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测量值的数学期望和方差,1 测量值的特性,对被测量进行无限多次等精密度测量，可以得到与测量值X（随机变量）相应的测量数据序列x1，x2，x3，xi，。此时，测量值X的取值可以是连续的，也可以是离散的。若在宏观范围内讨论，大多数测量值的可能取值范围是连续的。例如，测量一个电压，由于随机误差的影响，从理论上来讲，每个测量数据xi可能处在电压真值附近某小区间的任意位置上，即测量值的取值是连续的。但由于测量仪器的最小分辨力不可能无限小，实际得到的测量值往往是离散的。例如，用数字电压表测量电压，得到的测量数据受量化过程限制，是真值附近某区间内的离散值。,2 离散测量值的数学期望,若被测量对应的离散测量值X可能的取值数m为有限个或无穷可数个，当进行了足够多次测量，设第i个（i=1m）可能取值xi出现次数为ni，出现频率为ni/n，概率为pi， 为总的测量次数。则由数学期望定义和贝努力定理可知，可以用频率ni/n代替概率pi，测量值X的数学期望为,在上式中，认为xi发生次数ni可能大于1，即测量数据之间是相关的。若测量数据不相关，即每个测量数据只出现一次，或者将每个测量数据（无论是否相同）单独进行统计，则其出现频率为1/n，测量值X的数学期望为结论：(1)当测量次数n时，测量值的数学期望反映了测量数据的平均情况。(2)若测量次数足够多，对所有测量数据计算平均值，可以得到测量值的数学期望的近似值。,3 离散测量值的方差和标准偏差,若离散测量值X可能的取值数m为有限个或无穷可数个，当进行了足够多次测量，设第i个（i=1m）可能取值xi出现次数为ni，出现频率为ni/n，概率为pi， 为总的测量次数，则根据方差的定义和贝努力定理，可以用频率ni/n代替概率pi，测量值X的方差为,若测量数据不相关，即每个测量数据只出现一次，或者将每个测量数据（无论是否相同）单独进行统计，测量值X的方差为结论：(1)方差2(X)的值越小，表明所有测量数据越集中在数学期望E(X)附近；(2)2(X)越大，表明所有测量数据在数学期望E(X)附近的离散程度越大。(3)方差2(X)的算术平方根(即正平方根) (X)叫作标准偏差或均方根差。(X)越小，测量数据越集中，因此它可以用来描述测量数据的离散程度。,4 连续测量值的数学期望,连续测量值X的数学期望为,5 连续测量值的方差,连续测量值X的方差和标准偏差分别为,结论：在测量值由离散值变为连续值时，只不过将多项求和变成积分，并将每种取值的概率Pi换成 ，数学期望仍反映测量结果的平均特性，方差反映测量结果的离
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