6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导

1 行列式因子和不变因子 2 Th 9首先用初等变换化特征矩阵 E A为对角形式 再将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式 方幂的乘积 相同的按出现的次数计算 是A的全部初等因子 则所有这些一次因式的方幂 3 8 6若尔当 Jordan 标准形的理论推导 若尔当标准形的初等因子 矩阵的若尔当标准形 举例 矩阵相似的条件 4 设有若尔当块 若尔当标准形的初等因子 则其初等因子为 0 n 若尔当块的初等因子 每个若尔当块完全被它的级数n与主对角线上元素 它们都反映在J0的初等因子 0 n中 因此 若尔当块被它的初等因子唯一决定 0所刻划 5 证明 考虑它的特征矩阵 显然 E J0 0 n 这就是 E J0的n级 行列式因子 由于 E J0有一个n 1级子式 6 所以它的n 1级行列式因子是1 从而它以下各 级的行列式因子全是1 因此 它的不变因子为 d1 dn 1 1 dn 0 n 由此即得 E J0的初等因子为 0 n 7 若尔当矩阵的初等因子 设 是一个若尔当形矩阵 其中 8 既然Ji的初等因子是 所以 E Ji与 等价 于是 与 9 等价 10 因此 J的全部初等因子是 即 每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的 全部若尔当块的初等因子构成的 又由于 若尔当块被它的初等因子唯一决定 由此可见 若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列 的次序外是被它的初等因子唯一决定 11 Th 10每个n级的复数矩阵A都与一个若而 当形矩阵相似 该若尔当形矩阵除去其中若尔当块 的排列次序外是被矩阵A唯一决定的 它称为A的 若尔当标准形 证明 设n级矩阵A的初等因子为 矩阵的若尔当标准形 其中 1 2 s可能有相同的 指数k1 k2 ks也可能有相同的 每一初等因子 对应 于一个若尔当块 12 这些若尔当块构成一若尔当形矩阵 13 则J的初等因子也是 因为J与A有相同的初等因子 所以它们相似 如果另一若尔当形矩阵J 与A相似 那么J 与A就有相同的初等因子 因此J 与J除了其中 若尔当块排列的次序外是相同的 由此即得唯一性 14 例1设12级矩阵的不变因子是 1 2 1 2 1 2 按定义 它的初等因子有7个 即 1 2 1 2 1 2 1 1 i 2 i 2 于是其若尔当标准形为 举例 15 16 例2求下列矩阵的若尔当标准形 解 先求A的初等因子 17 18 因此A的初等因子是 1 1 2 A的若尔当标准形是 19 换成线性变换的语言来说就是 定理11设A是复数域上n维线性空间V 的线性变换 组基下的矩阵是若尔当形 阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决 定的 在V中必定存在一组基 使A在这 并且这个若尔当形矩 矩阵相似的条件 20 证明 在V中任取一组基 1 2 n 设 A在这组基下的矩阵是A 由 存在可逆矩阵T 使T 1AT成若尔当形矩阵 于是在由 1 2 n 1 2 n T 确定的基 1 2 n下 线性变换A的矩阵 就是T 1AT 由定理10 唯一性是显然的 21 对角矩阵是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵 Th 12复数矩阵A与对角矩阵相似的充分 必要条件是 A的初等因子全为一次的 分析 矩阵A的最小多项式是A的最后一个不变因子dn x Th 13复数矩阵A与对角矩阵相似的充分 必要条件是 A的不变因子都没有重根 A与对角矩阵相似 A的若尔当标准形由一级若尔当块构成 A的初等因子全为一次的 22 当规定上三角形矩阵 为若尔当块时 上述结论都成立 23 小结 24 25 求一个n级矩阵A的若尔当标准形的方法 步1写出矩阵A的特征矩阵 E A 步2用 矩阵的初等变换将 E A化为对角形矩阵 步3将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积 得到A的全部初等因子 步4根据初等因子写出矩阵A的若尔当标准形 26 练习求下列矩阵的若尔当标准形 27 1 解 先求A的初等因子 初等变换 因此A的初等因子是 1 1 2 若尔当标准形是 28 2 解 先求B的初等因子 初等变换 29 所以初等因子为 若尔当标准形为 30 相似矩阵有相同的最小多项式 如果 Ai的最小多项式为gi x i 1 2 s 最小多项式为 g1 x g2 x gs x 那么A的 31 Th 15数域P上n级矩阵A与对角矩阵相