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9 3几种二阶微分方程 一 最简单的二阶微分方程 三 不显含自变量的二阶微分方程 二 不显含未知函数的二阶微分方程 二阶微分方程的一般形式为F x y y y 0 在这节里介绍几个简单的 经过适当变换可将二阶降为一阶的微分方程 一 最简单的二阶微分方程 形如y f x 的微分方程是最简单的二阶微分方程 这种方程的通解可经过两次积分而求得 其中C1 C2为任意常数 解 例1 求微分方程y xex的通解 积分一次得 再积分一次得 x 2 ex C1x C2 提示 二 不显含未知函数的二阶微分方程 不显含未知函数y的二阶微分方程形如y f x y 方程的解法 作变换y p 得p f x p 解方程p f x p 得p x C1 即y x C1 分离变量 得dy x C1 dx 解 令y p 则原方程化为 这是关于p的一阶线性微分方程 即y x ex C1 三 不显含自变量的二阶微分方程 不显含自变量x的二阶微分方程形如y f y y 方程的解法 提示 再由初始条件y x 3 1 这就是所给方程满足初始条件的特解 得C2 5 代入上式整理后得 的特解
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