【精品推荐】球面几何 选修3 3 2.3球面三角形中边角的基本性质ppt课件

导入新课 球面三角形是一类特殊的三角形 也具有三角形的一些通性 同样 在生活当中我们也可以发现它的应用 某些天然矿石具有球面三角形态 汽车标志的设计 一些精美的饰品 在前面所学的平面几何知识中 我们已经知道 在平面三角形中 三角形三内角和等于180 在球面上 三角形内角之和大于180 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 在同一个三角形内 大边对大角 大角对大边 那么对于球面三角形 这些性质是否依然成立呢 下面 我们将对球面三角形的一些基本性质进行学习 2 3球面三角形边角的基本性质 教学目标 知识与能力 掌握球面三角形的基本概念 熟记球面三角形中边角的基本性质 过程和方法 利用所学过的平面三角形的边角关系进行知识迁移 掌握球面三角形基本性质 通过对球面三角形基本性质的证明 加深对知识的理解 情感态度和价值观 通过平面几何向空间几何的过渡 培养学生的空间想象能力 和知识迁移能力 在球面三角形边角性质的证明过程中 锻炼逻辑思维能力 重点 球面三角形定义 概念 理解球面三角形中边角对应关系 难点 球面三角形边角性质的证明 教学重难点 教学内容 球面上 顺次连接不在同一个大圆上的三个点的球面线段所构成的图形 称为球面三角形 球面三角形定义 知识回顾 这三条球面线段叫做球面三角形的边 这三个点叫做球面三角形的顶点 每两条球面线段所形成的球面角 叫做球面三角形的内角 基本性质1 球面三角形的两边之和大于第三边 即在球面 ABC中 a b c c a b b c a 证明 如图 在球面 ABC中 将A B C三个顶点分别与球心O相连 从而得到三面角O ABC 由三面角的性质 三面角任意一个面角小于其他两个面角之和而大于其差 可得 又在单位圆中弧长与其对应的圆心角的弧度数相等 所以c a b 同理 可证明a b c b c a 由球面三角形的基本性质1 我们可以推知 球面三角形的两边之差小于第三边 若在球面三角形中 三边关系为a b c 则 a b c a c b b c a 基本性质2 球面三角形中 等边所对的角相等 等角所对的边相等 即在球面ABC中 b c b c 证明 先证明在球面 ABC中 若 b c则 B C 如图 过顶点A作平面OBC的垂线交该平面于点D 过点D分别作OB OC的垂线DE DF 因b c 所以 AOE AOF又因为OA OA 所以Rt AEO Rt AFO 所以 AED AFD 又因为 AED B AFD C 从而有 B C 所以AE AF 又因为AD AD 所以Rt ADE Rt ADF 下面再证明由 B C推出b c 观察球面 ABC的球极三角形 由于球极三角形的边与原三角形的对应角之和为 所以b c 由上面的证明可得 B C 再由球极三角形的边与原三角形的对应角之和为 就可得b c 基本性质3 球面三角形中 大角对大边 大边对大角 则由基本性质2 可推知 根据基本性质1 A B C D a b c 证明 在球面三角形ABC中 设 作球面角 ABD 使其等于 A 证明 因为a b c均为正 故a b c 0 又由立体几何得知凸多面角各面角之和小于360 因此 课外扩展 通过前面的学习 我们知道了球面三角形中边角对应关系 现在我们来学习两条有关球面三角形中边 角的角度的性质 球面三角形三边之和大于0 而小于360 0 a b c 360 AOB BOC COA 360 证明 由极三角形和原三角形的关系得 a A 180 b B 180 c C 180 即A B C 540 a b c 但根据定理2有 0 a b c 360 所以上式化为180 A B C 540 球面三角形三角之和大于180 而小于540 课堂小结 1 球面三角形的两边之和大于第三边 由三面角的性质 两面角之和大于第三个面角 并由单位球面中 弧长与圆心角对应关系可知 2 球面三角形等边对应的角相等 等角对应的边相等 通过作图 添加辅助线 构造全等三角形来证明边角间的对应关系 3 球面三角中 大边对大角 大角对大边 利用前面的基本性质1 性质2可以推知 边 角 越大 对应的角 边 也越大 解析 本小题考查球的截面圆性质 球的表面积 基础题 解 设球半径为R 圆M的半径为r 则 r2 3 即r2 3由题得R2 2 3 所以R2 44 R2 16 R 高考链接 1 09全国卷 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M 若圆M的面积为3 则球O的表面积等于 2 到圆C 若圆C的面积等于 则球O的表面积等于 2 09全国卷 设OA是球O的半径 M是OA的中点 过M且与OA成45 角的平面截球O的表面得 答案 8 解析 本题考查立体几何球面知识 注意结合平面几何知识进行运算 由 3 09全国卷 直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上 若AB AC AA1 2 则此球的表面积等于 120 解 在 ABC中 AB AC 2 BAC 120 可得 BC 23由正弦定理 可得 ABC外接圆半径r 2 设此圆圆心为O 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径R 5 故此球的表面积为4 R2 20 答案 20 弧长是 为R地球半径 则这两地间的球 1 三个球的半径之比为1 2 3 那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍 2 北纬60 圈上M N两地 它们在纬度圈上的 面距离为 课堂练习 3 在半径为13cm的球面上有A B C三点 其中AB BC AC 12cm 求球心到经过这三点的截面的距离 两点的劣弧长为 R为地球半径 求 O O A B A B两点间的球面距离 4 在北纬45 圈上有A B两点 设该纬度圈上A B 5 已知过球面上A B C三点的截面和球心的距离为球半径的一半 且AB BC CA 2 求球的表面积 6 半球内有一个内接正方体 正方体的一个面在半球的底面圆内 若正方体棱长为 求球的表面积和体积 A O B C D 所以 球心到截面距离为11cm 3 解 设经过A B C三点的截面为 O 设球心为O 连结OO 则OO 平面ABC AO 12 4 1 2 3 习题答案 a AB r R ABC中 AOB 所以 A B两点的球面距离等于R说明 要求两点的球面距离 必须先求出两点的直线距离 再求出这两点的球心角 进而求出这两点的球面距离 4 解 设北纬45 圈的半径为r 则r 设O 为北纬45 圈的圆心 A