动点的轨迹问题

精品文档 1欢迎下载 动点的轨迹问题动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程 这是解析几何的一大课题 一 方面求轨迹方程的实质是将 形 转化为 数 将 曲线 转化为 方程 通过对方程的研究来认识曲线的性质 另一方面求轨迹方程是培养学生数形转 化的思想 方法以及技巧的极好教材 该内容不仅贯穿于 圆锥曲线 的教学 的全过程 而且在建构思想 函数方程思想 化归转化思想等方面均有体现和 渗透 轨迹问题是高考中的一个热点和重点 在历年高考中出现的频率较高 特 别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口 注重考查学生的逻辑思维 能力 运算能力 分析问题和解决问题的能力 而轨迹方程这一热点 常涉及 函数 三角 向量 几何等知识 能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程 度 求轨迹方程的的基本步骤 求轨迹方程的的基本步骤 建设现代化 检验 建建 坐标系 设设 动点坐标 现现 限制条件 动点 已知点满足的条件 代代 动 点 已知点坐标代入 化化 化简整理 检验检验 要注意定义域 挖 与 补 求轨迹方程的的基本方法 求轨迹方程的的基本方法 1 1 直接法 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 不 需要特殊的技巧 易于表述成含 x y 的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 2 2 定义法 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出 发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 3 代入法 代入法 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点 P x y 却随另一动 点 Q x y 的运动而有规律的运动 且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得 则可先将 x y 表示为 x y 的式子 再代入 Q 的轨迹方程 然而整理得 P 的轨迹方程 代入法也称相关点 法 4 4 参数法 参数法 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借 助中间变量 参数 使 x y 之间建立起联系 然而再从所求式子中消去参数 得出动点的 轨迹方程 5 5 交轨法 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点 时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然而消去参数得到轨迹方程 可 以说是参数法的一种变种 6 6 转移法 转移法 如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动 且 Q 点在某一已知曲线上运动 那么只需将 Q 点的坐标来表示 并代入已知曲线方程 便可得到 P 点的轨迹方程 7 7 几何法 几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质 发现动点运动规律和动点 满足的条件 然而得出动点的轨迹方程 8 8 待定系数法 待定系数法 求圆 椭圆 双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 9 9 点差法 点差法 求圆锥曲线中点弦轨迹问题时 常把两个端点设为并 2211 yxByxA 代入圆锥曲线方程 然而作差求出曲线的轨迹方程 此部分内容主要考查圆锥曲线 圆锥曲线的定义是根本 它是相应标准方程和几何性 质的 源 对于圆锥曲线的有关问题 要有运用圆锥曲线定义解题的意识 回归定义 是一种重要的解题策略 精品文档 2欢迎下载 二 注意事项 二 注意事项 1 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中 发现动点 P 的运动规律 即 P 点满足的 等量关系 因此要学会动中求静 变中求不变 0 2 为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t tgy tfx yx F 来表示 若要判断轨迹方程表示何种曲线 则往往需将参数方程化为普通方程 3 求出轨迹方程后 应注意检验其是否符合题意 既要检验是否增解 即以该方程的 某些解为坐标的点不在轨迹上 又要检验是否丢解 即轨迹上的某些点未能用所求的方 程表示 出现增解则要舍去 出现丢解 则需补充 检验方法 研究运动中的特殊情形或 极端情形 4 求轨迹方程还有整体法等其他方法 在此不一一缀述 典型例题选讲典型例题选讲 一 直接法题型 一 直接法题型 例例 1 1 已知直角坐标系中 点 Q 2 0 圆 C 的方程为 动点 M 到圆 C 的切线1 22 yx 长与的比等于常数 求动点 M 的轨迹 MQ 0 解 解 设 MN 切圆 C 于 N 则 222 ONMOMN 设 则 yxM 2222 2 1yxyx 化简得0 41 4 1 22222 xyx 1 当时 方程为 表示一条直线 1 4 5 x 2 当时 方程化为表示一个圆 1 22 2 22 2 2 1 31 1 2 yx 说明 说明 求轨迹方程一般只要求出方程即可 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什 么 变式变式 如图 圆与圆的半径都是 1 过动点P分别作圆 圆的 1 O 2 O4 21 OO 1 O 2 O 切线PM PN M N分别为切点 使得 试建立适当的坐标系 并求动点PPNPM2 的轨迹方程 解 以的中点 O 为原点 所在的 21O O 21O O 直线为轴 建立平面直角坐标系 x 则 0 2 0 2 21 OO 由已知可得 PNPM2 22 2PNPM P O 1 O 2 N M y x Q M N O 精品文档 3欢迎下载 因为两圆的半径均为 1 所以 1 21 2 2 2 1 POPO 设 则 即 yxP 1 2 21 2 222 yxx33 6 22 yx 所以所求轨迹方程为 或 33 6 22 yx0312 22 xyx 评析 1 用直接法求动点轨迹一般有建系 设点 列式 化简 证明五个步骤 最后的证明可以省略 但要注意 挖 与 补 2 求轨迹方程一般只要求出方程即可 求轨迹却不仅要求出方程而且要说 明轨迹是什么 二 定义法题型 二 定义法题型 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 例例 2 2 已知 A B C 是直线 l 上的三点 且 AB BC 6 O 切直线 l 于点 A 又过 B C 作 O 异于 l 的两切线 设这两切线交于点 P 求 点 P 的轨迹方程 解析 设过 B C 异于 l 的两切线分别切 O 于 D E 两 点 两切线交于点 P 由切线的性质知 BA BD PD PE CA CE 故 PB PC BD PD PC BA PE PC BA CE AB CA 6 12 18 6 BC 故由椭圆定义知 点 P 的轨迹是以 B C 为两焦点的椭圆 以 l 所在的直线为 x 轴 以 BC 的中点为原点 建立坐标系 可求得动点 P 的轨迹方程为 22 1 8172 xy 练习 练习 已知圆 O 的方程为 x2 y2 100 点 A 的坐标为 6 0 M 为圆 O 上任一点 AM 的 垂直平分线交 OM 于点 P 求点 P 的方程 解 由中垂线知 故 即 P 点的轨迹PMPA 10 OMPOPMPOPA 为以 A O 为焦点的椭圆 中心为 3 0 故 P 点的方程为125 1625 3 22 yx 评析 定义法的关键是条件的转化 转化成某一基本轨迹的定义条件 三 代入法题型 三 代入法题型 例例 3 3 如图 从双曲线 x2 y2 1 上一点 Q 引直线 x y 2 的垂线 垂足为 N 求线段 QN 的中 点 P 的轨迹方程 解 解 设动点 P 的坐标为 x y 点 Q 的坐标为 x1 y1 则 N 2x x1 2y y1 代入 x y 2 得 2x x1 2y y1 2 l O P E D C B A 精品文档 4欢迎下载 又 PQ 垂直于直线 x y 2 故 即 x y y1 x1 0 1 1 1 xx yy 由 解方程组得 代入双曲线方程即可得 P 点的轨1 2 3 2 1 1 2 1 2 3 11 yxyyxx 迹方程是 2x2 2y2 2x 2y 1 0 练习 练习 已知曲线方程 f x y 0 分别求此曲线关于原点 关于 x 轴 关于 y 轴 关于直线 y x 关于直线 y x 关于直线 y 3 对称的曲线方程 f x y 0 f x y 0 f x y 0 f y x 0 f x y 0 f x 6 y 0 四 参数法与点差法题型 四 参数法与点差法题型 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借助 中间变量 参数 使 x y 之间建立起联系 然而再从所求式子中消去参数 得 出动点的轨迹方程 例例 4 4 经过抛物线 y2 2p x 2p p 0 的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B C 两 点 求线段 BC 的中点 M 轨迹方程 解 解 A 2p 0 设直线 AB 的方程为 y k x 2p k0 与抛物线方程联立方程组可解得 B 点的坐标为 由于 AC 与 AB 垂直 则 AC 的方程为 与抛 2 2 2 2 k p p k p 2 1 px k y 物线方程联立方程组可解得 C 点的坐标为 又 M 为 BC 中点 设 2 22 2 kpppk M x y 则 消去 k 得 y2 px 即点 M 的轨迹是抛物线 kp k p y ppk k p x2 2 2 巩巩固固与与提提高高 1 1 在平面直角坐标系xOy 中 抛物线 y x2上异于坐标原点 O 的两不同动点 A B 满足 AO BO 如图 4 所示 求 AOB 的重心 G 即三角形 三条中线的交点 的轨迹方程 解析 解法一 以OA的斜率k为参数由解得 2 ykx yx A k k2 OA OB OB 由解得B 1 yx k 2 1 yx k yx 2 11 k k 设 AOB的重心G x y 则 2 2 11 3 11 3 xk k yk k 精品文档 5欢迎下载 消去参数k得重心G的轨迹方程为 2 2 3 3 yx 解法二 设 AOB 的重心为 G x y A x1 y1 B x2 y2 则 3 3 21 21 yy y xx x 1 OA OB 即 2 1 OBOA kk1 2121 yyxx 又点 A B 在抛物线上 有 代入 2 化简得 2 22 2 11 xyxy 1 21 xx 3 2 3 3 2 3 3 1 2 3 1 3 1 3 22 21 2 21 2 2 2 1 21 xxxxxxxx yy y 所以重心为 G 的轨迹方程为 3 2 3 2 xy 2 2 如图 设抛物线的焦点为 F 动点 P 在直线上运动 2 xyC 02 yxl 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 且与抛物线 C 分别相切于 A B 两点 求 APB 的重心 G 的轨迹方程 解析 设切点 A B 坐标分别为 01 2 11 2 0 xxxxxx 和 切线 AP 的方程为 02 2 00 xyxx 切线 BP 的方程为 02 2 11 xyxx 解得 P 点的坐标为 10 10 2 xxy xx x PP 所以 APB 的重心 G 的坐标为 P P G x xxx x 3 10 3 4 3 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pP P G yx xxxxxxxxyyy y 所以 由点 P 在直线l上运动 从而得到重心 G 的轨迹方 2 43 GGp xyy 程为 24 3 1 02 43 22 xxyxyx即 评析 1 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型 由于选参灵活 技巧性强 O G B A y x P l 精品文档 6欢迎下载 也是学生较难掌握的一类问题 2 选用什么变量为参数 要看动点随什么量的变化而变化 常见的参数有 斜率 截距 定比 角 点的坐标等 3 要特别注意消参前后保持范围的等价性 4 多参问题中 根据方程的观点 引入 n 个参数 需建立 n 1 个方程 才 能消参 特殊情况下 能整体处理时 方程个数可减少 五 交轨法与几何法题型五 交轨法与几何法题型 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点时 常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然而消去参数得到轨迹 方程 可以说是参数法的一种变种 例例 5 5 抛物线的顶点作互相垂直的两弦 OA OB 求抛物线的顶点 O 在直线 0 4 2 ppxy AB 上的射影 M 的轨迹 考例 5 解解 1 1 交轨法 交轨法 点 A B 在抛物线上 0 4 2 ppxy 设 A B 所以 kOA kOB 4 2 A A y p y 4 2 B B y p y A y p4 B y p4 由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB 1 得 yAyB 16p2 又 AB 方程可求得 4 44 2 22 p y x p y p y yy yy A BA BA A 即 yA yB y 4px yAyB 0 把 yAyB 16p2 代入得 AB 方程 yA yB y 4px 16p2 0 又 OM 的方程为 x P yy y BA 4 由 消去得 yA yB即得 即得 04 22 pxyx 222 4 2 pypx 所以点 M 的轨迹方程为 其轨迹是以为圆心 半径为的 222 4 2 pypx 0 2 pp2 圆 除去点 0 0 说明 说明 用交轨法求交点的轨迹方程时 不一定非要求出交点坐标 只要能消去参数 得到 交点的两个坐标间的关系即可 交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况 解解 2 2 几何法 几何法 由解 1 中 AB 方程 yA yB y 4px 16p2 0 可得 AB 过定点 4p 0 而 OM 垂直 AB 所以由圆的几法性质可知 M 点的轨迹是以为圆心 半径为的圆 所 0 2 pp2 以方程为 除去点 0 0 222 4 2 pypx 精品文档 7欢迎下载 六 点差法 六 点差法 例例 6 6 2004 年福建 22 如图 P 是抛物线 C 上一点 直线 过点 P 且与抛物线 2 2 1 xy l C 交于另一点 Q 若直线 与过点 P 的切线垂直 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程 图见教材l P129 页例 2 解 解 设0 0 0 211002211 yyxyxMyxQyxP依题意知 由 1 2 2 1 xy 得 过点 P 的切线的斜率 xy 1 xk 切 直线 的斜率 直线 的方程为 l 11 11 xx kl l 1 2 1 1 1 2 1 xx x xy 2 方法一 方法一 利用韦达定理 中点坐标公式 利用韦达定理 中点坐标公式 联立 1 2 消去得 y 02 2 2 1 1 2 xx x x M 为 PQ 的中点 1 2 1 1 2 10 1 2 10 1 21 0 xx x xy x xx x 消去 0 1 2 1 0 2 0 2 001 x x xyx 得 PQ 中点为 M 的轨迹方程为 0 1 2 1 2 2 x x xy 方法二 点差法 方法二 点差法 由 2 2 1 2 1 21 0 2 22 2 11 xx xxyxy 得 2 1 2 1 2 1 2102121 2 2 2 121 xxxxxxxxxyy 则 0 1 121 21 0 1 1 x x x k xx yy x l 将上式代入 2 并整理 得 0 1 2 1 0 2 0 2 00 x x xy 精品文档 8欢迎下载 PQ 中点为 M 的轨迹方程为 0 1 2 1 2 2 x x xy 说明 说明 本题主要考查了直线 抛物线的基础知识 以及求轨迹方程的常用方法 本题的关 键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题 解决问题 七 向量法 七 向量法 例例 7 7 1995 全国理 已知椭圆如图 6 1 直线L 1 P是 1624 22 yx 812 yx L上一点 射线OP交椭圆于点R 又点Q在OP上且满足 OQ OP OR 2 当点P在L上 移动时 求点Q的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 22 2222 22 2 1 1 2416 1 128 1 24161 OQ OR OPORmOQ OPnOQ OQx y ORmx my OPnx nyOPOQORnm m xm y R nxny PL xyx m 解 由共线设 则由得 在椭圆上 又点在上 22 22 1 282416128 1 1 1 55 23 yxyxy n xy 代入 1 得 即为所求的轨迹为椭圆 本题解法较多 是一道有难