第9章_截交线和相贯线

第9章截交线和相贯线 9 1概述 9 2截交线 9 3相贯线 2 9 1概述 9 1概述 截交线 相贯线 3 9 1概述 9 1概述 截交线 基本形体被平面 截平面 截切时 所产生的交线 平面体截交线 曲面体截交线 截平面 截交线 断 截 面 截平面 截交线 断 截 面 4 相贯线 9 1概述 9 1概述 相贯线 形体相交 所产生的交线 相贯线 相贯线 平平相贯 平曲相贯 曲曲相贯 5 9 2 1平面体截交线 9 2截交线 当基本平面体被截平面完全截断 则所得的截交线必为一闭合的平面折线 此平面折线是由若干个转折点连接的若干段直线段组成 每个转折点均为截平面与平面体棱边的交点 每段直线段均为截平面与平面体棱面的交线 6 9 2 1平面体截交线 9 2截交线 D A B C E 当基本平面体被截平面完全截断 则所得的截交线必为一闭合的平面折线 此平面折线是由若干个转折点连接的若干段直线段组成 每个转折点均为截平面与平面体棱边的交点 每段直线段均为截平面与平面体棱面的交线 7 9 2 1平面体截交线 9 2截交线 当基本平面体被某个截平面部分截断 则所得的截交线必为一不闭合的平面折线 此平面折线是由若干个转折点连接的若干段直线段组成 其中的转折点一部分为截平面与平面体棱边的交点 另一部分是平面体某个棱面内部点 同时也是截平面终止部位处 8 9 2 1平面体截交线 9 2截交线 求作平面体截交线投影的方法 交点法 交线法 先求出截交线上所有转折点 然后将同一平面内两点连线 最后首尾相接所形成的折线即为截交线 注意 求转折点时 若是平面体棱边上的点 则可利用线面求交点的方法 若不是棱边上的点 则要利用在平面内作点的方法 通常需作辅助线 直接求出截交线上的每段直线段 每段直线段可利用截平面与平面体棱面求交线的方法来求 9 9 2 1平面体截交线 9 2截交线 例1 求被正垂面P截断的六棱柱的投影图 解题步骤 1 作出六棱柱顶面交线 2 作出六棱柱两个侧垂面上交线 3 作出六棱柱前后两个正平面上交线 4 作出六棱柱左端面上交线 5 完成截断体投影 交线法 10 例2 求作四棱锥被P面截断后的投影图 交点法 解题步骤 1 作出截平面与四棱锥四条棱边的交点 共4点 2 将位于同一平面内的两点连成交线 共4段 3 完成截断体投影 9 2 1平面体截交线 9 2截交线 11 9 2 2曲面体截交线 9 2截交线 曲面体被一个截平面截断 所产生的截交线是一条平面曲线或平面直线 12 9 2 2曲面体截交线 9 2截交线 截交线投影作法 可以采用描点法来求 即先求出曲线上一些点 包括三类特殊点和一些一般点 然后将这些点光滑连线 特殊点包括 1 确定曲线轮廓的点 如 最左点 最右点 最高点 最低点 最前点 最后点 2 截交线上位于曲面体轮廓线上的点 轴线上的点 中心线上的点 截交线本身固有的特殊点 3 截交线每面投影可见与不可见的分界点 在求每类点时 可以采用曲面体上求点的方法来求 如 素线法 纬圆法等 13 9 2 2 1圆柱体截交线 9 2截交线 根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置 圆柱上的截交线有圆 椭圆 矩形三种形状 14 9 2 2 1圆柱体截交线 9 2截交线 根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置 圆柱上的截交线有圆 椭圆 矩形三种形状 15 9 2 2 1圆柱体截交线 9 2截交线 例1 求作圆柱截断体的投影图 最高点 最右点 最低点 最左点 圆柱轮廓线上点 最前点 最后点 圆柱轮廓线上点 一般点 16 9 2 2 1圆柱体截交线 9 2截交线 例1 求作圆柱截断体的投影图 17 9 2 2 1圆柱体截交线 9 2截交线 45 45 45 当截平面与圆柱轴线的角度发生变化时 其截交线在投影面上投影的形状 长 短轴方向及大小也要随之变化 如下图所示 当 c d W投影是以e f 为长轴 c d 为短轴的椭圆 当 45 时 e f c d W投影为圆 当 45 时 e f c d W投影是以c d 为长轴 e f 为短轴的椭圆 18 9 2 2 2圆锥体截交线 9 2截交线 当截平面垂直于正圆锥面的轴线 截平面与所有素线相交 截平面平行于圆锥面的一条素线 截平面平行于圆锥面的两条素线 0 截平面通过圆锥面顶点 截平面与轴线夹角 母线与轴线夹角 圆 椭圆 抛物线 双曲线 三角形 19 9 2 2 2圆锥体截交线 9 2截交线 20 9 2 2 2圆锥体截交线 9 2截交线 平面截割圆锥所得的截交线有圆 椭圆 抛物线和双曲线 统称为圆锥曲线 当截平面倾斜于投影面时 椭圆 抛物线和双曲线的投影 一般仍然为椭圆 抛物线和双曲线 但是相仿形状 大小有变化 圆的投影为椭圆 椭圆的投影也可能成为圆 作圆锥曲线的投影 可以采用圆锥表面上定点的方法来求 用素线法或纬圆法作出截交线上若干点后 光滑连线即可 21 例1 求作圆锥被P面截断后的投影图 截交线形状 正垂椭圆 截交线H投影 椭圆 截交线W投影 椭圆 投影作法 描点法 最左点 最低点 A点 最右点 最高点 B点 最前 后点 C D点 素线法 或纬圆法 求 圆锥轮廓线上点 E F点 一般点 G H点 9 2 2 2圆锥体截交线 9 2截交线 22 9 2 2 3球体截交线 9 2截交线 平面截割球体时 不管截平面的位置如何 截交线的空间形状总是圆 23 9 2 2 3球体截交线 9 2截交线 截交线的投影形状 1 当截平面平行于投影面时 圆截交线在该投影面上的投影 反映圆的实形 2 当截平面倾斜于投影面时 它的投影为椭圆 3 当截平面垂直于投影面时 它的投影积聚为直线段 长度等于圆截交线的直径 24 9 2 2 3球体截交线 9 2截交线 例1 求作圆球截断体的投影图 截交线H及W投影均为椭圆 作法 描点法 最前点C 最后点D 25 9 2 2 3球体截交线 9 2截交线 例1 求作圆球截断体的投影图 26 9 2 2 3球体截交线 9 2截交线 例2 求作圆球截断体的投影图 截交线为两段侧平圆弧及两段水平圆弧 投影为直线段或圆弧 均可直接作 27 9 2 2 3球体截交线 9 2截交线 例2 求作圆球截断体的投影图 截交线为两段侧平圆弧及两段水平圆弧 投影为直线段或圆弧 均可直接作 28 9 3 1相贯分类 9 3相贯线 相贯类型 全贯 互贯 平平相贯 平曲相贯 曲曲相贯 29 9 3 1 1全贯 9 3相贯线 有贯入有贯出 有贯入无贯出 相贯线是两条互相独立的闭合线 相贯线是一条闭合线 当一个立体全部贯穿另一个立体时 产生封闭的相贯线 称为全贯 30 9 3 1 2互贯 9 3相贯线 有贯入有贯出 有贯入无贯出 相贯线是一闭合线 相贯线是一不闭合线 当两个立体相互贯穿 任何一个都没有完全贯入对方时 产生一组封闭的相贯线 称为互贯 31 9 3 2相贯线特点 9 3相贯线 相贯线是两立体表面的交线 因此相贯线是两立体表面的共有线 相贯线上的点是两立体表面的共有点 称为贯穿点 并且相贯线又是两立体的分界线 可见性的判别原则 两立体表面投影都可见的部分相交 其交线可见 否则不可见 一个立体位于另一个立体内部的部分互相融合到一起 不需作出 没有相交的部分 则要根据投影的可见性画为实线或虚线 32 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 相贯线为两段或一段闭合或不闭合的空间折线 折线中的每段线段均为相贯的两个形体的表面交线 折线上的每个转折点 均为一个平面体的侧棱与另一个平面体的棱面的交点 1 相贯线 33 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 求平面体相贯线的方法 交点法 交线法 首先求出相贯线上的转折点 即为每个平面体上参加相贯的棱线与另一个平面体上参加相贯的棱面的交点 然后将各点中同时位于两立体同一表面上的两点顺次相连 即为所求相贯线 依次求出参加相贯的两个立体相交棱面的交线 各交线自然围成图形即为所求相贯线 结论 求两平面体的相贯线实际上就归结为求直线与平面的交点和求平面与平面的交线的问题 34 例1 已知屋面及屋面上气窗的V W投影 求气窗与坡屋面交线的H投影 并完成整个屋面的投影图 35 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 2 同坡屋顶 对水平面的倾角相同 且房屋四周的屋檐高度相同的屋面所构成的屋顶 称为同坡屋顶 36 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 2 同坡屋顶 已知同坡屋顶的屋檐的H面投影和屋面的倾角 求作屋面的交线来完成同坡屋顶的投影图 可视为特殊形式的平面立体相贯 37 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 同坡屋面交线的投影特点 1 两个屋檐平行的屋面 其交线为屋脊线 屋脊线的H投影 如ab 不仅与两屋檐的H投影 如cd和ef 平行 而且与两檐口的距离相等 均为y 38 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 同坡屋面交线的投影特点 2 两个屋檐相交的屋面 其交线为斜脊或天沟 斜脊或天沟的H投影为两屋檐夹角的平分线 如 eca dca 45 39 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 同坡屋面交线的投影特点 3 在同坡屋面上 如果有两条屋面交线交于一点 则该点上必然有第三条屋面交线通过该点 这个点就是三个相邻屋面的共有点 如图中的a点 是两条斜脊线ae ac和屋脊线ab的交点 40 例2 已知同坡屋面檐口线的H投影 屋面对于地面 H面 的倾角为30 求作屋面交线的H投影和屋面的V W投影 9 3 3平平相贯 9 3相贯线 b a b c d 根据同坡屋面的投影特性首先求出H投影 然后求出V W投影 41 9 3 4平曲相贯 9 3相贯线 相贯线是 由若干个转折点所连接的若干段平面曲线或直线所组成的空间线 每段平面曲线或直线 就是平面体上各侧棱面截割曲面体表面产生的截交线 每个转折点 就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点 42 9 3 4平曲相贯 9 3相贯线 求平曲相贯相贯线的方法 分两步 1利用求线面交点的方法求出各个转折点 2利用求曲面体上截交线的方法求出每两个转折点之间的各段交线 结论 求平曲相贯的相贯线实际上就归结为求直线与平面的交点和求曲面体上截交线的问题 43 8 3 9 3 4平曲相贯 9 3相贯线 例1 求作四棱柱与圆柱相贯体的投影图 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 2 6 3 7 4 8 1 5 7 4 6 2 分析 1 由已知投影可知 四棱柱从圆柱的左面完全贯入 右面完全贯出 属于全贯 相贯线为左右对称的两组 每组相贯线由四段截交线组成 四棱柱的顶面与底面截割圆柱面截交线为两段水平圆弧 前面与后面截割圆柱面截交线为两段铅垂线段 2 由于圆柱面的H投影积聚 所以相贯线的H投影已知 由于四棱柱的顶面 底面 前面 后面W投影积聚 所以相贯线的W投影已知 只需作出V投影 44 9 3 4平曲相贯 9 3相贯线 例2 求作三棱柱与圆锥的相贯体的投影图 1 2 3 4 5 6 2 1 3 4 2 4 1 3 5 6 5 6 7 8 7 8 7 8 对称点 完成相贯体投影 整理轮廓线 分析 1 三棱柱从圆锥的前面完全贯入 从后面贯出 属于全贯 相贯线为前后两组对称的空间线 每组线由一段水平圆弧 两段椭圆弧组成 2 由于相贯线在三棱柱的顶面及左右棱面上 而此三面V投影积聚 因此 相贯线的V投影已知 需作出H W投影 45 9 3 5曲曲相贯 9 3相贯线 相贯线是 空间曲线或平面曲线或直线 46 9 3 5曲曲相贯 9 3相贯线 求曲曲相贯相贯线的方法 一相贯线为空间曲线 描点法 即要求相贯线各面投影 可以首先求出相贯线上若干个点的投影 最后由点的投影光滑连线形成相贯线的投影 注意 应用上述两种方法取点时 要尽量作出相贯线上的三类特殊点 确定贯线轮廓的点 如 最高点 最低点 最前点 最后点 最左点 最右点 相贯线向各个投影面投影时可见与不可见的分界点 相贯线上位于各曲面体的轮廓线上的点 还要作出一些一般点 中间点 以确保相贯线能够准确作出 求相贯线上点的方法 1 利用曲面立体表面投影的积聚性直接求出相贯线上一系列点 2 辅助面法 平面或球面 应用三面共点的原理求出相贯线上一系列点 47 9 3 5曲曲相贯 9 3相贯线 1 利用曲面的积聚投影直接求出相贯线 只要相交两曲面中某一投影有积聚性 就可利用该积聚投影作出一系列公有点 然后连成相贯线 48 9 3 5曲曲相贯 9 3相贯线 例1 求两正交圆柱的相贯线 1 确定相贯线轮廓的点 最左点 最高点 I 最右点 最高点 II 最前点 最低点 III 最后点 最低点 IV 最右点 最高点 II 最前点 最低点 III 最后点 最低点 IV 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 相贯线向V面投影时可见与不可见的分界点 I II点 相贯线上位于两个圆柱体的轮廓线上的点 I II III IV点 一般点 V VI点 5 6 5 6 5 6 49 9 3 5曲曲相贯 9 3相贯线 例2 求作圆柱与圆锥相贯线的投影 描点法 三类特殊点 最左点 向V面投影可见与不可见分界点 I点 最右点 向V面投影可见与不可见分界点 II点 最前点 向W面投影可见与不可见分界点 III点 最后点 向W面投影可见与不可见分界点 IV点 最低点V点 最高点VI点 圆锥最左素线上点VII点 圆锥最右素线上点VIII点 圆锥最前素线上点IX点 圆锥最后素线上点X点 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 最低点 最高点 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 或用纬圆法 10 对称面 50 9 3 5曲曲相贯 2 利用辅助平面的方法来求两形体表面的公有点 来连出相贯线 注意 辅助平面法求公有点时 为了使得辅助平面分别与两形体相交所得的交线的投影容易作出来 要求所设辅助平面的位置相对于投影面尽量为特殊位置 且与两形体相交所得交线的形状尽量为直线或平行于投影面的圆 9 3相贯线 51 9 3 5曲曲相贯 9 3相贯线 例3 求斜交圆柱的表面交线及相贯体投影 相贯线为一条闭合空间曲线 作图方法