中误差设某平差问题的未知数的函数为 它的权函数式为 则上式的矩阵形式为 根据权逆阵的传播律 得未知数的权倒数 则的中误差为 3 未知数的权逆阵和中误差 由法方程 得 由权逆阵的传播律得 即法方程系数距阵的逆阵就是知数向量的权逆阵 令 因为法方程系数阵是一个对称方阵 故它的逆阵也为对称方阵未知数的权逆阵 通常又称为权系数阵 其对角线上的元素为未知数的权倒数 非对角线上的元素称为未知数关于的相关权倒数 而所有的元素又称为权系数 权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外 还可以用高斯约化法求权系数的方法 则任一未知数的中误差为 12 2高程网参数平差及算例 1 未知数个数的确定在间接平差中 未知数个数就等于必要观测个数 2 未知数的选取在水准网中 即可以选取待定点高程作为未知数 也可选取高差作为未知数 但一般是选高程为未知数 例如在下图1中 就是选取待定点高程作为未知数的 3 算例在下图1所示水准网 已知水准点A的高程为m 为求B C D三点的高程 进行了水准测量 及观测高差及水准路线长度载于下表1中 试按间接平差法求定B C D三点高程的平差值 解 按题意知必要观测数t 3 选取B C D三点高程 为参数根据图示水准路线写出5个平差值方程 则误差方程为 将观测高差和已知点高程代入上式 即可计算误差方程的常数项 此时 这些常数项具有5 6个数字 这对后续计算是不利的 为了便于计算 选取参数的近似值 这样 后续计算求定的只是未知数近似值改正数 它们的关系为 将上二式代入误差方程 得 取10km的观测高差为单位权观测 即按 定权 得各观测值的权分别为 组成法方程为 解法方程 得 mm mm mm 代人误差方程得 mm mm mm mm 最后得平差值 m m m m m m mm m m 12 3三角网参数平差及算例 1 未知数的选定平面控制网参数平差总是选择未知点x y的坐标为平差参数 2 测角网坐标平差误差方程列立 这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时 误差方程列立及线性化问题 如下图1为某一测角网的任一角为三个待定点 它们的近似坐标为改正数为 则平差值分别为 由图1可得的平差值方程为 令 误差方程为 式中 或写为 讨论 1 若测站点为已知点时 则 0有 得 若照准点为已知点 则有 0 得 3 若某边的两个端点均为已知点 则 0 4 同一边的正反坐标方位角的改正数相等 它们与坐标改正数的关系也一样 即 因为 顾及 综上所述 对于角度观测的三角网 采用间接平差 选择待定点的坐标为未知数时 列误差方程的步骤为 计算各待定点的近似坐标 由待定点的近似坐标和已知点坐标计算各边的近似坐标方位角和近似边长 计算各边的坐标方位角改正数 并计算其系数列出误差方程 据此 实际计算时 只要对每条待定边计算一个方向的坐标方位角改正数方程即可 3 测边网坐标平差误差方程列立 如下图2为某一测边网中的任意一条边 为两个待定点 它们的近似坐标为 改正数为则 的坐标平差值为 由右图2可写出的平差值方程为 按台劳公式展开 得 讨论 1 若为已知点 则 若为已知点 则 2 若 均为知点 则该边为固定边 不需要列误差方程 3 某边的误差方程 按方向列立与按方向列立结果完全相同 若按方向 则 按方向 则 顾及 4 三边网参数平差算例 同精度测得如右图3中的三个边长 其结果为 m m m 已知点A B C的起算数据列于下表1 试列出误差方程并求平差值 表1 解 1 本题 选择待定点的坐标和为未知数 其近似值和由已知点 和观测边 交会计算而得 图4中 设为三角形底边上的高 为在上的投影 得 按此 计算待定点 的近似坐标 m m m m 图4 2 根据近似坐标和已知点坐标计算误差方程的系数和常数项 计算数值列在表2中 表2 由表2的最后三列数值 按式写出误差方程 3 求平差值 根据误差方程组成法方程 解算法方程 得m m 待定点坐标平差值为 将代入误差方程计算观测值的改正数并从而求得平差值 m 习题 1 在图1的水准网中 观测高差及路线长度见下表 已知A B点高程为 50 000m 40 000m 试用条件平差法求 1 各观测高差的平差值 2 平差后到点间高差的中误差 2 有闭合导线如下图2 观测4条边长和5个左转折角 已知测角中误差 边长中误差mm 计算 以m为单位 起算数据为