第二章 模糊控制及应用

第二章模糊控制及其应用 基于模糊推理的智能控制系统 2 1引言2 2经典集合论2 3模糊集合基础2 4模糊控制器工作原理2 5模糊控制仿真应用实例 2 1引言 一 模糊控制理论的产生和发展二 模糊控制的概念和特点 控制系统简介 控制系统的基本结构可分为 开环控制系统闭环控制系统它们以被控对象的状态变量是否引入负反馈到控制器来予以区分 控制装置 被控对象 给定值 开环控制系统适用于控制对象变化缓慢 不能建立系统数学模型的 控制精度要求不高的场合 开环控制 按给定值操纵的开环控制 闭环控制系统 从被控对象检测出状态变量值 并以此检测值与目标期望值 给定值 进行比较 以偏差值作为控制器的输入量 由控制器按某种数学模型进行运算后的结果 作为控制量 闭环控制系统结构 是负反馈系统 传统控制方法的局限性 若用计算机实现传统控制方法 A 首先要设定控制目标值 B 根据被控对象的特性变化和环境变化 通过负反馈原理 不断进行调节 以跟踪所设定的目标值 C 设计一个满足控制目标的控制器 必须要有数学模型 实际实现很困难 特别是对复杂的非线性系统和多因素的时变系统 随着系统复杂程度的提高 将难以建立系统的精确数学模型和满足实时控制的要求 人们希望探索一种除数学模型以外的描述手段和处理方法 例如 骑自行车 水箱水温控制 一 模糊控制理论的产生和发展 模糊控制就是模仿人的控制过程 其中包含了人的控制经验和知识 模糊控制方法既可用于简单的控制对象 也可用于复杂的过程 模糊控制以模糊集合论作为数学基础 1965年L A Zadeh 美国教授 首先提出了模糊集合的概念 1974年E H Mamdani 英国教授 首先将模糊集合理论应用于加热器的控制 模糊控制的主要应用领域 航空航天无人驾驶车辆生产调度系统能源生产系统过程控制系统机器人 中国批准863高技术计划 包括自动化领域的计算机集成制造系统和智能机器人两个主题 1986 日本SONY公司二足步行机械人SDR 4X 2002 日本安川公司娱乐机械狗 2001 二 模糊控制的概念和特点 模糊控制 Fuzzycontrol 是指模糊理论在控制技术上的应用 用语言变量代替数学变量或两者结合应用 用模糊条件语句来刻画变量间的函数关系 用模糊算法来刻画复杂关系 模拟人类学习和自适应能力 模糊逻辑控制方法 把模糊数学理论应用于自动控制领域 从而产生的控制方法称为模糊控制方法 传统控制依赖于被控系统的数学模型 模糊逻辑控制依赖于被控系统的物理特性 优点 A 无需预先知道被控对象的精确数学模型 B 容易学习和掌握模糊逻辑控制方法 规则由人的经验总结出来 以条件语句表示 C 有利于人机对话和系统知识处理 以人的语言形式表示控制知识 2 2经典集合论 一 经典集合及其运算二 关系与映射 模糊集合与经典集合 经典集合 描述清晰概念模糊集合 描述不确定的概念 康托 Cantor G F P 1845年 1918年 德国数学家 把若干确定的有区别的 不论是具体的或抽象的 事物合并起来 看作一个整体 就称为一个集合 其中各事物称为该集合的元素 集合中的每个对象叫做这个集合的元素 属于不属于 一 经典集合及其运算 1 基本概念论域当讨论某个概念的外延或考虑某个问题的议题时 总会圈定一个讨论的范围 这个范围称为论域 常用大写字母表示 元素论域中的每个对象称为元素 常用小写字母等符号表示集合在某一论域中 具有某种特定属性的对象的全体成为该论域中的一个集合 常用大写 或 等表示 三者相互关系 三者相互关系的常用符号有 表示元素属于集合 表示元素不属于集合 表示集合中的所有元素表示集合中存在元素 2 普通集合的表示方法 1 列举法例如 小于10的正奇数的集合 记为 1 3 5 7 9 2 定义法例如 是5的整数倍 3 特征函数法例如 3 几种特殊的集合全集是包含论域中的全部元素的集合 记为空集是不包含任何元素的集合 记为是的一个子集 记作 或集合的幂集 是由集合的所有子集构成的集合 二 普通集合的基本运算 并运算交运算补运算 差运算集合的直积 例 设 则直积 三 普通集合运算的基本性质 1 交换律2 结合律3 分配律 4 幂等律5 同一律6 零一律7 补余律 互补律 三 普通集合运算的基本性质 8 吸收律9 德 摩根律 三 普通集合运算的基本性质 10 双补律 复原律或称双重否定律 三 普通集合运算的基本性质 二 关系与映射 一 普通关系1 集合的直积由两个集合和各自的元素 构成的序偶的集合 称为集合和的直积 记作 2 二元关系如果对集合和中的元素之间搭配加以某种限制 则满足此限制的所有序偶构成的集合是直积中的一个子集 定义2 1设和是两个非空集合 集合和的直积的一个子集称为到的一个二元关系 简称关系 二 关系与映射 3 关系矩阵关系可用关系矩阵来表示 关系矩阵的第行第列上的元素按如下定义 二 关系与映射 自反关系R 对称关系R 传递关系R 等价关系R R同时满足 二 普通等价关系 集合X上的几个重要的二元关系 符号表示取大运算 符号表示取小运算 1 映射概念 定义设X Y是两个非空集合 如果存在一个法则f 使得对X中每个元素x 在Y中有唯一确定的元素y与之对应 则称f为从X到Y的映射 记作 y f x 其中y称为元素x 在映射f下 的像 而元素x称为元素y 在映射f下 的一个原像 三 映射 2 3模糊集合基础 一 模糊集合及其运算二 隶属度函数及其确定三 模糊关系四 模糊语言变量与模糊语句五 模糊推理 模糊概念 天气冷热 雨的大小 风的强弱 人的胖瘦 年龄大小 个子高低 一 模糊集合及其运算 一 模糊集合的基本概念及其表示方法定义2 2 所谓给定了论域上的一个模糊集是指 对任何 都指定了一个数与之对应 它叫做对的隶属度 这意味着构造了一个映射 这个映射称为的隶属函数 人的 工作认真 程度在 0 1 中打分 便得到一个从U到 0 1 的映射 记模糊集 工作认真 例如 设 表示4个人 对每个 这样 就确定了一个模糊集 它表示出每个人 对 工作认真 的符合程度 定义2 3 模糊集的支撑集是指一个 普通 集合 我们记为 模糊集的峰点指的是论域中使得取最大值的点 如果模糊集的支撑集在上只含一个点 且 则就称为单值模糊集 模糊集合的表达方式 Zadeh 扎德 表示法 向量表示法 1 当U为有限集 u1 un 时 有以下几种表示方法 隶属函数表示法 例设F是远大于0的实数集合 显然F是模糊集合 而论域U表示全部实数集合 U中任一元素u隶属模糊集合F的隶属度 F u 可有下式来定义 2 当U为无限连续域时 Zadeh给出如下记法 例 以人的岁数作为论域U 0 120 单位是 岁 那么 年轻 年老 都是U上的模糊子集 隶属函数如下 年轻 u 年老 u 二 模糊集之间的运算 设模糊集 规定模糊集之间的并 交 以及补运算如下 例设x 1 2 3 上有两个模糊子集为 则有 设U为论域 则有 幂等律 交换律 结合律 吸收律 三 模糊集合运算的基本性质 同一律 分配律 复原律 对偶律 不满足互补律 二 隶属度函数及其确定 一 隶属度函数经典集合的特征函数只能取0和1两种值 与二值逻辑相对应 模糊集合的特征函数取值范围从 0 1 集合扩大到 0 1 区间 与连续逻辑相对应 二 确定隶属函数应遵循的一些基本原则 例 适中速度的集合是模糊集合 可表示为 适中速度 0 30 0 5 40 1 50 0 5 60 0 70 从最大隶属度函数点向两边延伸时 其隶属函数的值是必须是单调递减的 而不允许有波浪形 1 表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 2 变量所取隶属度函数通常是对称的 平衡的 3 隶属度函数要符合人们的语义顺序 避免不恰当的重叠 附近隶属函数的范围 重叠范围 L U A1 A2 x 1 0 0 0 0 5 1 0 32 很高 适中 高 交叉越界的隶属函数示意图 重叠指数的定义 速度 km h 1 4 论域中每个点至少属于一个隶属函数的区域 并应属于不超过两个隶属函数的区域 5 当两个隶属函数重叠时 重叠部分对两个隶属函数的最大隶属度不应有交叉 6 当两个隶属函数重叠时 重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于或等于1 x 通常的方法是 初步确立粗略的隶属函数 然后在通过 学习 和不断的实践来修整 完善 三 隶属函数的确立方法 隶属函数是模糊集合论的基础 如何确定隶属函数就是一个关键问题 由于模糊理论的研究对象具有 模糊性 和经验性 因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的 1 经验直觉法这种方法比较简单 人们利用专家或者熟练技工的经验来建立隶属函数 例如可变模糊温度的隶属函数可以选择三角形函数 2 模糊统计法 其基本思想是 论域U上的一个确定的元素u0是否属于一个可变动的清晰集合A 作出清晰的判断 对于不同的实验者 清晰集合A 可以有不同的边界 但它们都对应于同一个模糊集A u0对A 的隶属频率 u0 A的次数 试验总次数n 随着n的增大 隶属频率会趋向稳定 这个稳定值就是u0对A的隶属度 3 三分法例如建立 矮个子 中等个子 和 高个子 三个模糊集的隶属函数 取论域 0 3 单位 米 每一个模糊试验确定论域的一次划分 每次划分确定一对数 是矮个子与中等个子的分界点 是中等个子与高个子的分界点 通常 和都服从正态分布 四 典型隶属函数 1 左大右小的偏小型下降函数 Z函数 偏小形 0 x 1 0 x 0 x 1 0 x 0 x 1 0 x 2 左小右大的偏大型上升函数 S函数 偏大形 0 1 0 x x 0 x 1 0 x 0 x 1 0 矩形分布 梯形分布 曲线分布 矩形分布 梯形分布 曲线分布 3 对称型凸函数 函数 0 1 0 x x 矩形分布 0 x 1 0 x 三角形分布 隶属度函数基本图形分为三大类 三 模糊关系 一 模糊关系1 模糊关系的定义设 是两个非空集合 则直积为论域中的一个模糊子集 称为从集合到的一个模糊关系 也称二元模糊关系 由其隶属函数刻画 隶属度表明了 x y 具有关系的程度 模糊关系矩阵模糊矩阵的元素表示论域中第个元素与论域中的第个元素对于关系的隶属程度 即 2 模糊等价关系自反性 对称性 传递性 设是论域上的一个模糊关系 同时满足自反性 对称性 传递性的模糊关系称为论域上的一个模糊等价关系 二 模糊关系矩阵的基本运算 1 并运算 2 交运算 3 补运算 设 是上的模糊关系 其模糊关系矩阵为 模糊关系是一类特殊的模糊集 同模糊集合一样有交 并 补 包含 相等等运算法则相似 若总存在 则称和相等 记作 4 相等 5 包含若总存在 则称包含于 记作 6 转置将模糊关系矩阵中行与列相互交换 得到 7 合成定义设有模糊关系矩阵及 则对合成运算指的是一个行列的模糊关系矩阵 其中的第行第列元素等于的第行元素与的第列的对应元素两两先进行取小运算 然后再所得结果中进行取大运算所得结果 即 模糊关系和模糊矩阵的合成例子 例某家中 子女与父母的长像相似关系R是模糊关系 可看作A 子 女 B 父 母 模糊关系可表示为 模糊矩阵R 该家中父母与祖父母 C 祖父 祖母 的相似关系也是模糊关系 模糊矩阵S 孙子 孙女与祖父母的相似程度 R S 此模糊关系表明 孙子与祖父 祖母的相似程度为0 2 0 2 孙女与祖父 祖母的相似程度为0 5 0 6 8 幂运算模糊关系矩阵的幂定义为 模糊矩阵运算的性质 恒等律 交换律 分配律 结合律 吸收律 复原律 对偶律 同一律和模糊集合的性质一样 对模糊矩阵 互补律不成立 3 截集与截关系矩阵 截集 模糊集合的截集是一个普通集合 其特征函数 取 求截矩阵 例 四 模糊语言变量与模糊语句 一 模糊语言 语言是信息交流的重要工具 分为两种 行为语言有严格的语法规则和语义 不存在任何模糊性和歧义 自然语言具有语义丰富 灵活等特点 同时具有模糊性 如温度很高 年龄很大等 1 模糊语言 我们把带有模糊性的语言称为模糊语言 如长 短 大 小等 模糊语言变量是具有模糊性和一定歧义的词语 取值用模糊语言表示的模糊集合 设论域U 0 150 以语言变量名称N 年龄为例 则T 年龄 可定义为 T 年龄 儿童 少年 青年 中年 老年 2 单词的合成与分解单词之间通过连接词 或 且 连接起来 或在单词前面加否定词 非 从逻辑上对应于集合运算中的 非 这些运算可以把单词组成词组 也可以把词组分解成原子单词 例 语言算子是指语言系统中一类修饰字词的前缀词或模糊量词 用来调整词的含义 如新 旧等 通常分为语气算子 如极 很 特别 较 稍微等 模糊化算子 如大概 大约 近似等 判定化算子 如偏向于 多半是等 3 模糊语言算子 1 语气算子用作为语气算子定量描述模糊集合 得到一个新的模糊集合 模糊集合的隶属函数为 当时 为集中化算子 它能加强语气的肯定程度 当时 称为散漫化算子 它能减弱语气的肯定程度 2 模糊化算子 大约 近似 之类的修饰词属于模糊化算子 作用是把确定转化为模糊 3 判断化算子 倾向于 偏向于 之类词称为判定化算子 其作用是对模糊值进行肯定化处理或作出倾向性判断 处理方法有点类似于 四舍五入 并常把隶属度为0 5作为分界 4 模糊语言变量一个语言变量可定义为一个五元体 式中X为语言变量的名称 T X 为语言变量语言值名称的集合 U为论域 G为语法规则 M为语义规则 二 模糊语句模糊语句可分为模糊直言语句和模糊条件语句两类 1 模糊直言语句句型为 是 例如 是非常小 2 模糊条件语句 有三种基本句型 分别为 若则 型若炉温偏低 则增加燃料量 若则否则 型若炉温偏低 则增加燃料量 否则减少燃料量 若且则 型若炉温偏低且温度变化的系数为负 则增加燃料量 五 模糊推理 一 判断句与推理句判断句直言判断句的句型是 是 他 八成是感冒了2 推理句 若是 则是 型若西红柿变红了 则西红柿熟了 二 模糊推理 1 二值逻辑推理传统的二值逻辑推理为三段论推理 即大前提 若 则 小前提 如今 结论 后件 前件 2 模糊逻辑推理大前提 健康则长寿小前提 这位老人很健康 结论 这位老人很长寿 3 模糊推理规则 如果小 则就大问 如果很小 则将怎样 模糊似然推理 似然推理方法的推理规则为 大前提 若则 小前提 如今 结论 若x是A则y是B的推理句的模糊关系为 几种常用的似然推理算法 Zadeh的模糊推理算法 Mamdani的模糊推理算法 Lukasiewicz蕴涵是由波兰数学家JanLukasiewicz提出的 其隶属函数表示为 有限和蕴涵的隶属函数表示为 4 模糊条件推理 模糊条件推理有两种基本类型 1 ifthenelse 的模糊条件推理 如果 则 2 ifandthen 的模糊条件推理 现在且 则 根据推理合成规则 在控制系统中 一般用系统输出的偏差和偏差变化率作为输入控制器的信息 把控制量的变化作为控制器的输出 这样就构成双输入单输出的控制器 当偏差 偏差变化率和控制量均为模糊集合时 控制器为模糊控制器 三 复杂形式模糊条件语句的模糊推理 1 模糊条件语句 ifandthenelse 2 模糊条件语句 ifandandthen 3 模糊条件语句 iforthenor 4 模糊条件语句 ifandthenand 2 4模糊控制器的工作原理 一 模糊控制与传统控制二 模糊控制系统的组成三 确定量的模糊化四 模糊控制算法的设计五 模糊推理六 输出信息的模糊判决七 基本模糊控制器的设计八 模糊模型的建立 传统控制 Conversionalcontrol 经典反馈控制和现代控制理论 它们的主要特征是基于精确的系统数学模型的控制 适于解决线性 时不变等相对简单的控制问题 模糊控制 fuzzycontrol 也可以解决线性时不变的控制问题 同时也可用于一些非线性的复杂的时变系统之中 两者可以统一在智能控制的框架下 一 模糊控制与传统控制 模糊控制器 FuzzyController 特点 模糊控制是一种基于规则的控制 由工业过程的定性认识出发 容易建立语言控制规则 控制效果优于常规控制器 具有一定的智能水平 模糊控制系统的鲁棒性强 二 模糊控制系统的组成 怎样设计一个模糊控制器 第一个问题是如何把确定量转换为对应的模糊量 如何形成模糊控制规则库如何实现模糊输出量的解模糊判决 模糊逻辑控制系统结构 模糊控制器 被控对象 反馈信号 给定值R 偏差e 输出u 数字量转化为模糊量 模糊量转化为数字量 模糊推理 模糊化 解模糊化 模糊控制器的基本结构 模糊控制器设计的主要步骤 1 选定模糊控制器的输入输出变量 一般取e ec和u 2 确定各变量的模糊语言取值及相应的隶属函数 即进行模糊化 模糊语言值通常选取3 5或7个 例如取为 负 零 正 等 然后对所选取的模糊集定义其隶属函数 3 建立模糊控制规则或控制算法 这是指规则的归纳和规则库的建立 是从实际控制经验过渡到模糊控制器的中心环节 控制律通常由一组if then结构的模糊条件语句构成 例如 ife Nandc N thenu PB 等 或总结为模糊控制规则表 可直接由e和c查询相应的控制量u 4 确定模糊推理和解模糊化方法 常见的模糊推理方法有最大最小推理和最大乘积推理两种 解模糊化方法有最大隶属度法 中位数法 加权平均 重心法 求和法或估值法等等 一 模糊控制器的语言变量模糊控制器的输入语言变量一般取系统误差及其变化率 用和表示 三 确定量的模糊化 二 量化因子与比例因子1 量化因子在范围内连续变化的误差分成个区间 使之离散化 则误差所取模糊集合的论域为 在 2 比例因子设为控制量的变化量的基本论域 为基本论域的量化区间数 对于系统控制量的变化量 定义 三 语言变量值的选取误差 误差变化率和控制量的变化量 均为语言变量 一般可分为大 中 小三个等级 考虑到变量的正负 常选用正大 正中 正小 零 负小 负中 负大等七个语言变量值 四 语言变量论域上的模糊集合每个语言变量的取值 对应于其论域上的一个模糊集合 该模糊集合由隶属度函数来描述 五 一个确定数的模糊化一个确定数的模糊化分为两步 1 根据确定数以及量化因子求在基本论域上的量化等级 2 查找语言变量的赋值表 找出与最大隶属度对应的模糊集合 该模糊集合就代表确定数的模糊化结果 四 模糊控制算法的设计 一 常见的控制规则1 单输入 单输出模糊控制器的模糊控制规则ifthenifthenelse 2 双输入 单输出模糊控制器的模糊控制规则ifandthen3 双输入 单输出模糊控制器的模糊控制规则ifandand andthen 4 双输入 多输出模糊控制器的模糊控制规则若控制规则有多个控制通道 各控制通道可以输出多个不同的控制 相当于双输入 单输出的多个系统的叠加 ifandthenAndifandthenAnd if 例 二 基于控制规则的模糊关系描述整个系统控制规则的模糊关系可写作 五 模糊推理 已知 表达手动控制策略的模糊关系和输入语言变量对应的模糊集合 或and 或andand 求 输出语言变量对应的模糊集合 例 某电热炉用于对金属零件的热处理 要求炉温给定值 人工控制时 根据对炉温的观测值 调节电热炉供电电压 达到升降炉温的目的 现改为模糊控制系统 试设计模糊控制器 解 设计工作分为五步进行 1 首先确定模糊控制器的输入量和输出量 实测炉温与给定值之误差作为输入量输出量采用晶闸管整流电源的触发电压的变化量 2 输入 输出变量的模糊化 描述输入变量以及输出变量的语言值和取为误差的论域为控制量的论域为 3 模糊控制规则语言描述 操作人员经验的语言描述可以归纳为若炉温低于 则升压 低得越多升压越高 若负大 则正大 若负小 则正小 若炉温等于 则保持电压不变 若为零 则为零 若炉温高于 则降压 高得越多降压越低 若正大 则负大 若正小 则负小 4 用误差论域到控制量论域上的模糊关系表示模糊控制规则 5 模糊决策 控制量通过模糊合成规则得出当时 有 当 六 输出信息的模糊判决 从模糊输出隶属函数中找出一个最能代表这个模糊集合作用的精确量 这就是解模糊判决 解模糊化常用方法 最大隶属度法在模糊集合中选隶属度最大的论域元素作为确定量输出取中位数法先计算输出模糊集合的隶属度曲线和论域元素横坐标围成区域的面积 取平分该面积的数作为模糊判决结果 重心法 七 基本模糊控制器的设计 一 模糊控制查询表及算法流程图1 模糊控制查询表 1 模糊控制算法一般双输入 单输出模糊控制器的控制规则可写成条件语句 是定义在误差 误差变化率和控制量论域 上的模糊集合 用一个模糊关系描述 即 隶属度函数为 当误差以及误差变化分别取模糊集 时 控制器输出的变化量根据模糊推理合成规则可得 隶属度函数为 2 建立查询表查询表可由计算机离线计算 实时控制过程中 根据论域变换后的和直接查表以获得控制量的变化值 乘以比例因子 即可作为输出进行控制 2 模糊控制算法的流程图程序一般包括两个部分 1 计算机离线计算查询表的程序 属于模糊矩阵运算 2 计算机在模糊控制过程中在线输入误差以及误差变化率 经过模糊化处理后 查找查询表后再处理得到输出 二 基本模糊控制器设计实例在冶炼金属钨的九管还原炉的温度控制中需控制六个温区的温度 由于各温区可视为结构相同且相互独立的六个温控系统 故只需考虑一套系统的设计 控制任务是降温区的温度控制在给定值附近 误差不允许超过 由于九管还原炉的数学模型较难建立 试采用模糊控温方案 1 输入输出语言变量的选择输入语言变量选为实际温度与给定温度之差 即误差 以及误差变化率 输出语言变量选加热装置中晶闸管导通角的变化量 故模糊控制器为双输入 单输出 2 建立各语言变量的赋值表误差的基本论域为 30oC 30oC 输入语言变量的论域为总结专家操作的经验 确定各语言变量值在论域上的隶属度函数 建立语言变量的赋值表 3 建立模糊控制规则表总结手动控制策略 得出一组由52条模糊条件语句构成的控制规则 据此建立控制规则表 4 建立查询表 控制系统在实际运行时 在每一控制周期中 将采样得到的和计算得到的分别乘以和 得到中的相应元素和 查表后得到中的相应元素 乘以比例因子后 即得到控制量的值 八 模糊模型的建立 相关法是根据系统输入 输出量的实测值 应用模糊集合理论辨识系统模糊模型的一种方法 采用这种方法建立的模糊模型可以对系统的基本特性做出较严格的定量描述 一 模糊模型定义设有单输入 单输出系统 其输入语言变量误差的论域为 输出语言变量控制量的论域为 的模糊集合分别为 模糊模型是指描述系统的一组模糊条件语句 二 两种类型的模糊模型1 模糊关系