第四章第六节三角函数的性质

1 第四章第四章 第六节第六节 三角函数的性质三角函数的性质 题组一三角函数的定义域问题 1 函数 y tan 4 x 的定义域是 A x x x R 4 B x x x R 4 C x x k k Z x R 4 D x x k k Z x R 3 4 解析 x k x k k Z 4 2 3 4 答案 D 2 函数 y lg sinx 的定义域为 cosx 1 2 解析 要使函数有意义必须有 sin0 1 cos0 2 x x 即 sin0 1 cos 2 x x 解得 2 Z 22 33 kxk k kxk 2k x 2k k Z 3 函数的定义域为 x 2k x 2k k Z 3 答案 x 2k x 2k k Z 3 2 题组二三角函数的单调性 3 2010 福州模拟 若函数 y sinx f x 在 内单调递增 则 f x 可以是 4 3 4 A 1 B cosx C sinx D cosx 解析 y sinx cosx sin x x 满足题意 所以 f x 2 4 2 4 2 可以是 cosx 答案 D 4 求 y 3tan 的周期及单调区间 6 x 4 解 y 3tan 3tan 6 x 4 x 4 6 T 4 y 3tan 的周期为 4 6 x 4 由 k k 得 4k x 4k k Z 2 x 4 6 2 4 3 8 3 y 3tan 在 4k 4k k Z 内单调递增 x 4 6 4 3 8 3 y 3tan 在 4k 4k k Z 内单调递减 6 x 4 4 3 8 3 题组三三角函数的奇偶性和周期性 5 2009 江西高考 函数 f x 1 tanx cosx 的最小正周期为 3 A 2 B 3 2 C D 2 解析 f x 1 tanx cosx cosx sinx 33 2sin x T 2 6 2 答案 A 3 6 若函数 y 2cos 2x 是偶函数 且在 0 上是增函数 则实数 可能是 4 A B 0 2 C D 2 解析 依次代入检验知 当 时 函数 y 2cos 2x 2cos2x 此时函数 y 是偶函数且在 0 上是增函数 4 答案 D 题组四三角函数的值域与最值 7 已知函数 f x 2sin x 0 在区间 上的最小值是 2 则 的最小值 3 4 等于 A B 2 3 3 2 C 2 D 3 解析 由题意知 43 2 T T 解得 3 2 答案 B 8 已知函数 f x sin2 x sin xsin x 0 的最小正周期为 3 2 1 求 的值 2 求函数 f x 在区间 0 上的取值范围 2 3 解 1 f x 1cos2 2 x sin2 x 3 2 sin2 x cos2 x 3 2 1 2 1 2 sin 2 x 6 1 2 4 因为函数 f x 的最小正周期为 且 0 所以 解得 1 2 2 2 由 1 得 f x sin 2x 6 1 2 因为 0 x 所以 2x 2 3 6 6 7 6 所以 sin 2x 1 1 2 6 所以 0 sin 2x 6 1 2 3 2 即 f x 的取值范围为 0 3 2 题组五三角函数性质的综合应用 9 设函数 f x Asin x A 0 0 的图象关于直线 x 对称 它的最小正周期 3 是 则函数 f x 的图象的一个对称中心是 A 1 B 0 3 12 C 0 D 0 5 12 12 解析 T 2 又 函数 f x 的图象关于直线 x 对称 2 3 sin 2 1 3 k1 k1 Z 6 由 sin 2x k1 0 得 2x k1 k2 k1 k2 Z 6 6 x k2 k1 12 2 当 k1 k2时 x 12 函数 f x 的图象的一个对称中心为 0 12 答案 B 5 10 文 若 a cos x sin x b sin x 0 其中 0 记函数 f x a b b k 3 1 若函数 f x 的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于 求 的取值范围 2 2 若函数 f x 的最小正周期为 且当 x 时 函数 f x 的最大值是 求 6 6 1 2 函数 f x 的解析式 并说明如何由函数 y sinx 的图象变换得到函数 y f x 的图象 解 a cos x sin x b sin x 0 3 a b cos x sin x sin x 3 故 f x a b b k sin xcos x sin2 x k 3 sin2 x k 3 2 1 cos2 x 2 sin2 x cos2 x k 3 2 1 2 1 2 sin 2 x k 6 1 2 1 由题意可知 1 T 2 2 2 又 0 0 1 2 T 1 2 2 f x sin 2x k 6 1 2 x 2x 6 6 6 2 6 从而当 2x 即 x 时 f x max f 6 6 6 6 sin k k 1 6 1 2 1 2 k 故 f x sin 2x 1 2 6 由函数 y sinx 的图象向右平移 个单位长度 得到函数 y sin x 的图象 再 6 6 将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 得到函 1 2 数 y sin 2x 的图象 6 6 理 设函数 f x sin x 2cos2x 1 4 6 8 1 求 f x 的最小正周期 2 若函数 y g x 与 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 求当 x 0 时 y g x 4 3 的最大值 解 1 f x sin xcos cos xsin cos x 4 6 4 6 4 sin x cos x 3 2 4 3 2 4 sin x 3 4 3 故 f x 的最小正周期为 T 8 2 4 2 法一 在 y g x 的图象上任取一点 x g x 它关于 x 1 的对称点为 2 x g x 由题设条件 点 2 x g x 在 y f x 的图象上 从而 g x f 2 x sin 2 x 3 4 3 sin x 3 2 4 3 cos x 3 4 3 当 0 x 时 x 因此 y g x 在区间 0 上的最大值为 gmax 4 3 3 4 3 2 3 4 3 cos 3 3 3 2 法二 因区间 0 关于 x 1 的对称区间为 2 且 y g x 与 y f x 的图象 4 3 2 3 关于