数学归纳法及其应用毕业论文.doc

学号：2008310861哈尔滨师范大学学士学位论文题 目：数学归纳法及其应用学 生：郎惠玲指导教师：林立军 副教授年 级：2008级专 业：数学与应用数学系 别：数学系学 院：数学科学学院哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 矩阵初等变换及其应用学生姓名 焦 阳指导教师 林立军 副教授年 级 2008级 专 业 数学与应用数学2011年11月25日课题来源：矩阵初等变换及其应用课题研究的目的和意义：由于矩阵的初等变换贯穿着代数学习的始终，那么掌握好矩阵的初等变换对我们学习好高等代数有很大帮助。本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方的应用。方便读者日后学习中使用初等变换解题。很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。国内外同类课题研究现状及发展趋势：课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 本文主要探究矩阵的初等变换在高等代数、线性代数中的应用。总结了矩阵的初等变换的一些基本概念和重要结论，然后根据这些概念和结论，把矩阵的初等变换的方法应用到解决各类问题当中。并把初等变换应用的具体方法提炼出来，方便日后解题使用。在研究过程中，方法的总结是最主要的内容，也是研究的目的。经过对大量习题的研究、比对，对参考文献的研究，最后将初等变换在具体问题中的具体方法用最简洁、直观的方式总结出来。课题研究起止时间和进度安排：起止时间：2011年11月25日至2012年4月25日。进度安排：1、2011年11月25日 定题2、2011年11月26-12月1日 拟定大纲3、2011年12月2日-12月31日 资料查询，写好开题报告。4、2012年1月1日-2月1日 理论分析。5、2012年2月2日到4月1日 形成初稿，并修改论文。6、2012年4月2日到4月25日 定稿及准备答辩。课题研究所需主要设备、仪器及药品：无外出调研主要单位，访问学者姓名：无指导教师审查意见：同意开题。指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见： 同意开题。_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见： 同意开题。_院（系）主任 （签字） 年 月学 士 学 位 论 文题 目：数学归纳法及其应用学 生：郎惠玲指导教师：林立军 副教授年 级：2008级专 业：数学与应用数学系 别：数学系学 院：数学科学学院哈尔滨师范大学2012年5月数学归纳法及其应用郎惠玲摘 要：本文主要从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、使用数学归纳法的步骤、数学归纳法的应用等几方面进行阐述，介绍了数学归纳法在解决解行列式问题、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的应用，目的是通过应用数学归纳法解题，从而培养运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。关键词：数学归纳法；递推；不等式；整除 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，其基础是观察与实践.例如哥德巴赫猜想、二项展开式和笛卡尔-欧拉公式等，无一不是观察、实验和归纳的结果.下面我从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、数学归纳法的应用等几方面进行阐述.一、 数学归纳法的基础严格意义上的数学归纳法产生于世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题作了深入的考察.递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的.意大利数学家皮亚诺（Peano，Giuseppe，）于年在其著作算数原理新方法中提出了著名的自然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据.皮亚诺自然公理的内容是：是自然数；每一个确定的自然数，都有一个确定的后继数，也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，的后继数是，的后继数是等等）；如果都是自然数的后继数，那么；不是任何数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数是对的，又假定它对自然数为真时，可以证明它对也真，那么，命题对所有自然数都真.（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性.）这条公理也叫归纳假设，即数学归纳原理.若将也视作自然数，则公理中的要换成.二、数学归纳法的原理数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质最小数原理.我们用表示全体非负整数的集合：. 最小数原理：正整数集的任意一个非空子集必含有一个最小数，也就是这样一个数，对于任意都有.定理1（数学归纳法原理）设有一个与正整数有关的命题.如果（）当时，命题成立；（）假设时命题成立，则时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数都成立.证明：假设命题不是对于一切正整数都成立.令表示使命题不成立的正整数所成的集合.那么.于是由最小数原理，中有最小数.因为命题对于成立，所以.从而是一个正整数.因为是中的最小数，所以.这就是说，当时，命题成立.于是由（），当时命题也成立.因此.矛盾.定理2（第二数学归纳法原理）设有一个与正整数 有关的命题.如果（）当时命题成立；（）假设命题对于一切小于的自然数来说成立，则命题对于也成立；那么命题对于一切自然数来说都成立.证明：假设该命题不是对一切正整数都成立.令是不成立的正整数构成的集合.是中的最小数.因为命题对于成立，所以.从而命题对于一切小于的自然数成立.由（）有时命题也成立，因此，导致矛盾.三、数学归纳法的类型1.完全归纳法完全归纳法是根据对某类事物的全体对象的考察，发现它们都具有某一种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法.完全归纳法又分为穷举归纳法和类分法两种类型.穷举归纳法穷举归纳法是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，将它的每个对象逐一进行考察.结果它们都具有某种属性，就得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的归纳推理.例1.证明当时，是素数.证明：因为，均为素数.所以，当，时，都是素数.类分法类分法是指对具有无限多个对象的某类事物进行研究时，将这类事物划分为互相排斥，且其外延之和等于该类事物的几个子类，并对它们分别进行考察.如果这些子类都具有某些属性，就得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的归纳推理.例2.某商店有、两种包装的糖果，数量极为充足，保证供应，求证凡购买以上整公斤的糖果时，都可以不用拆包？解：，11=.故问题的实质是要证明对于时，且是自然数，一定存在自然数和，使得.类分：，或，（按模分类）. 当时，只要取，就成立，其中，. ，这时要证明.因为，所以，即，取，就可以.，这时要证.因为，所以，取，.综上结论，对任意正整数，糖果都可以用包装和包装不拆包组成.2.不完全归纳法不完全归纳法是根据对某类事物部分对象的考察而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法.由于不完全归纳法的结论的判断范围超出了前提的判断范围，因而它是一种或然推理（也就是似然推理），在数学中它又可以分为枚举归纳法与因果关系归纳法.枚举归纳法枚举归纳法是根据某类事物的个特殊对象，具有某种属性而作出的这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法.枚举归纳法虽然不能作为严格的论证方法，但它有助于发现解题线索和提供研究方向.它的步骤可以概括为“实验归纳猜测”.例如，哥德巴赫猜想在最初就肯定是观察的结果，即如，.进一步的实验使人们发现这一现象并不偶然，从而就提出了如下的猜想：“任何一个大于的偶数都可以表示成两个质数的和.”应当提及的是，这一猜想的正确性至今尚未得到证明.在几何中也可以找到很多在观察与实验的基础上进行归纳的例子.例如著名的“笛卡尔欧拉公式”也是利用此法得出的.即通过实际计算四面体、六面体、八面体、六棱锥、五棱柱及四棱台的定点数、棱数、与面数，可以得出如下表格： 进而，通过对于表中的数据的仔细分析，就可以发现如下的关系式： 通过进一步的实验，我们又可发现这一关系式对任何一个（凸）多面体来说都是成立的.但是，由于枚举归纳法不是严格的论证方法，所以不免会出现错误的情况.例如大数学家费马就犯过这样的错误：费马曾依据， ，都是质数的事实，提出了如下的猜想：“任何形如（其中为自然数）的数（称为费马数，记为）都是质数.”但是到了世纪中叶，欧拉发现：第五个费马数并不是质数，而是与的乘积.因果关系归纳法（科学归纳法）因果关系归纳法是指以某类事物的部分对象的因果关系作为前提，而得出一般性结论的推理方法.例3.设有，当时，求通项.解：因为归纳猜想：.这个结果就是用因果关系归纳法得出来的.由于因果关系归纳体现了所研究的这类事物的本质属性，因此一般来说，由因果关系归纳出来的结论要比由枚举归纳法得出的结论可靠性大.四、使用数学归纳法的步骤下面我们通过例题来阐述利用数学归纳法解题的步骤并总结一些经验.例4.证明等式，成立.证明：当时，左边等于，右边等于，左边等于右边，等式成立.假设当时等式成立，即成立.则当时即当时命题成立综上所述，等式对任意成立通过上述例题我们熟悉了用数学归纳法证明题目的过程，但是我们必须注意，不是所有的与正数有关的命题都能用数学归纳法证明，必须注意逻辑关系的可推性.归纳奠基和归纳递推两者相辅相承，互为依存.归纳奠基验证当取第一个值时命题成立，验证了这一步就为递推打下了基础，是第二步的假设依据.但是仅靠这一步还不能说明结论的普遍性，即使多验证几个数都是正确的，也不能保证对其他的数都正确，这就需要第二步递推.假设时命题成立，证明当时也成立，证明了这一步，就获得了递推的依据.证明过程中的“成立”、“成立”、“也成立”、“都成立”的作用是不同的.第一个“成立”是在奠基过程中产生的，它说明验证过程对于取第一个数时命题是正确的，也就为归纳递推奠定了基础.第二个“成立”是假设成立，是对递推逻辑关系进行的肯定，说明递推证明是可以进行的从而由假设命题推出命题.“也成立”是对递推可以进行的证明，其中一个“也”字，说明了前后两个命题之间的逻辑关系和依存关系.“都成立”是在概括归纳过程产生对比，是对前面三个“成立”的继承，同时也是对前面的三个“成立”的肯定.因此由四个“成立”的依存关系就证明了所要证明的命题.由此可以看出，命题和命题之间的逻辑关系和依存关系是数学归纳法的灵魂.数学归纳法的证明过程是指上是证明前后两个命题的逻辑关系和依存关系的正确性.也可以说数学归纳法实质上是归纳推理和演绎推理的巧妙结合.五、应用数学归纳法时应注意的问题应用数学归纳法时，必须注意以下几点：第一，如何保证结论的正确性.所说的关于“稳定性（即能否由已研究过得特例“稳定地过渡”到其他尚未研究过的特例）”的分析显然不能遗漏任何一个特例.因此，就数学归纳法的应用而言，一个必要的条件就是：所考虑的对象应是“可排”的，也即可以按照自然数的顺序予以编号.这样，只要按照这种编号顺序去研究结论的“稳定性”，就可保证不会遗漏掉任何一个特例.第二，在实际的数学研究中，由于我们往往是通过特例的分析引出普遍结论的，因此主要的问题就在于如何证明结论的“稳定性”.但是，如果就证明的全部过程而言，我们又必须首先就某个特例检查结论的正确性.不然的话，我们就丧失了归纳的基础.另外，出于严格性的考虑，我们又应对第一个对象进行检验，因为只有这样，才能保证我们的分析没有遗漏掉任何一个特例.六、数学归纳法的应用1、 数学归纳法证明整除性问题例5.求证：能被64整除.证明：设.（）当时，能被64整除.（）假设时命题成立，即（*）那么，当时（*）将（*）转换为带入（*），有因为所以即当时命题也成立综上所述能被整除例6.求证能被11整除.证明：设当时，能被11整除；假设时命题成立，即则当时因为，所以即当时，命题也成立 综上所述， 能被整除. 2.数学归纳法在解行列式中的应用例7.计算下面的行列式：解：用数学归纳法证明：.（）当时，有结论成立.（）假定当时结论成立，即则当时，有结论成立.故对任何正整数，结论成立.3.数学归纳法证明不等式问题例8.证明：不等式.证明：当时，左边等于，右边等于，不等式成立； 假设当时，不等式成立.即那么，当时不等式成立综上所述，当时恒成立4.数学归纳法证明等式问题例9.已知，求证：.证明：当时，左边等于，右边等于，等式成立； 假设当时吗，等式成立，即则当时 等式成立综上所述，当时，等式成立.5.利用数学归纳法求数列中的问题例10.数列满足，其前项和，求数列的通项公式.解：由得，且同理可得由此猜想下面用数学归纳法证明:当时猜想成立； 假设当时成立，则当时整理得故即时，猜想成立综上所述，对任意，例11.数列是斐波那契(Fibonaci）在年提出的：假定一对大兔每月生一对一雌一雄的小兔子，每对在两个月后也逐月生一对一雌一雄的小兔子，现设年初时在兔房里放一对小兔子（刚出生的），问一年后兔房里有多少对兔子？稍加分析后，便可得出兔子每月的对数的数列，即数列：数列的特征是从第三项起，后面每一项都是前面两项的和，即： 式属于线性递归数列，此数列的一般表达形式为： 式变形为 比较，式的系数得：由此可知是方程 的根，此方程称为线性递归数列的特征方程，其根称为特征根.数列的递推公式化为其中，它的特征方程为 解之得：，将代入且由于得变形后，化为令，则，于是所以其中等比数列第一项为.公比则所以6.利用数学归纳法证明几何问题例12.证明，当时，边形的内角和等于.证明：这个命题对于来说是没有意义的.我们从开始用数学归纳法.当时，命题成立，因为三角形内角和等于.假设时命题成立.我们看任意一个边形（如图）.连结，那么的内角和等于三角形的内角和再加上边形的内角和.前者等于，后者由归纳法假定，等于.因此边形的内角和等于.命题得证.例13.试研究个处于一般位置（既没有两个平面互相平行，也没有三个平面共线，或四个平面共点）的平面把空间分割成多少个部分？这一问题是比较复杂的，为此我们不妨先来研究平面几何中与此类似的问题，即首先研究条处于一般位置（既没有两条直线互相平行，也没有三条直线共点）的直线把平面分割成多少个部分？对于后一问题，我们又可以采用“生成”的观点去进行研究，即具体地去研究当分割直线的数目逐次增加时，分割所得出的部分平面的数目的变化情况.如图所示容易看出，在分割直线的数目由增加到时，分割所得的部分平面的数目的增加数也是，而事实上也就是新增加的第四条直线被原有的三条直线分割所得的部分直线数，因为，每一个这样的部分直线都把原先的一个部分平面分割成了两个新的部分平面. 显然，依据后一分析，我们就不难引出一般的结论：现设在原有的条分割直线的基础上又增加了一条新的分割直线，由于这一直线被原有的条直线分成了个部分直线（因为共有个交点，如图），而每一个这样的部分直线又把原先的一个部分平面分割成了两个新的部分.因此，就增加了个部分.这样，按照“生成”的考虑，条处于一般位置的直线就把平面分割成了个部分.在解决了上述问题以后，就可以进一步研究平面分割空间的问题.具体的说，通过类比容易想到：如果我们在原有的个分割平面的基础上再增加一个新的分割平面，空间被分割所成的部分数的增加量就等于这一平面被原有的个分割平面分割所成的部分平面数.由于没有两个平面是平行的，也没有三个平面是共线的，或四个平面是共点的，因此这个平面与分割成了个部分.这也就是说，在增加了第个分割平面以后，分割所得出的部分空间的数量增加了个.从而，依据“生成”的考虑，我们就可得出，个处于一般位置的平面把空间分割成了个部分. 7.利用数学归纳法证明集合中的问题例14.证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于.证明：设为含有个元素的集合. 当时，的全部子集只有和，共有个，命题成立. 假设时命题成立，即的一切子集共有个，则当时，取中唯一元素记为，那么的一切子集分为包含以外的元素有个，设由它们构成的子集为.显然，的一切子集就是的不包含的一切子集，有个；将与的一切子集逐个作并集，就得到中包含的一切子集，也有个，故的一切子集总共有个，命题成立.8.利用数学归纳法证明二项式定理例15.证明二项式定理：.这里是个元素中取个的组合数.证明：当时命题成立； 假设当时，命题成立，即于是命题成立，故命题对一切正整数成立.9.利用数学归纳法证明最大公因式的问题例16.证明的充要条件是.证明：因为，所以不违一般性，可令，现对进行归纳证明，当时，易见命题成立，若时，命题成立，现需证的充要条件是.由初等变换知由归纳假设知的充要条件是利用求两个整数的最大公因数的方法可知命题得证.10.利用数学归纳法求个自然数的立方和问题例17.求和.解： 由此得出其中第组中第一个奇数为假设当时上述猜想成立，即则当时假设成立.故可见，实践和归纳同样是数学家寻找真理和发现真理的主要手段.如多面体的面顶棱公式、前个自然数的立方和公式、二项展开式等，无一不是观察、实验和归纳的结果.欧拉说过“数学这门科学，同样需要观察、实验.”高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续.参考文献：1张禾瑞、郝鈵新：高等代数，高等教育出版社，1999年5月第4版.2张雄、李得虎：数学方法论与解题研究，高等教育出版社，2003年8月第1版.3郑毓信：数学方法论入门，浙江教育出版社，2006年3月第1版.4吕孝亮：关于数学归纳法的基础研究，学术论坛，2008年12月号.MATHEMATICAL INDUCTION AND ITS APPLICATIONLang HuilingAbstract: This article mainly from the mathematical induction of the foundation, mathematical induction, the principle of the mathematical induction type, use mathematical induction step, the application of mathematical induction and several aspects, this paper introduces the mathematical induction in solving problems, the sequence proved determinant solution, inequality proof of division and the applications of proof, the purpose is through the application of mathematical induction problem solving, and train operation ability, observing ability, logical thinking ability and solve the problem Key words: mathematical induction; recursive; inequality; division 论文评阅人意见论文（设计）题目矩阵初等变换及其应用作 者荆山玉评阅人王志刚评阅人职称副教授意 见该论文对矩阵初等变换进行了详细的解释，并对其在高等代数和线性代数中的应用进行了系统的总结。解题方法简单、有效、易行，理论依据阐述清晰。并通过例子将矩阵初等变换在求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形这七个方面的应用做出示范。评阅人签字评阅意见论文评阅人意见论文（设计）题目矩阵初等变换及其应用作 者荆山玉评阅人李萍评阅人职称讲师意 见 该论文对矩阵初等变换的定义和它在高等代数中的应用做了充分的说明和分类，并结合了相关内容，用具体实例演示了用法。该论文文字条理清晰、书写工整，说明论述充分，理论证明全实，文字通顺，符合技术用语要求，符号统一，编号齐全。该论文符合学士学位论文要求。评阅人签字评阅意见指导教师评语页论文（设计）题目矩阵初等变换及其应用作 者荆山玉指导教师林立军职 称副教授评 语该同学能在老师的严格要求下顺利完成整个毕业论文的撰写，态度端正，能按时完成任务。基础扎实,对基本