专题：圆形磁场问题

带电粒子在圆形磁场中的运动 任其春 一轮专题复习 带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题 两圆心连线OO 与点C共线 结论1 对准圆心射入 必定沿着圆心射出 例题 电视机的显像管中 电子束的偏转是用磁偏转技术实现的 电子束经过电压为U的加速电场后 进入一圆形匀强磁场区 如图所示 磁场方向垂直于圆面 磁场区的中心为O 半径为r 当不加磁场时 电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点 为了让电子束射到屏幕边缘P 需要加磁场 使电子束偏转一已知角度 此时磁场的磁感应强度B应为多少 2 O1 R 2 例题 如图 虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场 经过磁场区后 电子束运动的方向与原入射方向成 角 设电子质量为m 电荷量为e 不计电子之间的相互作用力及所受的重力 求 1 电子在磁场中运动轨迹的半径R 2 电子在磁场中运动的时间t 3 圆形磁场区域的半径r 解 1 2 由几何关系得 圆心角 3 由如图所示几何关系可知 所以 例题 在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B 一群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域 如图所示 已知该质子束中在磁场中发生偏转的最大角度为1060 圆形磁场的区域的半径为R 质子的质量为m 电量为e 不计重力 则该质子束的速率范围是多大 O1 O2 O3 O4 结论2 对准圆心射入 速度越大 偏转角和圆心角都越小 运动时间越短 例题 多选 如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场 一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场 结果 这些质子在该磁场中运动的时间有的较长 有的较短 其中运动时间较长的粒子 A 射入时的速度一定较大B 在该磁场中运动的路程一定较长C 在该磁场中偏转的角度一定较大D 从该磁场中飞出的速度一定较小 CD 结论3 运动速度v相同 方向不同 弧长越长对应时间越长 直径对应的弧最长 例题 如图 半径为r 3 10 2m的圆形区域内有一匀强磁场B 0 2T 一带正电粒子以速度v0 106m s的从a点处射入磁场 该粒子荷质比为q m 108C kg 不计重力 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角 其入射时粒子的方向应如何 以v0与oa的夹角表示 最大偏转角多大 说明 半径确定时 通过的弧越长 偏转角度越大 而弧小于半个圆周时 弦越长则弧越长 解析 R mv Bq 5 10 2m r b 37 sin r R 最大偏转角为2 74 例题 如图所示 在真空中半径r 3 0 10 2m的圆形区域内 有磁感应强度B 0 2T 方向如图的匀强磁场 一批带正电的粒子以初速度v0 1 0 106m s 从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场 且初速度方向与磁场方向都垂直 该粒子的比荷为q m 1 0 108C kg 不计粒子重力 1 粒子的轨迹半径 2 粒子在磁场中运动的最长时间 sin37 0 6 cos37 0 8 V V V 平行会聚于一点 一点发散成平行 结论4 如果在圆形匀强磁场区域的边界上某点向磁场发射速率相同的带电粒子 且粒子在磁场中运动的轨道半径与磁场区域半径相同 那么粒子射出磁场时运动方向一定相同 反之 粒子以相同速度平行射人这样的磁场 粒子就能会聚于磁场边界上的某点 磁会聚 平行飞入 定点会聚 磁扩聚 定点发射 平行飞出 例题 在xoy平面内有很多质量为m 电量为e的电子 从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限 如图所示 现加一垂直于xOy平面向里 磁感强度为B的匀强磁场 要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动 试问符合该条件的磁场的最小面积为多大 不考虑电子间的相互作用 所有电子的轨迹圆半径相等 且均过O点 这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心 半径为r的且位于第 象限的四分之一圆周上 如图所示 电子由O点射入第 象限做匀速圆周运动 解1 即所有出射点均在以坐标 0 r 为圆心的圆弧abO上 显然 磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积 由几何关系得 由图可知 a b c d等点就是各电子离开磁场的出射点 均应满足方程 x2 r y 2 r2 解2 设P x y 为磁场下边界上的一点 经过该点的电子初速度与x轴夹角为 则由图可知 x rsin y r rcos 得 x2 y r 2 r2 所以磁场区域的下边界也是半径为r 圆心为 0 r 的圆弧应是磁场区域的下边界 磁场上边界如图线所示 两边界之间图形的面积即为所求 图中的阴影区域面积 即为磁场区域面积 例题 2009年浙江卷 如图 在xOy平面内与y轴平行的匀强电场 在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场 在圆的左边放置一带电微粒发射装置 它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m 电荷量q q 0 和初速度v的带电微粒 发射时 这束带电微粒分布在0 y 2R的区间内 已知重力加速度大小为g 1 从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域 并从坐标原点O沿y轴负方向离开 求电场强度和磁感应强度的大小与方向 2 请指出这束带电微粒与x轴相交的区域 并说明理由 3 在这束带电磁微粒初速度变为2v 那么它们与x轴相交的区域又在哪里 并说明理由 A 解析 1 由mg qE得E mg q 由qvB mv2 r r R得B mv qR 方向垂直于纸面向外 2 这束带电微粒都通过坐标原点 方法一 从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动 其圆心位于其正下方的Q点 这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图的虚线半圆 此圆圆心是坐标原点O 方法二 从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动 P点与O 点的连线与y轴的夹角为 其圆心Q的坐标为 Rsin Rcos 圆周运动轨迹方程解得 x 0y 0 原点O 和x Rsin y R 1 cos P点 当速度变为2V的带电粒子 不具备 磁会聚 的条件 因此不会都通过O点 但此题可采用极端分析法 带电微粒在磁场中经过一段半径为r 2R的圆弧运动后 将在y轴的右方 x 0 的区域离开磁场并做匀速直线运动 如图所示 靠近上端点发射出来的带电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处 靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场 所以 这束带电微粒与x同相交的区域范围是x 0 例题 如右图所示 纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流 粒子质量为m 电荷量为 q 速率为v0 不考虑粒子的重力及相互间的作用 要使粒子都汇聚到一点 可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域 则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是 其中 A C D选项中曲线均为半径是L的1 4圆弧 B选项中曲线为半径是L 2的圆 A 例题 如图 环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子 但由于环状磁场的束缚 只要速度不很大 都不会穿出磁场的外边缘 设环状磁场的内半径为R1 0 5m 外半径为R2 1 0m 磁场的磁感应强度B 1 0T 若被缚的带电粒子的荷质比为q m 4 107C kg 中空区域中带电粒子具有各个方向的速度 试计算 1 粒子沿环状的半径方向射入磁场 不能穿越磁场的最大速度 2 所有粒子不能穿越磁场的最大速度 答案 1 1 5 107m s 2 1 0 107m s 圆形磁场临界问题 例题 如图 带电质点质量为m 电量为q 以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域 为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出 可在适当的地方加一个垂直于xy平面 磁感应强度为B的匀强磁场 若此磁场仅分布在一个圆形区域内 试求这圆形磁场区域的最小半径 重力忽略不计 解 质点在磁场中圆周运动半径为r mv Bq 质点在磁场区域中的轨道是1 4圆周 如图中M N两点间的圆弧 在通过M N两点的不同的圆中 最小的一个是以MN连线为直径的圆周 圆形磁场区域的最小半径R MN 2 mv qB 圆形磁场最小面积问题 例题 如图 质量为m 带电量为 q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域 磁场方向垂直纸面向外 粒子飞出磁场区域后 从b处穿过x轴 速度方向与x轴正方向的夹角为30 同时进入场强为E 方向沿与与x轴负方向成60 角斜向下的匀强电场中 通过了b点正下方的C点 不计重力 试求 1 圆形匀强磁场区域的最小面积 2 C点到b点的距离h 解 1 反向延长vb交y轴于O2点 作 bO2O的角平分线交x轴于O1 O1即为圆形轨道的圆心 半径为R OO1 mv qB 画出圆形轨迹交bO2于A点 如图虚线所示 最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆 Smin r2 OA 2r hsin30 vt 2 b到C受电场力作用 做类平抛运动 t 2mv qE tan30 例题 平行金属板M N间距离为d 其上有一内壁光滑的半径为R的绝缘圆筒与N板相切 切点处有一小孔S 圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场 磁感应强度为B 电子与孔S及圆心O在同一直线上 M板内侧中点处有一质量为m 电荷量为e的静止电子 经过M N间电压为U的电场加速后射入圆筒 在圆筒壁上碰撞n次