河南理工大学线性代数历年考试

河南理工大学2007-2008线性代数试题一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、 设 向 量 组 , , 线 性 相 关， 则 必 有（ ） 或 , 或 , 或 , 或 . 2、设 维 向 量 组 线 性 无 关， 则 （ ） 组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关， 组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关 ， 存 在 不 全 为 的 数 ， 使 ， 组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示 。3、已 知 向 量 组 的 秩 为r(rm), 则 该 向 量 组 中（ ） 必 有r 个 向 量 线 性 无 关 . 任 意r 个 向 量 线 性 无 关 . 任 意r 个 向 量 都 是 该 向 量 组 的 最 大 无 关 组 . 任 一 向 量 都 可 由 其 余 向 量 线 性 表 出. 二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、在阶行列式中，关于主对角线与元素对称的元素是_.2、 设E表示由n阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则E_.（工）3、 二次型 的矩阵表达式为= _.（文）3、 设 , 则 等于 _.4、 设向量组 线性相关，而向量组 线性无关， 则向量组 的最大线性无关组是 .三、(10分 ) 计算行列式 的值.四、（8分）解下列矩阵方程 设，其中，求.五、( 9分 ) 设 , 用初等变换法求 六、( 9分 )设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.七、（8分 ） 设 ， 求矩阵的秩.八、（10分 ） 求方程组 的基础解系, 并写出其通解.九、解答下列各题( 12分 ) 设 ， 求 .十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 是否为正定矩阵 ？（文）十、（10分 ）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.十一、证明下列各题（每小题5分，共10分） 1、若是阶对称的可逆矩阵,证明也是对称矩阵.2、设齐次方程组 的系数矩阵行列式是中的元素的代数余子式，试证明:是方程组的一个解.成绩河南理工大学2007-2008线性代数试题答案一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、 D 2、B 3、A二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、 2、（工）3、（文）3、 4、 三、(10分 ) 计算行列式 的值.解 四、（8分）解下列矩阵方程设，其中，求.解 ， =五、( 9分 ) 设 , 用初等变换法求 六、( 9分 )设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.解 七、（8分 ） 设 ， 求矩阵的秩.解 八、（10分 ） 求方程组 的基础解系, 并写出其通解.解 基础解系为, 通解为九、解答下列各题( 12分 ) 设 ， 求 .解 的特征值,对应于的特征向量分别为令，则可逆, 且故十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 是否为正定矩阵 ？解 为正定矩阵.（文）十、（10分 ）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.解 的列向量组的一个极大无关组为:并且有十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若是阶对称的可逆矩阵,证明也是对称矩阵.证明 可逆, 也是对称矩阵.2、设齐次方程组 的系数矩阵行列式是中的元素的代数余子式，试证明:是方程组的一个解.证明 因为而, 所以将代入方程组的每个方程都适合.故是方程组的一个解.河南理工大学2008-2009线性代数一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、设 向 量 组 线 性 无 关， 则 ( ) , 线 性 无 关；, 线 性 无 关；, 线 性 无 关；, 线 性 无 关.2、已 知 向 量 组 的 秩 为r(rm), 则 该 向 量 组 中（ ） 必 有r 个 向 量 线 性 无 关 . 任 意r 个 向 量 线 性 无 关 . 任 意r 个 向 量 都 是 该 向 量 组 的 最 大 无 关 组 . 任 一 向 量 都 可 由 其 余 向 量 线 性 表 出.3、若 方 程 组 对 于 任 意 维 列 向 量 都 有 解， 则( ) 二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、在 阶 行 列 式 中， 关 于主 对 角 线 与 元 素 对 称 的 元 素 是_.2、 _.3、二 次 型 的 矩 阵 表 达 式 为 = _.4、 设 向 量 组 线 性 相 关， 而 向 量 组 线 性 无 关， 则 向 量 组 的 最 大 线 性 无 关 组 是 .（文）4、 设 , 则 等 于 _.三、(10分 ) 计 算 行 列 式 的 值.四、（8分）解下列矩阵方程 设，其中，求.五、( 9分 ) 设 , 用初等变换法求 六、( 9分 )设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.七、（8分 ） 设 ， 求矩阵 的秩.八、（10分 ） 求方程组 的基础解系， 并 写 出 其 通 解.九、解答下列各题( 12分 ) 设 相 似, 求 的 值. 十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 是否为正定矩阵 ？（文）十、（10分 ）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.十一、证明下列各题（每小题5分，共10分） 1、若 是 阶 对 称 的 可 逆 矩 阵， 证 明 也 是 对 称 矩 阵.2、由 行 列 式 定 义 证 明 .河南理工大学2008-2009线性代数答案一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、C 2、A 3、B 二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、 2、3、4、 （文）4、 三、(10分 ) 计 算 行 列 式 的 值.解 四、（8分）解下列矩阵方程设，其中，求.解 ， =五、( 9分 ) 设 , 用初等变换法求 解六、( 9分 )设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.解 七、（8分 ） 设 ， 求矩阵 的秩.解 八、（10分 ） 求方程组 的基础解系， 并 写 出 其 通 解.解 取基础解系为=, 通解为九、解答下列各题( 12分 ) 设 相 似, 求 的 值. 解 由得 由得,其中故十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 是否为正定矩阵 ？解 为正定矩阵.（文）十、（10分 ）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.解 的列向量组的一个极大无关组为:并且有十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若 是 阶 对 称 的 可 逆 矩 阵， 证 明 也 是 对 称 矩 阵.证明 可逆, 也是对称矩阵.2、由 行 列 式 定 义 证 明 .证明 行列式的一般项可表示为而列数只能在1,2,3,4,5中取不同的值, 故三个下标中至少有一个要取3,4,5中之一数, 于是任一项至少要包含一个零为因子, 故行列式等于零. 河南理工大学2009-2010 学年第 二 学期线性代数 试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1、四阶行列式中因子的符号为 。2、设方阵A满足，则= 。3、设矩阵，则 。4、设， _.5、已知,其中A的特征值为1，2，3，则对角阵的 。6设二次型的正定性为_ _ _ _ 。7、向量组线性相关性为 。8、已知线性方程组有唯一解，则的值为 。9、n元非齐次线性方程组，有解的充要条件是 。10、已知方阵A可逆，且，则 。得分 二、计算、证明题（共60分）1、( 8分) 设，且满足：A+B=BA，求A.2、（8分）已知为正交矩阵，证明（1）也为正交矩阵；（2）若，则。3、(8分) 计算行列式D=.4、( 10分)解线性方程组。5、(12分)求矩阵列向量组的秩，并求一个最大无关组，再把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表出.6、(14分)求一个正交变换，化下列二次型成标准型.河南理工大学20102011 学年第 2学期线性代数试卷（A） 一、填空：（每小题4分，共36分）1.设都是可逆矩阵，矩阵的逆矩阵为_.2.设3级方阵A、B 按列分块分别为且,则3.非齐次线性方程组（A为矩阵）有唯一解的的充分必要条件是_.4.已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，其中，则齐次线性方程组的通解为_.5.设A是n阶方阵，则秩_.6.设矩阵与相似，则.7.n阶行列式D的值为c，若将D的所有元素改变符号，则得到的行列式的值为_.8设，为阶非零矩阵，且，则.9设是所有二阶方阵所成的实数域R上的线性空间，已知它的两个基,和,则由基到基的过渡矩阵为 .得分二、单项选择题：（每小题4分，共28分）1n阶行列式的值为（ ）（A） ； （B）；（C） ； （D） 1.2.已知向量组线性相关，则以下命题中正确的是（ ）（A）中至少有一个含有零向量；（B）对任意一组不全为零的常数，有；（C）中任意一个向量均可由其余m1个向量线性表示；（D）秩.3.设为阶方阵，为阶单位矩阵，则以下命题中正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 4.A为矩阵，下列结论正确的是（ ）（A）齐次线性方程组只有零解；（B) 非齐次线性方程组有无穷多解； （C) A中任一个m阶子式均不等于零；（D) A中任意m个列向量必线性无关.5.下列命题正确的是（ ）(A) 若，则 (B) 若，且，则 (C) 若，且，则 (D)若，且，则6.下列结论不对的是（ ）（A）n阶实对称矩阵正定的充要条件是对任意的非零列向量，有；（B）n阶实对称矩阵正定的充要条件是的特征值全大于零；（C）n阶实对称矩阵正定的充要条件是的秩为；（D）n阶实对称矩阵正定的充要条件是正定.