大学微积分的教程

1 第四节 一 函数单调性的判定法 二 曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第四章 2 主要内容 函数的单调性 曲线的凹凸性与拐点 3 函数的单调性与导数符号的关系 函数单调增加 函数单调减少 4 函数单调性的判定定理 定理 设函数y f x 在 a b 处连续 在 a b 内可导 1 如果f x 0 x a b 则f x 在 a b 上 单调递增 2 如果f x 0 x a b 则f x 在 a b 上 单调递减 5 例 解 1 讨论函数y lnx的单调性 2 讨论函数y ex x 1的单调性 y 0 y在 0 上单调递减 当x 0时 y 0 y在 0 上单调递增 解 lnx在 0 上单调递增 当x 0时 6 解 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 令f x 0得 x1 1 x2 2 当 x 1时 f x 0 在 1 上单调递增 当1 x 2时 f x 0 在 1 2 上单调递减 当2 x 时 f x 0 在 2 上单调递增 求函数f x 2x3 9x2 12x 3的增减性 例1 7 求函数f x 2x3 9x2 12x 3的增减性 解 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 令f x 0得 x1 1 x2 2 1 1 2 2 1 2 也可用列表法讨论如下 0 0 所以 递增区间为 1 和 2 递减区间为 1 2 例1 8 求函数f x x 2 2 x 1 3的单调区间 例2 9 求函数f x x 2 2 x 1 3的单调区间 解 f x x 2 5x 4 x 1 2 令f x 0得 2 1 列表讨论如下 1 1 0 0 0 例2 10 求函数y 的单调性 解 当 x 0时 f x 0 在 0 上单调递减 当0 x 时 f x 0 在 0 上单调递增 当x 0时 导数不存在 例3 11 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 注意 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 例如 驻点 方法 用驻点和不可导点来划分函数的定义区间 然后判断区间内导数符号 总结 12 利用函数的单调性证明不等式 例4 证 当x 0时 证明x ln 1 x 设f x x ln 1 x 则 即x ln 1 x 而f 0 0 f x f 0 0 当x 0时 f x f 0 在 0 上单调递增 f x 在 0 上连续 在 0 内可导 且f x 0 13 例5 证 综上所述 当x 0时 总有ex 1 x 令f x ex 1 x 则f x ex 1 当x 0时 f x 0 f x 在 0 为增函数 即ex 1 x f x f 0 0 当x 0时 f x 0 f x 在 0 为减函数 即ex 1 x f x f 0 0 14 利用函数的单调性讨论方程的根 由连续函数的介值定理知 例6 证 证明方程有且只有一个实根 设 f x 在 0 1 内至少有一个根 又因为 所以 f x 在 0 1 内有且只有一个实根 f x 在 0 1 上单调递增 15 二 曲线的凹凸性与拐点 问题 如何研究曲线的弯曲方向 16 函数曲线除了有上升和下降外 还有什么特点 17 曲线凹向的定义 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点的切线的上方 则称曲线在这个区间内是上凹的 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点的切线的下方 则称曲线在这个区间内是下凹的 上凹 下凹 18 曲线凹向的定义 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 如果对 a b 中任意一点x0 总成立 f x 0 x a b 且x x0 则称曲线在 a b 上是上 下 凹的 连续曲线在上凹与 下凹的分界点 称为拐点 19 曲线的凹向与函数的导数的单调性 拐点 上凹 下凹 当曲线是上凹的时 f x 单调增加 当曲线是下凹的时 f x 单调减少 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点 20 定理 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内二阶可导 则曲线y f x 在 a b 上是上凹的 则曲线y f x 在 a b 上是下凹的 21 解 求函数y x3的上凹 下凹区间及拐点 拐点为 0 0 例7 22 得 解 求函数y 3x4 4x3 1的上凹 下凹区间及拐点 上凹 下凹 上凹 拐点 拐点 令 例8 23 拐点的求法 1 找出二阶导数为零的点或不可导点 2 若它两边的二阶导数值异号 则为拐点 若同号 则不是拐点 24 求曲线y 的拐点 解 当x 0时 x 0是不可导点 都不存在 点 0 0 是曲线的拐点 例9 25 求曲线y 的拐点 解 当x 0时 x 0是不可导点 都不存在 点 0 0 不是