数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限1 函数极限概念1 按定义证明下列极限：（1）；（2）；（3）;（4）；（5）.证明（1）任意给定，取，则当时有.按函数极限定义有.（2）当时有，.若限制，则.于是，对任给的，只要取，则当时，有.故有定义得.(3)由于.若限制，则，对任给的，取，则当时有，所以.(4) .若此时限制，有，则任给，取，当时，有，故由定义得.（5）因为，则.对任给的，只要取，当时，就有，所以按定义有.2 叙述。解：陈述为：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作。其否定陈述为：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为一个确定的常数，若存在某个，使得对任意的正数，总存在满足，使得，则称当时，不以为极限，记为。3 设，证明。证明：因为，由定义有对任给，存在，当时，从而当时，有，于是，故。4 证明：若，则。证明：因为。由定义有对任给，存在，当时，于是有，故。当时，若，则对任给，存在，当时，因此，对已给定的，当时，即。说明当时，上述命题的逆命题也成立。但当时，其逆命题不真。例如对有。显然，但不存在。事实上，可见，故不存在。故当且仅当时，本题反之也成立。5 证明定理：。必要性 设，由极限的定义知对任给，存在，当时，。则当时，有，故。当时，有，故。从而。充分性 ，则对任意给定，存在，使得当时，有。，则对任意给定，存在，使得当时，有。所以对已给定的，取，使得当时，有，故。6 讨论下列函数在时的极限或左右极限：（1）；（2）；（3）。解：（1）因为当时，故有。当时，故。因此不存在。（2）当时，故。当时，故。所以，因此不存在。（3）对任给的，先考虑，取，则当时，于是。再考虑，取，则当时，所以。所以。7设，证明。证明：因，则对任给，存在，当时，取，则当时，故有，所以。8 证明：对黎曼函数有（当或时，考虑单侧极限）。证明：因为上的黎曼函数定义为：。任取时，任给，满足不等式的正整数至多有有限个。而，从而正整数也至多有有限个。于是在内至多只有有限个既约真分数，使得。因此可取，使得内不含这有限个既约分数，于是只要（对，只要；对于，只要），不论是或无理数，都有成立，故。2 函数极限的性质1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（为正整数）；（6）；（7）；（8）。解：（1）因为，再根据极限的四则运算法则，得。（2）。（3）由于，所以。（4），所以。（5）由于，所以。（6）由于，所以。（7）由于，所以。（8），所以。2 利用迫敛性求极限：（1）；（2）。解：（1）因为趋于负无穷，所以当时，而，由迫敛性定理得。（2）因为趋于正无穷，所以当时，。而，。由迫敛性定理得。3 设，证明：（1）；（2）；（3）。证明：（1）因为，则对任给的，存在，当时，。，则对任给的，存在，当时，。对已给定的，取，当时，与同时成立。当时，所以。（2）由及有界性知，存在及，使得当时，。对已给定的，取，当时，有，所以。（3）因为，据函数极限的局部保号性，存在，使得当时，有。取，当时有。由的任意性知，。4 设。试求。解：，当时，。所以。当时，。所以。5 设，。证明，其中为正整数。证明：由于，由局部保号性知。当时，由知，对任给的，存在，当时，所以，即。当时，由。由极限的定义知，对任给的，存在，当时，从而有由的任意性知。6 证明。证明：任给，为了使，即。对其取对数函数并由对数函数的严格递减性，只要，于是取，则当时，有成立，从而证得结论。7 设，。（1）若在某内有，问是否必有？为什么？（2）证明：若，则在某内有。解：（1）不一定有。因。由极限的定义知，对任给的，存在，当时，。又。由极限的定义知，对任给的，存在，当时，。虽然有，但不一定有或但有可能。例如，则在任一内有，但。（2）证明：由于，对，存在，使得当时，有。，对，存在，使得当时，有，于是取，则当，即在内有。8 求下列极限（其中皆为正整数）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）。（2）。（3）由于。由极限的四则运算法则，有。（4）由于，。（5）由于，当时，或。对于两种形式，均有，由迫敛性定理得。9 （1）证明：若存在，则。（2）若存在，试问是否成立？解：（1）证明因为存在，设，则任给，存在，使得当时，有。此时取，则当时，从而有，故有。（2）若若存在，并不一定成立。例如这里存在，但不存在，但是则。3 函数极限存在的条件1 叙述函数极限的归结原则，并应用它证明不存在。解 归结原则：设函数为定义在上的函数，则存在的充要条件是：对任何含于且趋于正无穷的数列，极限都存在且相等。证明 由于在上有定义，设，则显然有且，但，有归结原则知不存在。2设为定义在上的增（减）函数。证明：存在的充要条件是在上有上（下）界。证明 只证一种情况即可。必要条件 由题设存在，设，取，存在，当时，有，又为上的增函数，对任意的时，有。取。则时，所以在上有上界。充分条件 因为在上有上界，则由确界原理可知，在上有上确界，设，则对任意的，有，对任给，按上确界定义，存在，使得，对一切，有，即当时，故。3 （1）叙述极限的柯西准则；（2）根据柯西准则叙述不存在的充要条件，并应用它证明不存在。解 （1）设在上有定义，极限存在的充要条件是：任给，存在正整数，使得对任何，有。（2）设在上有定义，极限不存在的充要条件是：对某一，对任何，总存在，使得。以下用此充要条件来证明不存在。取，对任给，记，存在，使得，故不存在。4 设在内有定义。证明：若对任何数列且，极限都存在，则所有这些极限都相等。证明 任何两个数列，且有，由题知，都存在，设，下证。考虑数列。易见且，由题设知存在。于是作为的两个子列必有相同的极限，由归结原则得出。即的值都相等，且为任取的两极限为的数列，得对所有以为极限的数列结论成立。5 设为上的递增函数。证明：都存在，且。证明 因为为上的递增函数，取。（1） 对任意的。由于，有，即在上有上界，由确界原理知在上有上确界，记。于是任给，存在，使，记，则当时，有。可见，当时，故有。（2） 对任意的。由于，有，即在上有下界，由确界原理知在上有下确界，记。于是任给，存在，使，记，则当时，有。可见，当时，故有。6 设为狄里克莱函数，。证明：不存在。证明 狄里克莱函数法一 用柯西准则证明。取，对任何，由有理数和无理数的稠密性可知，在中必有有理数和无理数，即，使得，于是，故在不满足柯西准则条件，知不存在。法二 用归结原则证明。由有理数和无理数的稠密性知，对任何自然数，有有理数，有无理数，则得到有理数列和无理数列都以为极限，即，使得，而，由归结原则知不存在。7 证明：若为周期函数，且，则。证明 假设不恒等于，则存在，使，因为周期函数，不妨设周期为，作数列，则有，但，根据归结原则，与题设矛盾，故。8 证明：设函数在点的某空心右邻域有定义，的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，且，有。证明 必要性 设，由极限的定义知对任给的，存在，当时，有；另一方面，设数列，且递减趋于，则对上述的，存在，当时，有，从而有，故。充分性 设对任何递减数列，且，有，则可用反证法推出。事实上，若，则存在某一正数，不论多么小，总存在一点，尽管，但有。现依次取，取点，则，但。显然数列，且，即是以为极限的递减数列，且含于，但，这与题设矛盾，故。4 两个重要极限1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） （10）。解（1）。（2）。（3）设，则时相当于，于是。（4）。（5）。（6）令，当时相当于，于是。（7）令，于是当时，于是有。（8）。所以。（9） 。（10）。当时，。所以。2求下列极限：（1）；（2）（为指定实数）；（3）；（4）；（5）；（6）（为指定实数）。解（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。3 证明：。证明所以。从而。所以。4.利用归结原则计算下列极限：（1）；（2）。解：（1）记函数，则有，故有归结原则得。（2）法一 令，则。故有归结原则得。法二，另一方面，当时，而由归结原则知：。由迫敛性原理可知：。5.无穷小量与无穷大量1.证明下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）（为正整数）；（5）；（6）；（7）。证明（1）因，由函数极限的局部有界性知，在内有界，所以。（2）因，由极限的局部有界性知，在内有界，所以。（3）因，故。（4）因为，故，即得。（5）因，由函数极限的局部有界性知，在某个内有界，故。（6）任取，则，从而有，所以。（7）任取，则，于是，故。2.应用定理3.12求下列极限：（1）；（2）。解（1）因为，即。由定理3.12可得。（2）因为。即。由定理3.12得。3.证明（1）设在内有定义且不等于0,。若为时的无穷小量，则为时的无穷大量。（2）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量。证明：（1）因为为时的无穷小量，即，又在内不等于0，所以由极限四则运算法则有，即为时的无穷大量。（2）因为为时的无穷大量，即，由极限四则运算法则有。即为时的无穷小量。4.求下列函数所表示曲线的渐进线：（1）；（2）；（3）。解：（1），得，又，从而得，所以此曲线的斜渐进线方程为。又因为，所以此曲线有垂直渐进线。（2） 因为，得，又，得，由，得，所以此曲线的渐进线方程为。（3） 因为，得，再由，得，所以此曲线的斜渐进线方程为。又由，所以有，从而此曲线有两条垂直渐进线和。5.试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷小量。（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）因为当时，从而，当时，故当当时，与当时为同阶无穷小量。（2），当时，即当时，与当时为同阶无穷小量。（3），当时，与当时为同阶无穷小量。（4），当时，故当时，与当时为同阶无穷小量。6.试确定 的值，使下列函数与当时为同阶无穷大量。（1）；（2）；（3）。解：（1）因为，所以当时，与当时为同阶无穷大量（当时，无意义）。（2） 因为当时，故时，与当时为同阶无穷大量。（3） 因为。所以当时，与当时为同阶无穷大量。7.证明：若为无上界数集，则存在一递增数列，使得。证明：因为为无上界数集，则对任意的，