2014-2015高一（上）期末数学试卷(解析版）

2014 2015 学年高一 上 期末数学试卷学年高一 上 期末数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 1 5 分 cos 1200 2 5 分 已知全集合 U x 1 x 2 x z A x x2 x 0 B x 1 x 2 则 U A B 3 5 分 已知扇形的周长为 8cm 圆心角为 2 弧度 则该扇形的面积为 cm2 4 5 分 函数的最小正周期是 5 5 分 已知 A 1 2 B 3 2 向量与的夹角是 0 则实数 x 6 5 分 计算 7 5 分 函数的值域是 8 5 分 若 则 与 的夹角 等于 9 5 分 计算 sin422 5 cos422 5 10 5 分 在平面直角坐标系中 角 的终边关于一 三象限的角平分线对称 且角 的终边经过点 则 sin 11 5 分 函数 y x 5 x 的递增区间是 12 5 分 如图 菱形 ABCD 的边长为 1 ABC 60 E F 分别为 AD CD 的中点 则 13 5 分 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0 时 则 f 2 log35 14 5 分 已知函数 f x x2 2cosx 对于上的任意 x1 x2有如下条件 x1 x2 x12 x22 x1 x2 其中能使 f x1 f x2 恒成立的条件是 填写序号 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 道题 计道题 计 90 分分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 15 14 分 已知 tan 2 求 1 2 sin 16 14 分 函数在它的某一个周期内的单调减区间是 1 求 f x 的解析式 2 将 y f x 的图象先向右平移个单位 再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 所得 到的图象对应的函数记为 g x 求函数 g x 在上的最大值和最小值 17 15 分 已知函数 f x lg 2 x lg 2 x 1 求函数 f x 的定义域 2 记函数 g x 10f x 3x 求函数 g x 的值域 3 若不等式 f x m 有解 求实数 m 的取值范围 18 15 分 如图 在 ABC 中 BC CA AB 的长分别为 a b c 1 求证 a bcosC ccosB 2 若 试证明 ABC 为直角三角形 19 16 分 如图所示 一根绳穿过两个定滑轮 且两端分别挂有 5N 和 3N 的重物 现在两个滑轮之间的绳上挂 一个重量为 m N 的物体 恰好使得系统处于平衡状态 求正数 m 的取值范围 滑轮大小可忽略不计 20 16 分 已知函数 f x log2 4x 1 kx k R 是偶函数 1 求 k 的值 2 设函数 其中 a 0 若函数 f x 与 g x 的图象有且只有一个交点 求 a 的取值范围 2014 2015 学年江苏省苏州市常熟市周行学校高一学年江苏省苏州市常熟市周行学校高一 上 期末数学试卷 上 期末数学试卷 来来 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 1 5 分 cos 1200 考点 运用诱导公式化简求值 版权所有 专题 计算题 分析 先根据余弦函数是偶函数 把所求式子中的符号去掉 然后把 1200 变为 3 360 120 利用诱导公式化简 再利 用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值 解答 解 cos 1200 cos1200 cos 3 360 120 cos120 cos 180 60 cos60 故答案为 点评 此题考查学生灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值 是一道基础题 学生做题时注意角度的变换 2 5 分 已知全集合 U x 1 x 2 x z A x x2 x 0 B x 1 x 2 则 U A B 1 2 考点 补集及其运算 交集及其运算 版权所有 专题 计算题 分析 根据已知中全集合 U x 1 x 2 x z A x x2 x 0 B x 1 x 2 我们先根据交集的定义计算出 A B 再 根据补集的定义及运算法则 即可得到答案 解答 解 A x x2 x 0 0 1 B x 1 x 2 A B 0 1 又 集合 U x 1 x 2 x z 1 0 1 2 U A B 1 2 故答案为 1 2 点评 本题考查的知识点是补集及其运算 交集及其运算 其中计算出 A B 是解答本题的关键 3 5 分 已知扇形的周长为 8cm 圆心角为 2 弧度 则该扇形的面积为 4 cm2 考点 扇形面积公式 版权所有 专题 计算题 分析 设出扇形的半径 求出扇形的弧长 利用周长公式 求出半径 然后求出扇形的面积 解答 解 设扇形的半径为 R 所以 2R 2R 8 所以 R 2 扇形的弧长为 4 半径为 2 扇形的面积为 4 cm2 故答案为 4 点评 本题是基础题 考查扇形的面积公式的应用 考查计算能力 4 5 分 函数的最小正周期是 2 考点 正切函数的周期性 版权所有 专题 计算题 分析 由已知中函数的解析为 我们可以求出对应 值 代入 T 即可得到函数 的最小正周期 解答 解 函数 T 2 故答案为 2 点评 本题考查的知识点是正切函数的周期性 其中根据函数的解析式求出 值 是解答本题的关键 在解答过程中易 将正切型函数的周期误认为而产生错解 5 5 分 已知 A 1 2 B 3 2 向量与的夹角是 0 则实数 x 2 考点 数量积表示两个向量的夹角 向量的减法及其几何意义 版权所有 专题 计算题 分析 由向量与 的夹角是 0 可得且同向 根据向量平行的坐标表示可得 2 x2 4 0 2x 3 0 从而可解 解答 解 由题意可得 因为向量与 的夹角是 0 所以且同向 所以 2 x2 4 0 2x 3 0 解可得 x 2 或 x 2 当 x 2 时 与夹角为 0 当 x 2 时 与夹角为 180 舍去 故答案为 x 2 点评 如果已知向量的夹角 求向量的坐标 可以利用向量平行的坐标表示 但要注意向量的平行的两种情况 夹角为 0 180 两种情况 解答后要注意进行检验 6 5 分 计算 考点 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 对数的运算性质 版权所有 专题 计算题 分析 根据根式与分数指数幂的互化及其化简运算法则 及对数运算法则 我们将原式中前两项化为根式的形式 后两 项用同底数对数运算关系式 化为一项 进而求出答案 解答 解 故答案为 点评 本题考查的知识点是根据根式与分数指数幂的互化及其化简运算 对数运算性质 熟练掌握指数和对数的运算性 质是解答本题的关键 7 5 分 函数的值域是 2 考点 函数的值域 版权所有 专题 计算题 分析 当 x 1 时 利用函数的单调性求 得 y 2 再由当 x 1 时 y 2 可得函数的值域为 2 解答 解 当 x 1 时 y 2 即 y 2 当 x 1 时 y 2 综上 y 2 故函数的值域是 2 故答案为 2 点评 本题考查利用单调性求分段函数的值域的方法 分段函数的值域是各段值域的并集 8 5 分 若 则 与 的夹角 等于 考点 数量积表示两个向量的夹角 版权所有 专题 计算题 分析 求出 以及 代入 cos 进行运算 求出 cos 的值 根据 0 可得 值 解答 解 4 2 2 2 4 cos 又 0 故答案为 点评 本题考查两个向量的数量积公式的应用 求出 以及 是解题的关键 9 5 分 计算 sin422 5 cos422 5 考点 两角和与差的余弦函数 版权所有 专题 三角函数的求值 分析 利用平方差公式展开后 再由平方关系和余弦的倍角公式化简求值 解答 解 原式 sin222 5 cos222 5 sin222 5 cos222 5 cos 45 故答案为 点评 本题考查了平方差公式 平方关系和余弦的倍角公式的应用 属于基础题 10 5 分 在平面直角坐标系中 角 的终边关于一 三象限的角平分线对称 且角 的终边经过点 则 sin 1 考点 两角和与差的正弦函数 终边相同的角 版权所有 分析 首先根据条件得出角 的终边经过点 然后求出 sin cosa sin cos 进而根据两 角和与差的正弦函数求出结果 解答 解 由题意可知角 的终边关于 y x 对称 角 的终边经过点 sin cosa sin cos sin a 1 故答案为 1 点评 本题考查了根据两角和与差的正弦函数 得出角 的终边关于 y x 对称 是解题的关键 属于基础题 11 5 分 函数 y x 5 x 的递增区间是 考点 函数的单调性及单调区间 版权所有 专题 计算题 分类讨论 分析 首先要去掉绝对值 分类讨论当 x 0 和 x 0 时 利用导数 y 0 求得函数的递增区间 解答 解 函数 y x 5 x 当 x 0 时 y x 5 x x2 5x y 2x 5 0 可得 x 时 y 为增函数 0 x 当 x 0 时 y x 5 x x2 5x y 2x 5 y 0 得 x x 不可能小于 0 函数 y x 5 x 的递增区间是 0 故答案为 0 点评 此题考查分段函数的性质 利用导数判断函数的单调区间比较简单 另外此题还考查了分类讨论的思想 12 5 分 如图 菱形 ABCD 的边长为 1 ABC 60 E F 分别为 AD CD 的中点 则 考点 平面向量数量积的运算 版权所有 专题 计算题 分析 把要求的式子化为 再利用两个向量的数量积的定义可得要求的式子等于 1 1cos60 1 1cos60 运算求得结果 解答 解 1 1cos60 1 1cos60 故答案为 点评 本题考查两个向量的加减法的法则 以及其几何意义 两个向量的数量积的定义 把要求的式子化为 是解题的关键 13 5 分 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0 时 则 f 2 log35 考点 奇函数 函数的值 版权所有 专题 计算题 转化思想 分析 可利用奇函数的定义将 f 2 log35 的值的问题转化为求 f 2 log35 的值问题 再根据函数的性质求出 f 2 log35 解答 解 由题意 f 2 log35 f 2 log35 由于当 x 0 时 故 f 2 log35 f log3 故答案为 点评 本题考查函数的性质 求解的关键是根据奇函数的性质将求值的问题转化到 x 0 时来求 这是奇函数性质的一个 很重要的运用 14 5 分 已知函数 f x x2 2cosx 对于上的任意 x1 x2有如下条件 x1 x2 x12 x22 x1 x2 其中能使 f x1 f x2 恒成立的条件是 填写序号 考点 函数恒成立问题 版权所有 专题 计算题 分析 说明函数 f x 的奇偶性 利用导数说明函数 f x 单调性 由以上两性质可得 f x 图象类似于开口向上的抛 物线 得出那个 x 离 y 轴远 对应的函数值就大 解答 解 f x x 2 2cos x x2 2cosx f x f x 是偶函数 f x 图象关于 y 轴对称 f x 2x 2sinx 0 x 0 f x 在 0 上是增函数 f x 图象类似于开口向上的抛物线 若 x1 x2 则 f x1 f x2 x1 x2成立 x1 x2 不一定成立 是错误的 x12 x22成立 x1 x2 一定成立 是正确的 x1 x2 成立 x1 x2 一定成立 是正确的 故答案为 点评 本题主要考查函数的单调性 奇偶性 由这两条性质可得出函数的简图 数形结合 比较直观 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 道题 计道题 计 90 分分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 15 14 分 已知 tan 2 求 1 2 sin 考点 三角函数的恒等变换及化简求值 版权所有 专题 计算题 分析 首先利用同角三角函数关系求出求出 1 先利用诱导公式对原式进行整理 然后将 相应的值代入即可 2 将原式利用诱导公式化简成 sin 然后利用和差公式将相应的函数值代入即可求出结果 解答 解 4 分 1 原式 2 6 分 8 分 2 10 分 12 分 点评 本题主要考查了运用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值的问题 解题的过程中要注意 的范围 属于 基础题 16 14 分 函数在它的某一个周期内的单调减区间是 1 求 f x 的解析式 2 将 y f x 的图象先向右平移个单位 再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 所得 到的图象对应的函数记为 g x 求函数 g x 在上的最大值和最小值 考点 三角函数的最值 函数 y Asin x 的图象变换 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 版权所有 专题 计算题 分析 1 根据周期性求出 根据顶点坐标求出 值 从而得到 f x 的解析式 2 根据三角函数图象的变换求出函数 g x 的解析式 根据角的范围结合单调性求出最值 解答 解 1 由条件 2 又 f x 的解析式为 2 将 y f x 的图象先向右平移个单位 得 而 函数 g x 在上的最大值为 1 最小值为 点评 本题考查求三角函数的解析式的方法 三角函数图象的变换 三角函数的周期性 单调性 及最值 根据角的范 围 结合单调性求最值 是解题的难点 17 15 分 已知函数 f x lg 2 x lg 2 x 1 求函数 f x 的定义域 2 记函数 g x 10f x 3x 求函数 g x 的值域 3 若不等式 f x m 有解 求实数 m 的取值范围 考点 函数与方程的综合运用 函数的值域 对数函数的定义域 版权所有 分析 1 根据函数解析式求定义域 使对数式 指数式 分式 幂式等有意义 如 x 须满足 2 复合函数单调性与最值的综合应用 外层函数是增函数而内层函数 g x x2 3x 4 2 x 2 3 分离 参数根据恒成立问题利用函数的性质求实数 m 的取值范围 不等式 f x m 有解即 m f x max 求可得函数 f x 的最大值 解答 解 1 x 须满足 2 x 2 所求函数的定义域为 2 2 2 由于 2 x 2 f x lg 4 x2 而 g x 10f x 3x g x x2 3x 4 2 x 2 函数 g x x2 3x 4 2 x 2 其图象的对称轴为 所有所求函数的值域是 3 不等式 f x m 有解 m f x max 令 t 4 x2 由于 2 x 2 0 t 4 f x 的最大值为 lg4 实数 m 的取值范围为 m lg4 点评 函数的性质是高考考查的重点其经常与不等式结合考查 3 中就是此类问题 也可以结合 f x 的是偶函数和 单调性 求得 f x 的最大值 18 15 分 如图 在 ABC 中 BC CA AB 的长分别为 a b c 1 求证 a bcosC ccosB 2 若 试证明 ABC 为直角三角形 考点 三角形的形状判断 向量在几何中的应用 版权所有 专题 计算题 转化思想 分析 1 通过 两边平方化简 即可证明 a bcosC ccosB 2 利用 转化为 推出 即可证明 ABC 为直角三角形 法二 利用 1 的结论 直接化简推出 bcosA 0 说明 A 90 即可 解答 解 1 a2 accosB bacosC a bcosC ccosB 2 由得 而 ABC 为直角三角形 证法二 由 1 类似可证得 c acosB bcosA 由得 accos B c2 0 即 c2 accosB c acosB 结合 式得 bcosA 0 A 90 ABC 为直角三角形 点评 本题是中档题 通过向量的数量积转化为三角函数的有关知识 考查三角形的判定 计算能力常考题型 注意本 题的解法比较多 1 也可以取与同向的单位向量 在的两边作数量积 同样可证 19 16 分 如图所示 一根绳穿过两个定滑轮 且两端分别挂有 5N 和 3N 的重物 现在两个滑轮之间的绳上挂 一个重量为 m N 的物体 恰好使得系统处于平衡状态 求正数 m 的取值范围 滑轮大小可忽略不计 考点 平面向量的正交分解及坐标表示 向量的物理背景与概念 版权所有 专题 计算题 应用题 分析 本题由向量加法的物理意义建立方程得到具有物理背景的量的方程 然后根据三角的相关公式整理出正数 m 关于 角的函数 再进行恒等变换求出参数的取值范围 解答 解 如图建立坐标系 记 OB OA 与 y 轴的正半轴的夹角 分别为 则由三角函数定义得 由于系统处于平衡状态 两式平方相加得 34 30cos m2 由 1 知 sin sin 而 0 随 单调递增 且 sin sin 0 且 写成不扣分 这时 均为 0 从而 这里 的范围不是 0 这是易错点 即 16 m2 64 正数 m 的取值范围为 4 m 8 点评 本题考点是平面微量的正交分解及坐标表示 考查了有实际物理背景的向量之间的运