数学读书笔记

数学创新模式点滴数学创新模式点滴 南区中学张国强南区中学张国强 数学数学读书笔记 一 读书笔记 一 读 什么是数学 的收获太多了 在这里 我只更新一些我原来不知 道 又很有趣的东西 如果你希望迅速对此书有一个全面的了解 千万不要错 过阅读 什么是数学 的前面几章时 你经常会跟随着书中的文字重新看待一 个显而易见的结论 然后对这个结论有了一个全新的认识 比如 书中曾提到 为什么数学归纳法是合理的 我已经知道 n 1 时结论成立 也知道若 n k 成立 则 n k 1 结论也成立 那么对于任意一个给定的正整数 t n t 时的结论是成立 的 因为经过有限次迭代后最终我们总可以到达 n t 的情况 但是 为什么我 们敢断言对所有这无穷多个 n 结论都是成立的 显然 你不能说 我们可以 迭代无穷多次 一个有限的证明过程当然不允许有无限多个步骤 因此 为 了说明对于所有正整数 n 结论都成立 我们不得不使用反证法把 无穷 变成 有穷 我们假设对于某些 n 这个结论是不成立的 那么 这里面一定存 在一个最小的数 p 它使得结论不成立 由于我们已知 n 1 时结论成立 因此 p 一定是大于 1 的 但 n p 是 最早 使结论不成立的情形 因此 n p 1 时结 论一定为真 这就与我们已知的第二个条件 若 n k 成立则 n k 1 结论也成立 矛盾了 因此我们说 对于所有正整数 n 结论都是成立的 这个推理过程中用到了另一个显而易见的结论 对于一个非空的正整 数集 C C 中一定存在一个最小的元素 这又是为什么呢 你可能会说 废话 把所有元素拿出来两个两个的比 一定能比出一个最小的数来 这种说法是错 误的 注意到集合 C 有可能有无穷多个元素 你是比不完的 为了更清晰地认 识这个结论 我们只需要注意到 如果把条件换成 有理数集 C 或者 实数 集 C 结论就不再成立了 因为集合 1 1 2 1 3 1 4 显然不存在一 个最小的数 可以看到 上述结论是否成立是和数的稠密性紧紧相关的 事实 上 为了说明正整数集 C 中存在最小元素 我们任意从集合中取出一个元素 n 那么 1 2 n 这有限多个数当中一定存在一个最小的数 它在这个集合 C 中 它就是整个集合的最小数 对于稠密的有理数点和实数点 这个证明显 然不再适用 下面将提到的一个定理也是看上去非常显然的 算术基本定理是说 任意 一个大于 1 的正整数都能表示成若干个质数的乘积 且表示的方法是唯一的 换句话说 一个数能被唯一地分解成质因数的乘积 因此这个定理又叫做唯一 分解定理 唯一分解定理是数论中最最基本的定理之一 如果连这个定理都错 了 那整个算术也就不存在了 很多结论的证明过程都用到了这一事实 例如 我们可以用这个定理来证明根号 2 是无理数 假设 p q 2 2 那么 p 2 2q 2 我们将要证明 一个数的平方等于另一 个数的平方的两倍是根本不可能的 如果对一个平方数分解质因数 它必然有 偶数个因子 x 2 的所有质因子就是把 x 的质因子复制成两份 于是 p 2 有 偶数个质因子 q 2 有偶数个质因子 2q 2 有奇数个质因子 等号左边的数有 偶数个质因子 等号右边的数有奇数个质因子 大家都知道这是不可能的 因 为同一个数只有一种分解质因数的方法 唯一分解定理 好 现在的问题是 为什么质因数分解的方法是唯一的 这个结论是如此的显然和易 于接受 以致于有人会脱口而出 这当然是唯一的 不断使用越来越大的质数去试除 最 后得到的肯定是唯一的质因数分解 不可否认 这个算法本身是没有任何问题的 根据合 数的定义 试除与分解是一定能不断进行下去的 除非被除数本身变成了一个质数 而此 时也标志着算法的结束 问题的关键就在于 这并不能说明原数能唯一地表示成质数的乘 积 换一种试除的顺序会不会得出不同的分解方法 万一还有什么别的牛 B 大法也能用来 分解质因数 而且结果与上面得到的完全不一样咋办 上面给出的算法只能说明我们能找 出至少一种分解质因数的方法 用这种方法得到的结果是唯一的 但到底还有没有其它偏 方秘籍能导出另外的分解方法来 我们就不得而知了 为了真正地证明 分解质因数 的方法是唯一的 我们将再次用到反证法 假设存在某些数 它们有至少两种 分解方法 那么根据上文提到的 非空正整数集里存在最小的元素 一定有一 个最小的数 M 它能用至少两种方法表示成质数的乘积 M P1 P2 Pr Q1 Q2 Qs 下面我们将看到 这种假设会推出一个多么荒谬的结果来 不妨设 P1 P2 Pr Q1 Q2 Qs 显然 P1 是不等于 Q1 的 不然两边同 时约掉它 我们就得到一个更小的有两种分解方法的数 不妨设 P1 Q1 那么 我们用 P1 替换掉等式最右边中的 Q1 得到一个比 M 更小的数 T P1 Q2 Q3 Qs 令 M M T 我们得到 M 的两种表达 M P1 P2 Pr P1 Q2 Qs P1 P2 Pr Q2 Qs 1 M Q1 Q2 Qs P1 Q2 Qs Q1 P1 Q2 Qs 2 由于 T 比 M 小 因此 M 是正整数 从 1 式中我们立即看到 P1 是 M 的一个质因子 注意到 M 比 M 小 因此它的质因数分解方式应该是唯一的 可知 P1 也应该出现在表达式 2 中 既然 P1 比所有的 Q 都要小 因此它不可能 恰好是 2 式中的某个 Q 于是只可能被包含在因子 Q1 P1 里 但这就意味着 Q1 P1 P1 除得尽 也就是说 Q1 P1 1 是一个整数 这样 Q1 P1 也必须得是整 数 我们立即看出 P1 必须也是 Q1 的一个因子 这与 Q1 是质数矛盾了 这 说明 我们最初的假设是错误的 唯一分解定理的一个重要的推论是 如果质数 p 是 ab 的因子 那么 p 或者 是 a 的因子 或者是 b 的因子 我们刚才在证明过程中也不自觉地用到了这个 推论 证明方法很简单 假如 a 和 b 里面都不含 p 把 a 和 b 各自分解开来再 乘到一起 我们就得到了数 ab 的一个没有因子 p 的分解方式 而按照前面提到 的试除法 ab 是可以表示成 p 与另一些质数的乘积的 这违背了唯一分解定理 连续多次使用该推论 我们可以很快将推论推广到多个数的情形 事实上 假设这个推论成立 我们也能很快反过来推出唯一分解定理 写出 N 的两种质因数分解 在前一种分解中任取一个因子 它必然会在后一种 分解方法中出现 把它们约掉之后结论继续适用 不断进行该操作直到最终两 边都只余下一个 1 这一系列操作说明了 两种分解方法实际上是相同的 我 们看到 唯一分解定理和它的推论实际上是等价的 如果我们能够绕过唯一分 解定理 用另一种方法证出这个推论 我们也就相当于找到了唯一分解定理的 另一个证明 而事实上 运用扩展的辗转相除算法 我们可以飞快地完成推论 的证明 我们将说明 如果质数 p 能整除 ab 但不整除 a 那它一定是 b 的约 数 质数 p 不能整除 a 告诉我们 a 和 p 互质 于是存在整数 k 和 l 使得 ka lp 1 等式两边同时乘以 b 我们有 kab lpb b 而 ab 能被 p 整除 也即存 在整数 r 使得 ab pr 那么 kpr lpb p kr lb b 我们立即看出 p 是 b 的一 个约数 数学读书笔记 二 数学读书笔记 二 数学的领悟一 摘要理解实质 学会 会学对于学生 不应只满足于表面 文字的学会 还要深入理解概念 原理 方法等的精神实质 这样解 怎样解 看透本质 我们做题 首先要找到答案 这是基本要求 但不是最终的目的 如果求出答案后不能把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来 就等于在原有 的思维水平上简单重复 原地踏步而已 知其然 不知其所以然 优化素质 优 化数学素质的主要途径是注重知识的发生过程 如概念的形成过程 定理的发 现过程 证明的寻求过程等 对于解题来说 进行解题过程的分析是优化素质 的一条捷径 居高临下的回首 就为我们提供了指导性的经验 学数学毕竟与 学技艺不尽相同 一门技艺可以通过模仿与重复操练去掌握 而数学解题不是 机械地重复数学基础知识和数学基本方法 还要综合而灵活地运用这些知识和 方法 它在本质上是一种创造性的思维过程 后来 我们悟出了一个门路 那 就是通过已知学未知 通过分析已经解决过的题来领悟解题的思想 通过解题 思想来驾驭知识与方法 这个体会和方法 使我们摆脱了单纯的模仿和在同一 思维层次上的简单重复 使得每一天的学习都能获得解题能力或思维水平的一 点提高 我们认为 为了提高数学能力 至少在还没有找到更好的办法之前 分析 已经解决的题 是一个普遍可行的好方法 事实上 解题思路的获得 包括下 列 三位一体 的完整工作 1 捕捉有用的信息 符号信息和形象信息 2 提取记忆 主要是相关的公式 定理 基本模式等解题依据 3 将两者有效组合 使之成为一个合乎逻辑的和谐结构 苦难就在于此步 做题的作用 巩固知识 加强记忆 加深理解的知识目的 但更有提高能力 开发智力 训练思维的能力目的 解题的心理过程 知道的越多 不知道的也越多有用捕捉 有关提取 有效组合是心理活动的外 在表现它恰好对应着人的复杂心理活动过程的三个环节 观察试验 联想转化 推理证明 联想转化的朴素含义是 把待解决的或未解决的问题 归结为一类 已经解决的或者比较容易解决的问题 爱因斯坦说过 你能观察到眼前的什么 现象 不仅取决于你的肉眼 还取决于你运用什么样的思维 思维决定了你到 底能观察到什么 例子 鲁宾双关图形 G 波利亚 为初中生设计的 设计出自 己的解题表 以适应具体的学科和学习的不同阶段 差异分析法 题目的条件与结论之间的差异成为目标差解题的实质就在于 设计一个目标差不断减少的过程通过不断寻找目标差 不断减少目标差而完成 解题的思维方法 成为差异分析法从寻找目标差入手 未知是什么 已知是什 么 两者有什么联系与区别 特殊化 数学家认为 在讨论数学问题时 特殊化比一般化起着更为重要 的作用特殊化问题有可能更简单 更容易 进而推广之其功能在于 1 解题的 突破口 2 寻找解题思路的策略 3 完成解题过程的方法由一般退到特殊 由复 杂退到简单 由抽象退到具体 由整体退到部分 退到最原始而又不失去重要 性的地方 退到你会做 能下手的问题上 数形结合 一柄双刃的利剑数转化为形 看透实质如果一个特定的问题被 转化为一个图形 那么思想就整体地把握了问题 并能创造性地思索问题的解 法形转化为数 转换思考的角度 顺向推导有困难时就逆向反求 直接解决问题有困难就 间接解决 正面证实困难就反面否定 探究可能性困难就探究不可能性 等式 证明从左到右不顺利就从右到左逆推法 反证法 举反例 常量变量换位 公式定理的逆用分析法 由未知 找须 知 靠拢已知反证法更适用于否定性问题 无限性命题 唯一性命题 存在性 问题 逆命题 学科起始性命题 分类讨论 层次解决 解题研究表明 人们在创造性处理一个新问题时 思维是按照层次展开的 先粗后细 先宽后窄一般性解决 功能性解决 特 殊性解决层次法往往同方程 函数结合起来 解题过程分析 1 多走了哪些回路 删除合并之 2 能否用更一般的原理代替现存的很多步骤 提高解题的观点和层 次 3 是否有特殊的技巧 4 是否浪费了更重要的信息 数学读书笔记 三 数学读书笔记 三 加强学生对概念的理解 应结合实例助其理解 如 有些数学概念从客观 事物的定向形式和数量关系中反映出来 因此 教师在教学时应当注意从实际 事例或从学生已有知识中 退步引入并加以抽象 尤其要从学生接触过的具体 内容入手 同时在教学中教师应根据中学生具有的上进心强好胜的心理特点 给学生创造成功的机会和条件 帮助他们获得成功 享受成功的喜悦 进而减 少运算的错误 即教师应帮助学生树立学好数学的兴趣和信心 同时 在授课的过程中 教师应注重学法的指导 发挥学生非智力因素的作 用 使学生主动地 积极地参与到学习中来 体现了新课程理论中充分发挥学 生主题作用的理念 新课程理念指出教学活动不在是独角戏 而是师生互动 生生互动的过程 一节课若开始没上好 学生就会感到兴趣索然 下面的课就将难以进行 导课 能吸引学生的兴趣 就为本堂可打下了基础 激发学生的好奇心和求知欲 表 现欲 有一展身手的动力 导课的方法 1 设置情景 激发兴趣 2 设置疑点 引起重视 3 联系生活 灵活应用 问题提出后 学生出现沉默 原因 1 教师提出的问题过难 超出学生的 能力范围 使得学生不会回答 2 教师的问题表述不清 学生不知如何回答 3 教师提问时问题不当 学生不愿回答 总结 问题的难易不是有教师说了算 而是学生对知识的理解程序 不理解的就是难的 能理解的就是简单的 教师 应调查学生 再评判难易 不要唱独角戏 自以为是 课堂讨论时 教师要善于启发诱思 高屋建瓴 掌握好火候 当讨论出现 沉默时 教师要拨开话题 打破沉默 启发学生发言 当讨论进入高 潮时 特 别是出现争论时 教师要因势利导 紧扣主题 将讨论引向纵深 最后做好总 结 提问的策略 1 切忌问题的设计 注意发挥学生的主题作用 在课堂时 不