2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题(解析版).doc

.2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断。【详解】解：在中，是奇函数，在区间上是减函数，故错误；在中，是偶函数，但在区间上是减函数，故错误；在中，是奇函数且在区间上是减函数，故错误；在中，是奇函数且在区间上是增函数，故正确故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数m满足，则m的取值范围是（ ）ABC（0，2）D【答案】C【解析】根据函数为R上的偶函数，且在区间上单调递增，可得函数在上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得。【详解】由题意，函数为R上的偶函数，且在区间上单调递增，函数在 上单调递减，解得即故选：【点睛】本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题。3如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据条件将问题转化为方程在上有解的问题即可得解【详解】解：函数为“可拆分函数”，存在实数，使成立，方程在上有解，即在上有解，的取值范围为：故选：【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题4定义在上的函数满足 当时， 若函数 在内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】若，则，根据函数的平移变换与翻折变换，画出在上的图象，则与的图象有三个交点时，函数有三个零点，可得，是斜率为 ，且过定点 的直线，绕旋转直线，由图知，当时，直线与曲线有三个交点，函数在内恰有个零点， 的取值范围是，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题5函数的定义域为_【答案】【解析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。【详解】解得故函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域，求函数的定义域即使式子有意义，常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；属于基础题。6设函数为奇函数，则实数a的值为_【答案】【解析】一般由奇函数的定义应得出，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求的值【详解】解：函数为奇函数，即，故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧7已知（且）的图像过定点P，点P在指数函数的图像上，则_【答案】【解析】由题意求出点的坐标，代入求函数解析式【详解】解：由题意，令，则，即点，由在指数函数的图象上可得，令，即，故故答案为：【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题8方程的解为_【答案】【解析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可。【详解】解得故答案为：【点睛】本题考查指数幂的运算，以及指数方程，关键是将方程转化为同底指数式，属于基础题。9对任意正实数x，y，则_【答案】1【解析】由题意，对任意正实数x，y，采用特殊值法，求出。【详解】解：由题意，对任意正实数x，y，令则令则故答案为：【点睛】本题考查抽象函数求函数值，根据题意合理采用特殊值法是解答的关键，属于基础题。10已知幂函数是R上的增函数，则m的值为_【答案】或【解析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值【详解】解：由题意幂函数是R上的增函数 解得或故答案为：或【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题11已知函数的反函数是，则_.【答案】-1【解析】由题意，令，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令，因为，当时，由，得，解得；当时，由，得，解得（舍）；又函数的反函数是，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.12函数的单调递增区间为_【答案】和（3，5）【解析】令，可得函数的定义域为本题即求在函数的定义域的减区间，数形结合可得函数的减区间【详解】令，可得，且，故函数的定义域为.由于，根据复合函数的单调性，本题即求在函数的定义域上的减区间画出函数的图象，如图：故函数的减区间、，故答案为、【点睛】本题主要考查复合函数的单调性规律的应用，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题13若函数（且）满足：对任意，当时，则a的取值范围为_【答案】【解析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道且真数恒大于0，求得的取值范围【详解】解：令在对称轴左边递减，当时，对任意的，当时，即 故应有 又因为在真数位置上所以须有综上得故答案为：【点睛】本题考查了复合函数的单调性复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数14已知，定义表示不小于x的最小整数，若，则正数x的取值范围为_【答案】【解析】由题意可得，即，对的范围进行讨论得出答案【详解】解：，当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题15已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为_【答案】或或 【解析】函数（且）只有一个零点，当时，方程有唯一根2，适合题意当时，或显然符合题意的零点当时，当时，即综上：实数的取值范围为或或故答案为：或或点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16已知函数，的值域是，有下列结论：（1）时，；（2）时，；（3）时，其中正确的结论的序号为_【答案】（2）【解析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案【详解】解：当时，单调递减，当时，单调递增，在单调递增，在单调递减，当时，取最大值为1，绘出的图象，如图：当时，由函数图象可知：要使的值域是，则，；故（1）错误；当时，在，单调递增，的最大值为1，最小值为，；故（2）正确；当时，；故（3）错误，故答案为：（2）【点睛】本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题三、解答题17已知函数的反函数是，（1）画出的图像；（2）解方程【答案】（1）详见解析；（2）或。【解析】（1）作图见解析；（2）先求出的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于的方程，需注意对数的真数大于零。【详解】（1）如图：（2）即即解得或【点睛】本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题。18已知定义在R上的奇函数（且），）（1）求k的值，并用定义证明当时，函数是R上的增函数；（2）已知，求函数在区间上的取值范围【答案】（1），证明见解析；（2）【解析】（1）根据函数为上的奇函数，可求得的值，即可得函数的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）根据的值，可以求得，即可得的解析式，利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；【详解】解：（1）是定义域为上的奇函数，得，是上的奇函数，设任意的且，则，在上为增函数；（2），即，或（舍去），则，令，则，则，由对勾函数的性质可得在上单调递增，故的值域为【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论属于中档题19松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t相关，当时电车为满载状态，载客为400人，当时，载客量会少，少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为（1）求的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）（2），【解析】（1）由题意知，为常数），结合求得，则的表达式可求；（2）写出分段函数，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案【详解】解：（1）由题意知，为常数），（2）由，可得，当时，当且仅当时等号成立；当时，当时等号成立当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元【点睛】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题20对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足，在上是单调函数，当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数的所有“和谐区间”；（2）函数是否存在“和谐区间”？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围【答案】（1），；（2）不存在；理由见解析；（3）【解析】（1）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求符合条件的“和谐”区间；（2）判断函数是否满足“和谐”函数的条件即可；（3）根据函数是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数的取值范围【详解】（1）因为函数在上单调递增，所以有或或；即或或（2）画出函数的图象由图可知函数在 ， 上单调递增，在上单调递减；且函数值域为，故在上不存在 “和谐区间”；假设函数在区间存在 “和谐区间”，则 方程组无解，假设不成立；同理可得函数在区间也不存在 “和谐区间”。故函数不存在 “和谐区间”。（3）在上有“和谐区间”，所以存在区间，使函数的值域为，函数在上单调递增在单调递增，即，为关于的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令与，问题转化为函数与，在上存在两个不同的交点.考察函数如图函数在单调递减，在上单调递增.，且，函数在上递减，当时，直线与函数不可能有两个交点，在递增，由图象可知，当时，函数与在存在两个交点，所以正整数的最小值为，此时，解得.故.【点睛】本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，将“和谐”函数的定义转化为函数的零点个数是解决本题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.21定义在R上的函数和二次函数满足：，（1）求和的解析式；（2）若对于，均有成立，求a的取值范围；（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数【答案】（1），；（2）；（3）见解析【解析】（1）通过代替，推出方程，求解函数的解析式利用是二次函数，且，可设，然后求解即可（2）设，转化条件为当时，通过函数的单调性求解函数的最值，列出关系式即可求出实数的取值范围（3）设，由（2）知，画出函数在的图象，设，则当，