3-2函数极限的性质

热烈欢迎各位朋友使用该课件 广州大学数学与信息科学学院 数学分析 广州大学袁文俊 尚亚东 3 2函数极限的性质 一 极限的性质二 利用函数极限的性质计算某些函数的极限 定理3 2 如果当x x0时f x 的极限存 那么这极限是唯一的 证明 1 2 一函数极限的性质 1 唯一性 2 局部有界性 若极限 存在 则函数 在 的某一空 心邻域上有界 证明 3 局部保号性 定理3 4 证明设A 0 对任何 0 使得对一切 这就证得结论 对于A 0的情形可 类似地证明 推论 定理3 4 函数极限的局部保号性 如果f x A x x0 而且A 0 或A 0 那么对任何正数r0 或f x r 0 证明 推论 如果在x0的某一去心邻域内f x 0 或f x 0 而且f x A x x0 那么A 0 或A 0 3 局部保号性 定理3 5 函数极限的保不等式性 证明 4保不等式 推论 定理3 6 如果函数f x g x 及h x 满足下列条件 1 g x f x h x 2 limg x A limh x A 那么limf x 存在 且limf x A 证明 5迫敛性 定理3 7设 则 1 2 3 6四则运算法则 定理3 7之3 的证明 只要证 令 由 使得当 时 有 即 仍然由 使得当 时 有 取 则当 时 有 即 推论1 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 定理的条件 存在 商的情形还须加上分母的极限不为0 定理简言之即是 和 差 积 商的极限等于极限的和 差 积 商 定理中极限号下面没有指明极限过程 是指对任何一个过程都成立 二 利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限 注意前四个极限中极限就是函数值 利用极限性质 特别是运算性质求极限的原是 通过有关性质 把所求极限化为基本极限 代入基本极限的值 即计算得所求极限 这些极限可作为公式用 在计算一些简单极限时 有五组基本极限作为公式用 参阅 4 P37 38 我们将陆续证明这些公式 利用 迫敛性 和 四则运算 可以从一些 简单函数极限 出发 计算较复杂函数的极限 例 求 例 求 例 求 利用极限 和 例4证明 证 不妨设 1 例6求 例5求 註 关于 的有理分式当 时的极限 参阅 4 P37 利用公式 求A和B 补充题 已知 求极限方法举例 例7 解 小结 例8 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例9 解 消去零因子法 例10 解 无穷小因子分出法 小结 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 例11 解 先变形再求极限 由以上几例可见 在应用极限的四则运算法则求极限时 必须注意定理的条件 当条件不具备时 有时可作适当的变形 以创造应用定理的条件 有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限 三 复合函数极限 定理 复合函数极限运算法则 变量代换法则 证 由极限定义得 此定理表明 则可作代换 极限过程的转化 注1 可得类似的定理 注2 定理中的限制条件 不能少 例如 令 例12 解 6 极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 四 小结 1函数极限的性质 1 唯一性 2 局部有界性 3 局部保