第8章 组合变形

第8章组合变形 8 1概述8 2斜弯曲8 3拉伸 压缩 与弯曲的组合8 4扭转与弯曲的组合 8 1概述 一 组合变形的概念构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形 则构件的变形称为组合变形 二 解决组合变形问题的基本方法 叠加法 叠加原理的成立要求 内力 应力 应变 变形等与外力之间成线性关系 三 工程实例 拉伸 剪切和弯曲的组合变形 1 外力分析将外力简化并沿主惯性轴分解 将组合变形分解为基本变形 使之每个力 或力偶 对应一种基本变形 3 应力分析画出危险截面的应力分布图 利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加 建立危险点的强度条件 四 处理组合变形的基本方法 2 内力分析求每个外力分量对应的内力方程和内力图 确定危险截面 分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形 屋架传来的压力 吊车传来的压力 风力 4 强度分析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算 8 2斜弯曲 两相互垂直平面内的弯曲 一 非对称弯曲 横向力虽然通过截面的弯曲中心 但与形心主惯性平面存在一定夹角 在这种情况下 梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内 这种弯曲变形称为斜弯曲 二 斜弯曲的分析方法 2 叠加对两个平面弯曲进行研究 然后将计算结果叠加起来 Fz Fy y z F j B A 1 分解将外载沿横截面的两个形心主轴分解 于是得到两个正交的平面弯曲 梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲 z轴为中性轴 梁的轴线 梁的轴线 水平纵向对称面 梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲 y轴为中性轴 三 梁内任意横截面上的内力分析 B A x My Fzx Fxsin 使梁在xz平面内弯曲 y为中性轴 Mz Fyx Fxcos 使梁在xy平面内弯曲 z为中性轴 m m 四 横截面上的应力分析 1 与My相应的正应力为 2 与Mz相应的正应力为 C点处的正应力 五 横截面上中性轴的位置 中性轴上的正应力为零 假设点e z0 y0 为中性轴上任意一点 Mz O e z0 y0 中性轴方程为 中性轴是一条通过横截面形心的直线 My 中性轴的位置由它与y轴的夹角 确定 公式中角度 是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角 横截面上合成弯矩M为 y0 y z O 公式中角度y是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角 中性轴 Mz My 讨论 1 一般情况下 截面的Iz Iy 故中性轴与合成弯矩M所在平面不垂直 此为斜弯曲的受力特征 所以挠曲线与外力 合成弯矩 所在面不共面 此为斜弯曲的变形特征 2 对于圆形 正方形等Iy Iz的截面 有 y 梁发生平面弯曲 正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算 梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线 故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算 不能直接用合成弯矩进行计算 六 最大正应力分析 作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于D1 D2两点 D1 D2两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点 O D1 D2 对于矩形 工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面 梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处 可根据梁的变形情况 直接确定截面上最大拉 压应力点的位置 无需定出中性轴 D2 D1 O 七 强度条件 斜弯曲的危险点处于单向应力状态 所以强度条件为 八 斜弯曲的挠度 分别求出Fy引起的挠度wy和Fz引起的挠度wz 方法 叠加原理 总挠度为w 总挠度与轴的夹角为y 1 首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加 2 确定两个平面弯曲的最大弯矩 3 计算最大正应力并校核强度 查表 4 讨论 吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊 不允许在大梁的侧面斜方向起吊 一般生产车间所用的吊车大梁 两端由钢轨支撑 可以简化为简支梁 如图示 图中l 4m 大梁由32a热轧普通工字钢制成 许用应力 170MPa 起吊的重物重量F 80kN 且作用在梁的中点 作用线与y轴之间的夹角 5 试校核吊车大梁的强度是否安全 图示矩形截面梁 截面宽度b 90mm 高度h 180mm 梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2 若已知F1 800N F2 1650N L 1m 试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置 x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 40 80 z y O ad bc 例题3矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示 试确定危险截面上危险点所在的位置 计算梁内最大正应力的值 解 1 外力分析 梁在F2的作用下将在xOz平面内发生平面弯曲 y为中性轴 故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合 斜弯曲 梁在F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲 z为中性轴 x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 2 绘制弯矩图 绘出Mz x 图 绘出My x 图 A截面为梁的危险截面 Mz 1kN m My 1kN m x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m Mz使A截面上部受拉 下部受压 My使A截面前部受拉 后部受压 3 应力分析 D1是最大拉应力点 D2是最大压应力点 两点正应力的绝对值相等 拉 压 拉 压 拉 压 拉 压 4 中性轴的位置 5 绘制总应力分布图 D1 7 02 D2 7 02 拉 压 一 受力特点 Characterofexternalforce 杆件将发生拉伸 压缩 与弯曲组合变形 作用在杆件上的外力既有轴向拉 压 力 还有横向力 二 变形特点 Characterofdeformation 8 3拉伸 或压缩 与弯曲的组合 Combinedaxialloadingandbending F1产生弯曲变形 F2产生拉伸变形 Fy产生弯曲变形 Fx产生拉伸变形 示例1 示例2 三 内力分析 Analysisofinternalforce 横截面上内力 internalforceoncrosssection 2 弯曲 1 拉 压 轴力FN axialforce 弯矩Mz bendingmoment 剪力Fs shearforce 因为引起的切应力较小 故一般不考虑 横截面上任意一点 z y 处的正应力计算公式为 四 应力分析 Analysisofstress 1 拉伸正应力 Axialnormalstress 2 弯曲正应力 Bendingnormalstress 轴力 axialforce 所以跨中截面是杆的危险截面 3 危险截面的确定 Determinethedangercrosssection 作内力图 弯矩 bendingmoment 拉伸正应力 最大弯曲正应力 杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为 4 计算危险点的应力 Calculatingstressofthedangerpoint 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件 五 强度条件 Strengthcondition 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态 故其强度条件为 正确答案是 c 设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端D还有0 4m处时 吊车横梁处于最不利位置 已知小车和重物的总重量F 20kN 钢材的许用应力 160MPa 暂不考虑梁的自重 按强度条件选择横梁工字钢的型号 B左截面压应力最大 查表并考虑轴力的影响 例题6正方形截面立柱的中间处开一个槽 使截面面积为原来截面面积的一半 求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍 F F 1 1 未开槽前立柱为轴向压缩 解 F 开槽后1 1是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力F向1 1形心简化 例题7矩形截面柱如图所示 F1的作用线与杆轴线重合 F2作用在y轴上 已知 F1 F2 80kN b 24cm h 30cm 如要使柱的m m截面只出现压应力 求F2的偏心距e 解 1 外力分析将力F2向截面形心简化后 梁上的外力有 轴向压力 力偶矩 F1 m m 2 m m横截面上的内力有 轴力 弯矩 轴力产生压应力 弯矩产生的最大正应力 3 依题的要求 整个截面只有压应力 得 F1 m m 六 偏心拉 压 Eccentricloads 一 单向偏心拉伸 压缩 单向偏心压缩时 距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力 而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧 其值可能是拉应力 也可能是压应力 二 双向偏心拉伸 压缩 1 外力分析 2 内力分析 3 应力计算 A B C D 七 截面核心 令y0 z0代表中性轴上任一点的坐标 中性轴是一条不通过截面形心的直线 中性轴 中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对两侧 且偏心力作用点离形心越近 中性轴就离形心越远 当偏心距为零时 中性轴位于无穷远处 当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时 可使得中性轴恰好与周边相切 这时横截面上只出现压应力 该限界所围成的区域 截面的形心 y z y z y z y z 当外力作用在截面核心的边界上时 与此相应的中性轴正好与截面的周边相切 截面核心的边界就由此关系确定 截面核心的确定 Determinethekernofasection 例8求圆形截面的截面核心 y z O d 解 作切线 为中性轴 在两个形心主惯性轴上的截距分别为 圆截面的惯性半径 由于圆截面对于圆心O是对称的 因而 截面核心的边界对于圆也应是对称的 从而可知 截面核心边界是一个以O为圆心 以d 8为半径的圆 解 作切线 为中性轴 得两截距分别为 矩形截面的 例9求矩形截面的截面核心 2 同理 分别作切线 可求得对应的核心边界上点的坐标依次为 3 矩形截面核心形状分析 直线 绕顶点B旋转到直线 时 将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴 而B点坐标yB zB是这一系列中性轴上所共有的 这些中性轴方程为 上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程 故外力作用点移动的轨迹是直线 a 对于具有棱角的截面 均可按上述方法确定截面核心 b 对于周边有凹进部分的截面 如T字形截面 能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴 因为这种直线穿过横截面 4 讨论 discussion 研究对象 researchobject 圆截面杆 circularbars 受力特点 characterofexternalforce 杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点 characterofdeformation 发生扭转和弯曲两种基本变形 8 4扭转与弯曲的组合 Combinedbendingandtorsion 一 内力分析 Analysisofinternalforce 设一直径为d的等直圆杆AB B端具有与AB成直角的刚臂 研究AB杆的内力 将力F向AB杆右端截面的形心B简化得 横向力F 引起平面弯曲 力偶矩M Fa 引起扭转 AB杆为弯曲与扭转局面组合变形 画内力图确定危险截面 固定端A截面为危险截面 二 应力分析 Stressanalysis 危险截面上的危险点为C1和C2点 最大扭转切应力 发生在截面周边上的各点处 危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 C2处 对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆 这两点的危险程度是相同的 可取任意点C1来研究 C1点处于平面应力状态 该点的单元体如图示 三 强度分析 Analysisofstrengthcondition 1 主应力计算 Calculatingprincipalstress 2 相当应力计算 Calculatingequalstress 第三强度理论 计算相当力 第四强度理论 计算相当应力 3 强度校核 Checkthestrength 该公式适用于图示的平面应力状态 是危险点的正应力 是危险点的切应力 且横截面不限于圆形截面 讨论 该公式适用于弯扭组合变形 拉 压 与扭转的组合变形 以及拉 压 扭转与弯曲的组合变形 1 弯扭组合变形时 相应的相当应力表达式可改写为 2 对于圆形截面杆有 式中W为杆的抗弯截面系数 M T分别为危险截面的弯矩和扭矩 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆 例题10空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构 受力如图 AB杆的外径D 140mm 内外径之比 d D 0 8 材料的许用应力 160MPa 试用第三强度理论校核AB杆的强度 A B C D 1 4m 0 6m 15kN 10