高中数学平面解析几何曲线总结

一 1 椭圆定义 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线 即 MO1 MO2 2a 或定义 任意一条线段 在线段中任取两点 不包括两端点 将线段两端点置于这两点处 用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线 即为椭圆 从椭圆定义出发得到一个基本结论 椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数 2a 2 椭圆性子 由于椭圆上任意一点到两点距离 之和为常数 所以从 A 点向焦点引两条 焦半径 AO1 AO2 AO2 O2B 2a C 这是因为 AO1 O2B 由图形比较看出 椭圆的标准方程 A O1 O O2 B 1 2 2 2 2 b y a x 椭圆参数方程 从圆方程知 R y x 2 2 2 圆方程参数方程源于 1 cossin 22 所以 按上面逻辑将椭圆方程 视为1 2 2 2 2 b y a x 设 得 cos sin R y R x cos sin R R y x 同理椭圆参数方程为 得 cos sin b y a x cos sin b a y x 由于两个焦半径和为 2a 所以 得 得 COCO aCOCO 21 212 cCO bCO aCOCO 21 bac cba 22 222 椭圆离心率 来源于圆的定义 圆实际上是一种特殊的椭圆 而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了 椭圆离心率为 a c e 二 双曲线 定义 到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形 即 a2 12 MO MO ax ax x y a b x y a b M b O1 a a O2 双曲线的标准方程 b 1 2 2 2 2 b y a x 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数 2a aAB AQBQ AB AQAQ aAB AQAQ 2 2 1212 12 双曲线的渐近线 由标准方程知 ax a b y ax a b y 2222 2 2 2 程 以上为渐近线的推导过 为渐近线 另一条为 又 x a b yx a b y x a b x a b ax a b y 222 若标准方程为 那么这时1 2 2 2 2 a x b y x a b y y b a y b a b y b a x 2 2 2 注意 y 下面对应 b x 下面对应 a 取 x a 及 x a 两条直线 它们与渐近线的两个焦点的连线和 y 轴的交点称为虚焦点 该轴称为虚轴 推导 a b c 之间的关系 设双曲线上任意一点坐标 M x y 1 22 2 2 2 2222 12 22 1 22 2 2 ac y a x a ycxycx MOMO ycx MO ycx MO 经化简得 设 1 2 2 2 2 222 b y a x bac 双曲线标准方程为 从而得到 bac 222 三 抛物线 1 定义 到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线 为了推导抛物线标准式 设 定直线为 x p 定点为 O1 p 0 N M 尽管这是一种特殊情况 但同样具有一般性 设 抛物线上任意一点坐标为 M x y O O1 M 点到定直线 x p 的距离为 px M 点到定点 O1 p 0 的距离为ypx 22 pxy ypxp x pxp x ypxpx 4 22 2 22 2 2 2 22 很显然与以前学习的二次函数是一致的 只不过这里自变量变成 y 函数变成 x 而二次函 数 自变量是 x 函数是 y 因而二次函数也是抛物线 同样具有抛物线的性子 如下 0 2 acbxxa y 韦达定理 a c xx a b xx 21 21 顶点坐标 推导采用配方法 4 4 2 2 a bac a b a bac a b x a c a b a b x a b xa y 4 4 2 22 2 2 22 2 求根公式 a acb b x 2 4 2 21 从而零点坐标为 00 21 xx 平移 位 向右移动一个单位即图像想上移动一个单 及如何为零 不难看出和同样看 单位 即图像向左移动一个如何为零 不难看出同样看 即向下移动一个单位 时 只有在 难看出怎么样才可等于零 不如何平移呢 那就要看 例如 11 1 1 1 2 1 1 1 1 2 10 1 1 2 1 22 2 22 c b a x yxyxpy x xxpy yy ypxy 注意 平移部分需要自己琢磨 根据上面三个例子 四 直线与圆的参数方程 1 圆的方程一般式为 R byax 2 22 圆方程参数方程源于 1 cossin 22 那么 1 2 2 2 2 R by R ax 设 得 cos sin R by R ax cos sin R b y R a x 2 平面和空间直线方程 平面直线方程以向量形式给出 方向向量为 下面推导参数方程 n by n ax 21 nns 21 tnb y tnax t n by n ax 2 1 21 则有令 空间直线方程也以向量形式给出 方向向量为 下面推导参数方程 n bz n by n ax 321 nnns 321 tncz t