走向高考数学2011第3篇2-3

第三讲抛物线 重点难点重点 抛物线定义 几何性质及标准方程难点 抛物线几何性质及定义的应用知识归纳 1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l F l 的距离的点的轨迹叫做抛物线 2 抛物线的标准方程和几何性质 如下表所示 相等 3 抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 过焦点的弦 为AB A x1 y1 B x2 y2 则有如下结论 AB x1 x2 p y1y2 p2 误区警示1 关于抛物线定义要注意点F不在直线l上 否则轨迹不是抛物线 而是一条直线 2 关于抛物线的标准方程由于选取坐标系时 坐标轴有四种不同的方向 因此抛物线的标准方程有四种不同的形式 这四种标准方程的共同点在于 1 p的几何意义 焦参数p是焦点到准线的距离 所以p恒为正数 2 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向 3 焦点的非零坐标是一次项系数的 一 探究学习 例1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交 两个交点的纵坐标为y1 y2 求证 y1y2 p2 证明 显然这条直线不平行于抛物线的对称轴x轴 从而可设其方程为x my 代入y2 2px 得y2 2pmy p2 0 由韦达定理得 y1y2 p2 思考 设方程x my 有什么好处 如果改为点斜式呢 例2 写出例1的逆命题 判断是否成立 设A x1 y1 B x2 y2 为抛物线y2 2px p 0 上两点 且知y1y2 p2 求证 直线AB过抛物线y2 2px的焦点F 证明 1 若x1 x2 则 y1 y2 p 故x1 x2 时 直线AB过焦点F A F B三点共线 故直线AB过抛物线y2 2px的焦点F 例3 抛物线y2 2px上是否存在更一般的弦与其对称轴交点为定点呢 设M a 0 是抛物线y2 2px p 0 的轴上一定点 过M的直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 则y1y2和x1x2均为定值 证明 设直线AB的方程是x my a 代入y2 2px化简得y2 2mpy 2ap 0 有y1y2 2ap 定值 x1x2 a2 定值 同法可以证明 当y1y2 k 定值 时 直线AB过定点综上可得结论 设A x1 y1 B x2 y2 是抛物线y2 2px p 0 上两点 则直线AB过定点M a 0 的充分且必要条件是y1y2 2ap 例1 08 北京 若点P到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点P的轨迹为 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 解析 由条件知 点P到直线l x 2的距离等于它到点F 2 0 的距离 由抛物线的定义知 点P的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物线 p 4 方程为y2 8x 故选D 动点P到直线x y 4 0的距离等于它到点M 2 2 的距离 则点P的轨迹是 A 直线B 抛物线C 椭圆D 双曲线解析 M 2 2 在直线x y 4 0上 而 PM 即为P到直线x y 4 0的距离 动点P的轨迹为过点M垂直于直线x y 4 0的直线 故选A 答案 A 例2 直线l经过抛物线y2 2px p 0 的焦点F 且与抛物线交于P Q两点 由P Q分别向准线引垂线PR QS 垂足分别为R S 如果 PF a QF b M为RS的中点 则 MF 的值为 解析 根据抛物线的定义 有 PF PR QF QS RFO FRP RFP SFO FSQ SFQ RFS RFP SFQ RFS为直角三角形 故 MF 为直角三角形斜边上的中线 在直角梯形PRSQ中 RS 故 FM RS 故选D 文 浙江杭州 若直线l与抛物线C y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 两点 F是抛物线C的焦点 则 弦长 AB x1 x2 p 是 直线l经过点F 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 由抛物线的定义知 AF x1 BF x2 AF BF x1 x2 p AF BF AB AB x1 x2 p是直线l经过点F的充要条件 答案 C 理 08 四川 已知抛物线C y2 8x的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在C上且 AK AF 则 AFK的面积为 A 4B 8C 16D 32 解析 y2 8x的焦点为F 2 0 准线x 2 K 2 0 即 x 2 2 y2 2 x 2 2 y2 化简得 y2 x2 12x 4 与y2 8x联立解得 x 2 y 4 S AFK F F yA 4 4 8 故选B 答案 B 例3 双曲线 1 mn 0 离心率为2 有一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合 则mn的值为 文 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合 则p的值为 A 2B 2C 4D 4解析 椭圆 1的右焦点为 2 0 所以抛物线y2 2px的焦点为 2 0 则p 4 故选D 答案 D 理 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点F恰好是椭圆的右焦点 且两条曲线的公共弦过F 则椭圆的离心率是 解析 由抛物线与椭圆的对称性知 公共弦PP x轴 当x 时 y2 2px p2 y p 即 PF p 设左焦点为F1 则 FF1 2c p 答案 A 例4 已知AB是抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 F为抛物线焦点 A x1 y1 B x2 y2 求证 5 以AB为直径的圆与抛物线准线相切 分析 考查抛物线的过焦点的弦的性质 将抛物线的焦点弦的方程设出 代入抛物线方程 利用韦达定理等解决问题 这时y1 p y2 p 则y1 y2 p2 x1 x2 因此 总有y1 y2 p2 x1 x2 成立 2 由抛物线定义 AF 等于点A到准线x 的距离 将 代入 得 3 如图 S AOB S AOF S BOF OF AF sin OF BF sin OF sin AF BF OF AB sin 5 设AB的中点为M x0 y0 分别过A M B作准线的垂线 垂足为C N D 则 MN AC BD AF BF AB 以AB为直径的圆与准线相切 总结评述 1 抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质 特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离 化两点间的距离为点线间的距离 应用起来非常方便 还有其他的一些性质这里就不一一证明了 如 ANB 90 以CD为直径的圆切AB于点F等 2 以上证明的五个结论是抛物线中非常重要的结论 要切实掌握其推证思路 文 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 点P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 在抛物线上 且2x2 x1 x3 则有q A FP1 FP2 FP3 B FP1 2 FP2 2 FP3 2C 2 FP2 FP1 FP3 D FP2 2 FP1 FP3 解析 将2x2 x1 x3两边同时加上p得 P1 P2 P3在抛物线上 2 FP2 FP1 FP3 答案 C 理 09 四川 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 解析 抛物线的焦点F 1 0 直线l2为抛物线的准线 P到l2的距离等于 PF 设由P向l1作垂线的垂足为M 则当P M F三点共线时 PM PF 取最小值 此时 PM PF 等于F到l1的距离d 2 答案 A 例5 设F 1 0 M点在x轴上 P点在y轴上 且 1 当点P在y轴上运动时 求N点的轨迹C的方程 2 设A x1 y1 B x2 y2 D x3 y3 是曲线C上的三点 且成等差数列 当AD的垂直平分线与x轴交于E 3 0 时 求B点的坐标 成等差数列 当AD的垂直平分线与x轴交于E 3 0 时 求B点的坐标 解析 1 故P为MN中点 又 P在y轴上 F为 1 0 故M在x轴的负半轴上 y2 4x x 0 是轨迹C的方程 2 抛物线C的准线方程是x 1 由抛物线定义知 x1 1 x2 1 x3 1 x1 1 x3 1 2 x2 1 x1 x3 2x2 文 在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线y2 4x相交于不同的两点A B 1 如果直线l过抛物线的焦点 则的值为 2 如果 4 则直线l必过一定点 该定点坐标为 解析 1 由题意知 抛物线的焦点为 1 0 设l x ty 1 代入抛物线y2 4x中消去x得 y2 4ty 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4 x1x2 y1y2 ty1 1 ty2 1 y1y2 t2y1y2 t y1 y2 1 y1y2 4t2 4t2 1 4 3 2 设l x ty b 代入方程y2 4x消去x得 y2 4ty 4b 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b x1x2 y1y2 ty1 b ty2 b y1y2 t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 令b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直线l过定点 2 0 答案 1 3 2 2 0 理 09 湖北 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线与抛物线相交于M N两点 自M N向准线l作垂线 垂足分别为M1 N1 1 求证 FM1 FN1 2 记 FMM1 FM1N1 FNN1的面积分别为S1 S2 S3 试判断 4S1S3是否成立 并证明你的结论 解析 1 证法一 由抛物线的定义得 MF MM1 NF NN1 MFM1 MM1F NFN1 NN1F 如图 设准线l与x轴的交点为F1 MM1 NN1 FF1 F1FM1 MM1F F1FN1 NN1F 而 F1FM1 MFM1 F1FN1 NFN1 180 即2 F1FM1 2 F1FN1 180 F1FM1 F1FN1 90 即 M1FN1 90 故FM1 FN1 证法二 依题意 焦点为准线l的方程为x 设点M N的坐标分别为M x1 y1 N x2 y2 直线于是 y1 y2 2mp y1y2 p2 p2 y1y2 p2 p2 0 故FM1 FN1 2 4S1S3成立 证明如下 证法一 设M x1 y1 N x2 y2 则由抛物线的定义得 证法二 如图 设直线MN的倾角为 MF r1 NF r2 则由抛物线的定义得 MM1 MF r1 NN1 NF r2 MM1 NN1 FF1 FMM1 FNN1 在 FMM1和 FNN1中 由余弦定理可得 由 1 的结论 得S2 FM1 FN1 一 选择题1 文 福建福州 若抛物线y2 4x的焦点是F 准线是l 则经过点F M 4 4 且与l相切的圆共有 A 0个B 1个C 2个D 3个 答案 C 解析 经过F M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上 设圆心为C 则 CF CM 又圆C与l相切 所以C到l距离等于 CF 从而C在抛物线y2 4x上 故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点 显然有两个交点 所以共有两个圆 理 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线l交抛物线于点A B 交其准线于点C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方程为 答案 B 解析 由抛物线定义 BF 等于B到准线的距离 由 BC 2 BF 得 BCM 30 又 AF 3 从而在抛物线上 代入抛物线方程y2 2px 解得p 2 设O为坐标原点 F为抛物线y2 4x的焦点 A为抛物线上一点 若 4 则点A的坐标为 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 2 答案 B 点评 向量与解析几何相结合 向量往往要化为坐标的形式 3 黑龙江双鸭山 过抛物线y ax2 a 0 的焦点F作一直线交抛物线于A B两点 若线段AF BF的长分别为m n 则等于 答案 B 解析 特例法 取通径AB 则m n 故 二 填空题4 文 若点 3 1 是抛物线y2 2px的一条弦的中点 且这条弦所在直线的斜率为2 则p 答案 2 解析 设弦两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 两式相减得 y1 y2 2 p 2 理 若椭圆x2 a2 a 0 和连结A 1 1 B 2 3 两点的线段恒有公共点 则实数a的取值范围为 解析 线段AB与椭圆有公共点 其等价条件是点A在椭圆内或边界上 点B在椭圆外或边界上 5 沿直线y 2发出的光线经抛物线y2 ax