06函数的几种简单性质 王振堂 高等数学 教学课件

一 函数的奇偶性 二 函数的周期性 三 函数的单调增减性 四 函数的有界性 1 6函数的几种简单性质 一 函数的奇偶性 定义1 10 函数的奇偶性 设函数f x 的定义域D关于原点对称 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为偶函数 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为奇函数 偶函数的图形对称于y轴 奇函数的图形对称于原点 一 函数的奇偶性 定义1 10 函数的奇偶性 设函数f x 的定义域D关于原点对称 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为偶函数 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为奇函数 偶函数的图形对称于y轴 奇函数的图形对称于原点 例1 判断y x4 2x2的奇偶性 所以y x4 2x2为偶函数 f x x 4 2 x 2 x4 2x2 f x 解 因为 一 函数的奇偶性 定义1 10 函数的奇偶性 设函数f x 的定义域D关于原点对称 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为偶函数 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为奇函数 偶函数的图形对称于y轴 奇函数的图形对称于原点 解 因为 例3 判断y x3 1的奇偶性 所以y x3 1是非奇非偶函数 也不等于 f x x3 1 既不等于f x x3 1 f x x 3 1 x3 1 解 因为 一 函数的奇偶性 定义1 10 函数的奇偶性 设函数f x 的定义域D关于原点对称 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为偶函数 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为奇函数 偶函数的图形对称于y轴 奇函数的图形对称于原点 二 函数的周期性 定义1 11 函数的周期性 对于函数y f x 如果存在正的常数a 使得f x f x a 恒成立 则称此函数为周期函数 满足这个等式的最小正数a 称为函数的周期 周期函数举例 例如 y sinx就是周期函数 周期为2 三 函数的单调增减性 定义1 12 函数的单调性 设函数f x 在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调增加 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调减少 单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的 单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的 所以y x3在 内是单调增加的 例4 判断函数y x3的单调性 解 对于任意的x1 x2 如果x1 x2 那么 x13 x23 因此有f x1 f x2 三 函数的单调增减性 定义1 12 函数的单调性 设函数f x 在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调增加 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调减少 在函数的定义域内 函数的单调性不一定相同 例如 函数y 2x2 1在区间 0 内是单调减少的 在区间 0 内是单调增加的 三 函数的单调增减性 定义1 12 函数的单调性 设函数f x 在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调增加 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调减少 四 函数的有界性 定义1 13 函数的有界性 设函数y f x 在I上有定义 如果存在K 0 使对任意x I 都有 f x K 则称函数f x 是I上的有界函数 否则称函数f x 在I上无界 举例