湖北省黄石市2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题 文 新人教A版

用心 爱心 专心1 有色一中有色一中 2012 20132012 2013 学年高二上学期期中考试数学 文 试题学年高二上学期期中考试数学 文 试题 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 有一个容量为 200 的样本 其频率分布直方图如图所示 根据样本的频率分布直方图估 计 样本数据落在区间 10 12 内的频数为 A 18 B 36 C 54 D 72 2 某程序框图所示 若输出的 S 57 则判断框内为 A k 4 B k 5 Ck 6 D k 7 3 设 n a 为等差数列 公差 d 2 n S为其前 n 项和 若 1011 SS 则 1 a A 18 B 20 C 22 D 24 4 设 l 是直线 a 是两个不同的平面 则下列说法正确的是 A 若 l a l 则 a B 若 l a l 则 a C 若 a l a 则 l D 若 a l a 则 l 5 设不等式组 表示平面区域为 D 在区域 D 内随机取一个点 则此点到坐标 02 02 x y 原点的距离大于 2 的概率是 A B C D 4 2 2 6 4 4 6 已知圆 过点的直线 则 22 40C xyx l 3 0 P A 与相交 B 与相切 C 与相离 D 以上三个选项均有可能lClClC 7 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球 则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概 率是 A B C D 1 10 3 10 3 5 9 10 8 设 O 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的焦点 若在双曲线上存 1 F 2 F 22 22 xy 1 ab 在点 P 满足 P 60 OP 则该双曲线的渐近线方程为 1 F 2 F7a A x y 0 B x y 0 C x 0 D y 0332y2x 9 如图 正方体的棱线长为 1 线段上有两个动点 E F 且 1111 ABCDABC D 11 B D 用心 爱心 专心2 则下列结论中错误的是 1 2 EF A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥的体积为定值ABEF D AEFBEF 的面积与的面积相等 10 若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 22 1 43 的最大值为 OP FP A A 2 B 3 C 6 D 8 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分 分 13 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 P Q 则线段 PQ 的长 用心 爱心 专心3 为 14 已知双曲线和椭圆有相同的焦点 且双曲线的离 22 22 1 0b0 xy a ab 22 xy 1 169 心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 15 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 16 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 公比不为 1 若 a1 1 且对任意的都 有 an 2 an 1 2an 0 则 S5 17 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销售限价 a 最高销售限价 b b a 以及常数 x 0 x 1 确定实际销售价格 c a x b a 这 里 x 被称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数 x 恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数 x 的值等于 三 解答题 本大题共 5 小题 共 65 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数的最小正周期 f x II 求函数的最大值及取最大值时 x 的集合 f x f x 19 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 I 证明 PQ 平面 DCQ II 求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值 估计该校男生的人数 估计该校学生身高在 170 185cm 之间的概率 从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的概率 用心 爱心 专心4 21 本小题满分 14 分 已知公差不为 0 的等差数列的首项为 且 n a Raa 1 1 a 成等比数列 2 1 a 4 1 a 求数列的通项公式 n a 对 试比较与的大小 Nn 23 2 2 22 1111 n aaaa 1 1 a 22 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知椭圆 如图所示 xOy 2 2 1 3 x Cy 斜率为且不过原点的直线 交椭圆于 两点 线段的中点为 射线 0 k k lCABABE 交椭圆于点 交直线于点 OECG3x 3 Dm 用心 爱心 专心5 15 16 11 17 12 15 2 18 用心 爱心 专心6 19 解 I 由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA 平面 ABCD 所以平面 PDAQ 平面 ABCD 交线为 AD 又四边形 ABCD 为正方形 DC AD 所以 DC 平面 PDAQ 可得 PQ DC 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ PD 则 PQ QD 2 2 所以 PQ 平面 DCQ 6 分 II 设 AB a 由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高 所以棱锥 Q ABCD 的体积 3 1 1 3 Va 由 I 知 PQ 为棱锥 P DCQ 的高 而 PQ DCQ 的面积为 2a 2 2 2 a 所以棱锥 P DCQ 的体积为 3 2 1 3 Va 故棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值为 1 12 分 20 解 1 样本中男生人数为 40 由分层出样比例为 10 估计全校男生人数为 400 3 分 2 有统计图知 样本中身高在 170 185cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量 为 70 所以样本中学生身高在 170 185cm 之间的频率故有 f 估计 该校学生身高在 170 180cm 之间的概率 8 分 3 样本中身高在 180 185cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本中身高在 185 190cm 之间的男生有 2 人 设其编号为 故从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率 13 分 21 解 设等差数列的公差为 由题意可知 n ad 2 214 111 aaa 即 从而因为 2 111 3 ada ad 2 1 a dd 1 0 ddaa 所以 用心 爱心 专心7 故通项公式 5 分 n ana 解 记 7 分 2 2 2 22 111 2 n n n n Taa aaa 因为 所以 2 11 1 1 111111 22 1 1 2222 1 2 n n n n T aaa 从而 当时 当 14 分 0a 1 1 n T a 1 1 0 n aT a 时 22 I 解 1 当直线 的斜率不存在时 P Q 两点关于 x 轴对称 l 所以 2121 xx yy 因为在椭圆上 因此 11 P x y 22 11 1 32 xy 又因为所以 6 2 OPQ S 11 6 2 xy 由 得 11 6 1 2 xy 此时 4 分 2222 1212 3 2 xxyy 2 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为ll ykxm 由题意知 m 将其代入 得 0 22 1 32 xy 222 23 63 2 0kxkmxm 其中 2222 3612 23 2 0 k mkm 即 22 32km 又 2 1212 22 63 2 2323 kmm xxx x kk 所以 22 222 1212 2 2 6 32 1 41 23 km PQkxxx xk k 因为点 O 到直线 的距离为l 2 1 m d k 用心 爱心 专心8 又整理得且符合 式 此时 6 2 OPQ S 22 322 km 2 2222 121212 22 63 2 2 23 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 3 3 4 2 333 yyxxxx 综上所述 结论成立 9 分 2222 1212 3 2 xxyy II 解法一 1 当直线 的斜率存在时 由 I 知l 11 6 2 2 2 OMxPQy 因此 6 26 2 OMPQ 所以 22 22 111 3 2 2 2 OMPQ mm 22 22 2 11 3 2 11 32 25 24 mm mm 所以 当且仅当时 等号成立 5 2 OMPQ 22 11 32 2m mm 即 用心 爱心 专心9 综合 1 2 得 OM PQ 的最大值为 5 2 解法二 因为 222222 12122121 4 OMPQxxyyxxyy 222