第三节_凸函数

最优化设计 汕头大学工学院 学习目标 1 理解凸函数的定义 并能进行简单的凸函数证明 2 了解凸函数的基本性质 3 掌握凸函数的一阶与二阶判定方法 第三节凸函数 一 凸函数的定义 定义1设函数f x 为定义在凸集D上的n元实函数 如果任取D中的两个不同点x1 x2 以及 0 1 都有f x1 1 x2 f x1 1 f x2 则称f x 是定义集D上的凸函数 定义2严格凸函数f x1 1 x2 f x1 1 f x2 则称f x 是定义集D上的凸函数 注 将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义 凸函数的几何性质 对一元函数f x 在几何上 f x1 1 f x2 0 1 表示连接 x1 f x1 x2 f x2 的线段 f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的函数值 所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方 例1 设f x x 1 2 试证明f x 在 上是严格凸函数 证明 设x y R 且x y 0 1 都有 f x 1 y f x 1 f y x 1 y 1 2 x 1 2 1 y 1 2 1 x y 2 0因此f x 在 上是严格凸函数 例2 试证线性函数是Rn上的凸函数 f x cTx c1x1 c2x2 cnxn证明 设x y R 0 1 则f x 1 y cT x 1 y cTx 1 cTy f x 1 f y 所以cTx是凸函数 类似可以证明cTx是凸函数 二 凸函数的性质 性质1 定义在同一凸集上的有限个凸函数的非负线性组合是凸函数 证明 设fi x i 1 2 k是定义在同一凸集D上的k个凸函数 1 2 k是k个非负数 记f x fi x 现任取D内的两个点x1 x2 以及 0 1 由于是D上的凸函数 必有fi x1 1 x2 fi x1 1 fi x2 i 1 2 k f x1 1 x2 fi x1 1 x2 fi x1 1 f x2 fi x1 1 f x2 f x1 1 f x2 由凸函数的定义 可知f x 是D上的凸函数 定义3 水平集 设f x 是定义在集合R上的实函数 是实数 则称如下的集合S x x R f x 是函数f x 的 水平集 性质2凸函数的任一 水平集是凸集 证明设f x 是定义在凸集D上的凸函数 是任一给定的实数 现任取S 内两点x1 x2以及 0 1 则由S 的定义f xi 且xi D i 1 2D是凸集 x1 1 x2 D又因为f x 是D上的凸函数 所以有f x1 1 x2 f x1 1 f x2 1 表明 x1 1 x2 S 所以 S 是凸集 下面的图形给出了凸函数f x y x4 3x2 y4 y2 xy的等值线的图形 可以看出水平集是凸集 性质3设D是内部非空的凸集 f x 是定义在D上的凸函数 则f x 在D的内部连续 注意 凸函数在定义域的边界有可能不连续 例如 设f x 的定义域是区间 1 4 x2 1 x 42 x 1f x 是区间 1 4 上的凸函数 但显然在边界点x 1处不连续 三 凸函数的判定 定理1 凸函数的一阶充要条件 设D是开凸集 f x 在D上具有一阶连续导数 那么 f x 是D上的凸函数的充要条件是 对D上任意两个不同点x1 x2 恒有f x2 f x1 f x1 T x2 x1 证明 必要性 X1 x2 x1 x2 1 x1 D由一阶Taylor展式 有f x1 x2 x1 f x1 f x1 T x2 x1 o 1 而由于f x 是D上的凸函数 又有f x1 x2 x1 f x2 1 x1 f x2 1 f x1 2 两式联立 有 f x2 1 f x1 f x1 f x1 T x2 x1 o f x2 f x1 f x1 T x2 x1 令 0 则有 0故f x2 f x1 f x1 T x2 x1 充分性 任取0 1 记X x1 1 x2由已知条件有f x1 f x f x T x1 x f x2 f x f x T x2 x 所以 f x1 f x f x T x1 x 1 f x2 1 f x 1 f x T x2 x 两式相加 并进行整理 得 f x1 1 f x2 f x f x T x1 1 x2 x 注意到正好有X x1 1 x2因此 f x1 1 f x2 f x f x1 1 x2 表明 f x 是凸集D上的凸函数 定理1 严格凸函数的一阶充要条件 设D为开凸集 f x 在D上具有一阶连续导数 那么 f x 是D上的凸函数的充要条件是 对D上任意两个不同点x1 x2 恒有f x2 f x1 f x1 T x2 x1 例3设f x x4 x属于 判断函数的凸凹性 解 任取两相异点x1 x2 则有 f x1 f x1 4x13f x2 f x1 f x1 T x2 x1 x24 x14 4x13 x2 x1 x24 2x12x22 x14 2x12x22 4x13x2 2x14 x12 x22 2 2x12 x1 x2 2 0由定理1 知f x 是严格凸函数 定理2 凸函数的二阶充要条件 设D是开凸集 f x 在D上二次可微 那么 f x 是D上的凸函数的充要条件是 f x 在D上的Hesse矩阵 2f x 是半正定的 证明 充分性 设对D上任一点X 2f x 是半正定矩阵 现任取D上两相异点x1 x2 由Taylor展式 有f x2 f x1 f x1 T x2 x1 x2 x1 T 2 x2 x1 其中 x1 1 x2 0 1由于D是凸集 故 D 由已知条件 当然 2也是半正定矩阵 于是有 x2 x1 T 2 X2 X1 0 所以 f x2 f x1 f x1 T x2 x1 表明f x 确为凸函数 必要性 由于D是开集 故对D上任意点X 以及任一给定的非零向量Y 总可找到充分小的正数 使得X Y D由Taylor展式 有f X Y f X f X TY YT 2f TY o 2 又由于f X 是D上的凸函数 由凸函数的一阶条件 有f X Y f X f X TY因此YT 2f TY o 2 0YT 2f Y 0令 0 则有 0则YT 2f Y 0由半正定矩阵的定义 知 2f 是半正定矩阵 定理2 严格凸函数的二阶充分条件 设f x 是开凸集上的实函数 若f x 的Hesse矩阵 2f x 在D上处处正定 则f x 是D上的严格凸函数 证明略 例4试判断下列函数的凸凹性 a f x 5x12 x1x2 x22 5x1 4x2 x b f x x12 3x1x2 4x22 6x1 3 x c f x x12 2x23 x3 x1 0 x2 0 x3 d f x x12 4x1x2 x22 解a 由于 2f x 的一阶顺序主子式为10 大于零 2阶行列式为 表明 2f x 正定 故f x 是严格凸函数 b 2f x 的奇数阶 一阶 顺序主子式分别为 2 小于零 偶数阶主子式为表明 2f x