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6 2一元方程的不动点迭代法 6 2 2局部收敛性和加速收敛法 6 2 1不动点迭代法及其收敛性 6 2 1不动点迭代法及其收敛性 6 2 3 把 6 2 1 转换成等价形式 6 2 2 的方法很多 迭代函数的不同选择对应不同的迭代法 它们的收敛性可能有很大的差异 当方程有多个解时 同一迭代法的不同初值 也可能收敛到不同的根 举例说明如下 对应的迭代法分别为 表6 2 例6 3 解 对应的迭代法为 则对方程 6 2 2 有 6 2 5 证 显然有 6 2 6 由估计式 6 2 5 可知 只要相邻两次计算结果的偏差足够小 且不很接近1 既可保证近似值具有足够的精度 因此 可以通过检查的大小来判断迭代过程是否终止 并且 由 6 2 5 有 6 2 7 有时 对于一些不满足定理6 1的条件问题 可以通过转化 化为适合于迭代的形式 这要针对具体情况进行讨论 6 2 2局部收敛性和加速收敛法 定理6 2 上述定理称为局部收敛定理 它给出了局部收敛的一个 充分条件 当迭代收敛时 收敛的快慢用下述收敛阶段来衡量 从而 在这种情况下 xk 是线性收敛的 可见 提高收敛阶的一个途径是选择迭代函数 使它足 下面给出整数阶超线形收敛的一个充分条件 其中在与之间 由 6 2 9 有 由的连续性可得 6 2 10 定理得证 因此 当k充分大时有 从中解出得 所以 我们在计算了之后 可以用上式右端作为的一个修正值 这样 我们可将迭代法改造成下述过程 称为Steffensen迭代法 表6 4 例6 6求方程的根 解此方程等价于 由y x和可以看出 只有一个不动点x 0 都有 所以迭代法线性收敛 取初始值 0 5 迭代结果列于表6 4 准确解是 0 56714329040978 可见线性收敛的速度是很慢的 表6 5 定理6 4设函数按 6 2 13 定义 从而 反之 若 则由 6 2 13 得知 于是 由对 6 2 14 的两边求极限 因为x 至少是p x 和q x 二重根 所以 使用两次L Hospitale法则得 其中 2 由 1 可知x 是的不动点 于是 由定理6 3 只要证明 对 6 2 13 两边求导得 可见 在定理6 4的条件下 不管原迭代法收敛还是不收敛 由它构成的Steffensen迭代式 6 2 11 至少平方收敛 因此 Steffensen迭代法是对原迭代法的一种改善 关于原迭代法不收敛的情形 举例如下
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