2.4.1抛物线及其标准方程(上课)

抛物线及其标准方程 请同学们思考一个问题 我们对抛物线已有了哪些认识 想一想 二次函数是开口向上或向下的抛物线 生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 投篮运动 抛物线的生活实例 飞机投弹 1 做实验 分析动画演示的依据 探索抛物线定义 数学这门学科不仅需要观察 还需要实验 欧拉 请同学们观察这样一个小实验 1 做实验 分析动画演示的依据 探索抛物线定义 2 思考交流 用数学语言描述依据 3 归纳定义 平面内与一个定点F和一条定直线L L不过F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线L叫做抛物线的准线 F L M 若L过点F 则轨迹为过F点垂直于L的一条直线 思考 若L过F 则点的轨迹是什么 数学这门学科不仅需要观察 还需要实验 欧拉 求曲线方程的基本步骤是怎样的 想一想 抛物线标准方程的推导 回顾求曲线方程的一般步骤是 1 建立直角坐标系 设动点为 x y 2 写出适合条件的x y的关系式 3 列方程 4 化简 5 检验 3 类比椭圆 双曲线标准方程的建立过程 你认为如何选择坐标系 求抛物线的方程 思考 K 设 KF p 设动点M的坐标为 x y 由抛物线的定义可知 解 如图 取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴 线段KF的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导 p 0 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 你能给出p的几何意义吗 抛物线的标准方程 K 其中p为正常数 焦点到准线的距离 进一步再探究 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 那么你能否归纳出开口向左 向上 向下的抛物线的标准方程 方程y2 2px p 0 表示的抛物线 其焦点位于X轴的正半轴上 其准线交于X轴的负半轴 向右 向左 向上 向下 注意 1 一次项变量为x y 则对称轴为x y 轴 2 一次项系数为正 负 则开口向坐标轴的正 负 方向 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 课堂练习 注意 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 例2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 2 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 解 y2 8x 解 y2 x 解 y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 1 由于抛物线的标准方程有四种形式 且每一种形式中都只含一个系数p 因此只要给出确定p的一个条件 就可以求出抛物线的标准方程 2 当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后 它的标准方程就唯一确定了 若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定 则所求的标准方程就会有多解 例3 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 1 设抛物线的标准方程为x2 2py 把A 3 2 代入 得p 2 设抛物线的标准方程为y2 2px 把A 3 2 代入 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 3 抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法 2 抛物线的标准方程与其焦点 准线 1 注重数形结合的思想 1 抛物线的定义 课堂小结 2 注重分类讨论的思想 知识层面 数学思想方法层面 3 注重坐标法的应用 Ying1 你或许会说 数学太专业 看着都非常不实用 No No No 数学一点都不会不实用 反而之 那数字 符号 字母 式子与图形 这一个个可爱的小精灵 在生活中的每个角落都有它们的精彩表演 令人流连忘返 稍稍一想 这一个个可爱的小精灵 就会为你表演出它们与生活最贴切的一面 这一面上 你就会发现 你甩不开它们 你也绝对不舍得甩开它们 到那时 你就知道 数学实际上一点也不会不实用 数学用途很广泛 很实用 已知抛物线方程为x ay2 a 0 讨论抛物线的开口方向 焦点坐标和准线方程 课后练习 例3 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示 卫星