3.4数列的通项及数列求和

要点梳理1 若已知数列 an 满足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 2 若已知数列 an 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 3 4数列的通项及数列求和 累加法 累积法 基础知识自主学习 3 等差数列前n项和Sn 推导方法 等比数列前n项和推导方法 乘公比 错位相减法 Sn na1 q 1 q 1 倒序相加法 4 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n 3 1 3 5 2n 1 4 12 22 32 n2 5 13 23 33 n3 n2 n n2 5 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导 6 常见的拆项公式有 基础自测1 已知等比数列 an a1 3 且4a1 2a2 a3成等差数列 则a3 a4 a5等于 A 33B 72C 84D 189解析由题意可设公比为q 则a2 a1q a3 a1q2 4a2 4a1 a3 4a1q 4a1 a1q2 又a1 3 q 2 a3 a4 a5 a1q2 1 q q2 3 4 1 2 4 84 C 2 如果数列 an 满足a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为1 公比为3的等比数列 则an等于 A B C D 解析a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an C 3 已知数列 an 的通项公式是an 其中前n项和Sn 则项数n等于 A 13B 10C 9D 6解析 an Sn n n 1 而 D 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和为 A 2n n2 1B 2n 1 n2 1C 2n 1 n2 2D 2n n2 2解析Sn 2n 1 2 n2 C 5 数列的前n项和为 A B C D 解析由数列通项公式得前n项和 B 题型一由递推公式求通项公式 例1 分别求满足下列条件的数列的通项公式 1 设 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 an 1an 0 n 1 2 3 2 已知数列 an 满足an 1 a1 2 依据已知数列的递推关系适当地进行变形 可寻找数列的通项的差an an 1或通项的商的规律 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 方法一 数列 an 是首项为1的正项数列 anan 1 0 1 0 令 t n 1 t2 t n 0 n 1 t n t 1 0 t 或t 1 舍去 即 方法二由 n 1 an 1an 0 得n an 1 an 1 an 0 即 an 1 an n 1 an 1 nan 0 an 0 an 1 an 0 n 1 an 1 nan 0 即 2 将已知递推式化为将以上 n 1 个式子相加得 探究提高已知递推关系求通项公式这类问题要求不高 主要掌握由a1和递推关系先求出前几项 再归纳 猜想an的方法 以及累加 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 累乘 an 等方法 知能迁移1由已知在数列 an 中a1 1 求满足下列条件的数列的通项公式 1 an 1 2 an 1 2an 2n 1 解 1 因为对于一切n N an 0 因此由an 1 得即 数列是等差数列 n 1 2 2n 1 即an 2 根据已知条件得即 数列是等差数列 即an 2n 1 2n 1 题型二错位相减法求和 例2 设数列 an 满足a1 3a2 32a3 3n 1an n N 1 求数列 an 的通项 2 设bn 求数列 bn 的前n项和Sn 1 由已知写出前n 1项之和 两式相减 2 bn n 3n的特点是数列 n 与 3n 之积可用错位相减法 解 1 a1 3a2 32a3 3n 1an 当n 2时 a1 3a2 32a3 3n 2an 1 思维启迪 得3n 1an an 在 中 令n 1 得a1 适合an an 2 bn bn n 3n Sn 3 2 32 3 33 n 3n 3Sn 32 2 33 3 34 n 3n 1 得2Sn n 3n 1 3 32 33 3n 即2Sn n3n 1 探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列 3n 1an 的前n项和 从而利用an与Sn的关系求出通项3n 1an 进而求得an 另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法 但值得注意的是 这种方法运算过程复杂 运算量大 应加强对解题过程的训练 重视运算能力的培养 知能迁移2 2008 全国 文 19 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 1 证明 an 1 2an 2n bn bn 1 bn 1 即bn 1 bn 1 b1 1 故数列 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 解由 1 知 bn n an n 2n 1 则Sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 12Sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n两式相减 得Sn n 2n 1 20 21 2n 1 n 2n 2n 1 题型三分组转化求和 例3 求和Sn 1 数列的通项an 2 求Sn可用分组求和法 解和式中第k项为 思维启迪 探究提高先将求和式中的项进行适当分组调整 使之每一个组为等差或等比数列 然后分别求和 从而得出原数列的和 它是通过对数列通项结构特点的分析研究 将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和的一种求和方法 解前n项和为Sn 1 1 1 4 7 3n 2 设S1 当a 1时 S1 n 当a 1时 S1 知能迁移3求下列数列的前n项和 S2 1 4 7 3n 2 当a 1时 Sn S1 S2 当a 1时 Sn S1 S2 题型四裂项相消法求和 例4 12分 已知数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 2 设bn 求 bn 的前n项和Tn 解 1 an Sn Sn 1 n 2 Sn Sn 1 Sn 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 3分 由题意Sn 1Sn 0 式两边同除以Sn 1Sn 得 数列是首项为公差为2的等差数列 4分 1 2 n 1 2n 1 Sn 6分 解题示范 2 又bn 8分 Tn b1 b2 bn 12分 使用裂项法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 探究提高 知能迁移4已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第二项 第五项 第十四项分别是一个等比数列的第二项 第三项 第四项 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n N Sn b1 b2 bn 是否存在最大的整数t 使得对任意的n均有Sn 总成立 若存在 求出t 若不存在 请说明理由 解 1 由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理得2a1d d2 a1 1 解得d 2 d 0 舍去 an 2n 1 n N 2 bn Sn b1 b2 bn假设存在整数t满足Sn 总成立 又Sn 1 Sn 0 数列 Sn 是单调递增的 S1 为Sn的最小值 故 即t 9 又 t N 适合条件的t的最大值为8 方法与技巧1 求数列通项的方法技巧 1 通过对数列前若干项的观察 分析 找出项与项数之间的统一对应关系 猜想通项公式 2 理解数列的项与前n项和之间满足an Sn Sn 1 n 2 的关系 并能灵活运用它解决有关数列问题 2 an的两种常见变形an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 累加法 an a1 累乘法 思想方法感悟提高 3 数列求和的方法技巧 1 倒序相加 用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和 2 错位相减 用于等差数列与等比数列的积数列的求和 3 分组求和 用于若干个等差或等比数列的和数列的求和 失误与防范1 直接用公式求和时 注意公式的应用范围和公式的推导过程 2 重点通过数列通项公式观察数列特点和规律 在分析数列通项的基础上 判断求和类型 寻找求和的方法 或拆为基本数列求和 或转化为基本数列求和 求和过程中同时要对项数作出准确判断 3 含有字母的数列求和 常伴随着分类讨论 一 选择题1 等差数列 an 的通项公式an 2n 1 数列bn 其前n项和为Sn 则Sn等于 A B C D 以上都不对 定时检测 解析 an 2n 1 答案B 2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an 2n 则a10等于 A 1024B 1023C 2048D 2047解析利用叠加法及等比数列求和公式 可求得a10 210 1 1023 B 3 已知数列 an 的前n项和Sn n2 4n 2 则 a1 a2 a10 等于 A 66B 65C 61D 56解析当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 4n 2 n 1 2 4 n 1 2 2n 5 a2 1 a3 1 a4 3 a10 15 a1 a2 a10 1 1 2 64 66 A 4 数列1 1 2 1 2 4 1 2 22 2n 1 的前n项和Sn 1020 那么n的最小值是 A 7B 8C 9D 10解析 1 2 22 2n 1 2n 1 Sn 2 22 2n n n 2n 1 2 n 若Sn 1020 则2n 1 2 n 1020 n 10 D 5 若数列 an 的通项为an 4n 1 bn n N 则数列 bn 的前n项和是 A n2B n n 1 C n n 2 D n 2n 1 解析a1 a2 an 4 1 1 4 2 1 4n 1 4 1 2 n n 2n n 1 n 2n2 n bn 2n 1 b1 b2 bn 2 1 1 2 2 1 2n 1 n2 2n n n 2 C 6 数列an 其前n项之和为 则在平面直角坐标系中 直线 n 1 x y n 0在y轴上的截距为 A 10B 9C 10D 9解析数列的前n项和为 直线方程为10 x y 9 0 令x 0 得y 9 在y轴上的截距为 9 B 二 填空题7 等比数列 an 的前n项和Sn 2n 1 则 解析当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 又 a1 1适合上式 an 2n 1 4n 1 数列 是以 1为首项 以4为公比的等比数列 8 已知数列2008 2009 1 2008 2009 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后两项之和 则这个数列的前2009项之和S2009 解析由题意an 1 an 1 an an an 2 an 1 两式相加得an 2 an 1 an 5 an 1 即 an 是以6为周期的数列 2009 334 6 5 a1 a2 a2009 a1 a2 a3 a4 a5 2008 2009 1 2008 2009 1 即S2009 1 1 9 有限数列 an 中 Sn为 an 的前n项和 若把称为数列 an 的 优化和 现有一个共2009项的数列 a1 a2 a3 a2009 若其 优化和 为2010 则有2010项的数列 1 a1 a2 a3 a2009的优化和为 解析依题意 S1 S2 S2009 2009 2010 又数列1 a1 a2 a2009相当于在数列a1 a2 a2009前加一项1 其优化和为 2010 三 解答题10 数列 an 中 a1 3 an an 1 2n 1 0 n N 且n 2 1 求a2 a3的值 2 证明 数列 an n 是等比数列 并求 an 的通项公式 3 求数列 an 的前n项和Sn 1 解 a1 3 an an 1 2n 1 0 n N 且n 2 a2 a1 4 1 6 a3 a2 6 1 1 2 证明 数列 an n 是首项为a1 1 4 公比为 1的等比数列 an n 4 1 n 1 即an 4 1 n 1 n an 的通项公式是an 4 1 n 1 n n N 3 解 an 4 1 n 1 n n N Sn a1 a2 an 4 1 0 1 4 1 1 2 4 1 2 3 4 1 n 1 n 4 1 0 1 1 1 2 1 n 1 1 2 3 n 2 1 1 n 11 已知数列 an 的各项均为正数 Sn为其前n项和 对于任意的n N 满足关系式2Sn 3an 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 的通项公式是bn 前n项和为Tn 求证 对于任意的正数n 总有Tn 1 2Sn 3an 3 2Sn 1 3an 1 3 n 2 故2 Sn Sn 1 2an 3an 3an 1 即an 3an 1 n 2 1 解由已知得 故数列 an 为等比数列 且公比q 3 又当n 1时 2a1 3a1 3 a1 3 an 3n 2 证明 bn Tn b1 b2 bn 12 已知数列 an 的前n项和Sn 对一切正整数n 点 n Sn 都在函数f x 2x 2 4的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn anlog2an 求数列 bn 的前n项和Tn 解