数学北师大版一年级下册相交线与平行线.doc

相交线与平行线编稿老师：白 真审稿老师：范兴亚责 编:邵剑英 一、对顶角和邻补角的概念：在相交的两条直线得到的四个角中，（1）有公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角。如图中的1和2，3和4。（2）有一个公共顶点，还有一条公共边的两个角叫做邻补角。如图中的1与3，2和4。邻补角也可以看成是，一条直线与端点在这条直线的一条射线组成的两个角。如下图。指出：邻补角是两个角互补的特殊关系。练习1：辨别图形：下图中两角是对顶角吗？练习2：找图中1的邻补角。练习3：两直线相交，对顶角相等。证明猜想，形成定理。已知：如图，直线AB与直线CD相交于O点。求证：1=3，2=4。证明：因为1+2=180，（邻补角定义）3+2=180，（邻补角定义）所以 1=3。（同角的补角相等）同理：2=4。因此，我们可以得到对顶角的性质：对顶角相等。 角的名称特征性质相同点不同点对顶角两条直线相交而成的角有一个公共顶点没有公共边对顶角相等都是两条直线相交而成的角，都有一个公共顶点。它们都成对出现。对顶角没有公共边，而邻补角有一条公共边，两条直线相交时，一个角的对顶角有一个，一个角的邻补角有两个。邻补角两条直线相交而成的角有一个公共顶点有一条公共边邻补角互补例如图，（1）已知直线AB，CD相交于点O，（2）已知直线AE，BD相交于点C。图中哪些角是邻补角？答：（1）邻补角是DOA与AOC，AOE与EOB，BOC与COA，COE与DOE，DOA与DOB，DOB与BOC。（2）邻补角是ACB与ACD，ECD与DCA，DCE与ECB，ECB与ACB。图中哪些角是对顶角？解：（1）中的对顶角是AOD与COB，AOC与DOB。（2）中的对顶角是ACB与DCE，BCE与ACD。二、垂直：1垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。2垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（1）“过一点”有几种情况？（2）“有且只有”什么意思？ 练习：过点P分别向角的两边作垂线。 三、同位角、内错角、同旁角的概念角的名称位置特征基本图形图形结构特征同位角在两条被截直线同旁，在截线同侧去掉多余的线是现基本图形形如字母“F”或（倒“F”形）内错角在两条被截直线之内，在截线两侧（交错）去掉多余的线是现基本图形形如字母“Z”或（反置）同旁内角在两条被截直线之内，在截线同侧去掉多余的线是现基本图形形如字母“U”练习：口答。1如图1，找出右图中所有的同位角、内错角、同旁内角。2如图2，直线a、b被直线c所截的角中，找出同位角、内错角、同旁内角。四、直线的平行（一）重点知识讲解：1平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。若两条直线a，b互相平行，记作ab。强调两条直线不重合。2平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两个直线互相平行。（简单说成：平行于同一直线的两直线平行）即：如图，若ac，bc，则ab。已知：若ac，bc，求证：ab。证明：假设直线a与直线b不平行，那么直线a与b相交，设交点为M。因为ac，bc，所以点M在直线c外，这样过点M有两条直线a，b与直线c平行，与平行公理矛盾。所以，假设直线a与直线b不平行错误，因此只有ab。3平行线的判定：直接根据平行线的定义来判断两条直线是否平行是非常困难的一件事。人们在实践中总结、归纳、证明出利用角的关系来判断两条直线是否平行。（1）同位角相等，两直线平行；（公理）（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行。（5）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。已知：如图，在同一平面内，CDAB于D点，EFAB于F点，求证：CDEF。证明：CDAB于D点，EFAB于F点（已知），CDB=EFB=90（垂线定义）。又CD、EF在同一平面内，CDEF（同位角相等，两直线平行）。注意：（1）平行线的性质定理与平行线的判定定理是互为逆命题的关系。即命题的题设与结论对调。（2）平行线的判定定理是平行线作图的理论依据。例如：过直线外一点P作直线。4平行线的性质（1）由平行线的定义可知：若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点。（2）平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线相互平行。（3）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。即：两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补。（4）如果一条直线与两条平等线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直。已知：如图，ABCD，直线MNAB于E点，交CD于F点。求证：直线MNCD。证明：（欲证MNCD于F，只要证MFD=90）ABCDMFD=MEB。又MNAB于E，MEB=90MFD=90MNCD。（5）平行线间的平行线段相等。（6）平行线间的距离处处相等。（如图所示，请同学们自证） （二）典型例题解析：例1已知：如图，ABDC，（1）若ADBC，求证：A=C；（2）若A=C，求证：ADBC。证明：（1）ABDC（已知），A+D=180（两直线平行，同旁内角互补）。即A=180D。ADBC，（已知）C+D=180。（两直线平行，同旁内角互补）即C=180D。由，A=C。（2）ABDC（已知），A+D=180（两直线平行，同旁内角互补）。又C=A（已知），C+D=180，C+D=180，ADBC（同旁内角互补，两直线平行）。例2已知，如图，CDEF，1=65，2=35，求3与4的度数。分析：3=1802ENA，而在CDEF的条件下，ENA=1，4=180MNF=1803。解：CDEF（已知），ENA=1=65。（两直线平行，同位角相等）3=1802ENA（平角定义）=1803565=80，3=80。CDEF（已知），4+MNF=180（两直线平行，同旁内角互补）。4=180MNF=1803（对顶角相等）=18080=100。即4=100。例3已知，如图，ABCD，则图中、三个角之间的数量关系为（ ）。A+=360 B+=180C+=180D=90解：过E点作EFAB。ABCD，EFCD（平行于同一条直线的两直线平行）。EFCD，FED=D=。（两直线平行，内错角相等）ABEF，A+AEF=180（两直线平行，同旁内角互补）+()=180，即+=180。答：选C。小结：为了便于找到角与角之间的相等关系，作平行线是今后学习和解决问题时，常用的辅助线。例4已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，且EMB=CNF，试确定直线AB与CD的位置关系，并说明你的理由。解：ABCD。AMN=EMB，MND=CNF（对顶角相等），EMB=CNF（已知），AMN=MND（等量代换）。AMN=MND，ABCD（内错角相等，两直线平行）。例5在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于180，现在学习了平