线性代数-第一章1

与,1,解析几何,线性代数,每周第一次上课交作业：可以用A4打印纸或者活页纸；写上姓名、学号（或座位号）和班级；助教负责批改作业和答疑，答疑时间自行安排。,成绩分布： 平时成绩占30%（作业，期中考试，考勤） 期末考试占70%,2,多做题，多提问,3,学生问老师今年多大了，老师告诉学生：“当我像你这么大时，你才3岁，当你像我这么大的时候，我已经63了。”问老师今年多大了？,小学奥数题,可以用初等方法求解,学生,老师,现在,现在,3,63,故老师和学生相差20岁,4,比较高级的方法是：,设未知数，列方程求解,设x为老师年龄，y为学生年龄,y-(x-y)=3,x+(x-y)=63,-x+2y=3 （1）,2x-y=63 （2）,如何求解方程？,消元法,（1）+2（2）：3x=126,x=43,2（1）+（2）：3y=69,y=23,5,为何要讲这个例子？,小学：动脑筋解应用题；中学：列方程组消元法求解；大学：用线性代数的办法来研究。,更直接的是，我们要从求解方程组引出行列式的概念。,第一章 行列式,6,7,1.1 二阶与三阶行列式,作为定义n阶行列式的准备，先来讨论二阶和三阶行列式,用消元法求解,两式相减消去x2，得,8,考察一般的二元一次方程组：,方程组的解为,同时出现，应该起着关键的作用,类似地，消去x1，得,当a11 a22 - a12 a210时，,9,基于此给出行列式的定义,定义：,10,D=,= a11 a22 -a12 a21,其中 叫做一个二阶行列式。,二阶行列式的运算可理解为对角线法则,主对角线,副对角线,11,注意：,对角线元素乘积的差顾名思义，关于行和列的运算关系行列式是通过某种运算方式得到的一个数,有了行列式的概念，我们重新看方程组的解,从而,对于二元线性方程组,构成系数行列式在D不为零的情况下,12,得方程组的解,13,例：求解二元线性方程组,解：第一步，,计算系数行列式是否为零,第二步，计算D1和D2,第三步，求比值,不难发现和用通常的消元法得到的结果是一致的,大前提，否则就不能用这一方法,14,最直接的定义三阶行列式的途径是什么？,用消元法求三元线性方程组的通解，找出公共的分母。,这样的办法太麻烦了，能否类比二阶行列式已有的表达式？,对于三元线性方程组,定义:,为三元线性方程组的三阶行列式.,沙路法,说明：三阶行列式包括6项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,16,例： 计算行列式,按沙路法:,解：,17,如果三元线性方程组,的系数行列式,同样，利用三阶行列式求解三元线性方程组,18,则三元线性方程组的解为:,19,其中,例： 解线性方程组,20,解：第一步，写出系数行列式，计算是否为零,得方程组的解为:,21,第二步，计算D1，D2，D3,第三步，求比值，,-55,-99,-198,=,=,=,可以验证和消元法的结果是一致的,22,能否定义4阶乃至一般的n阶行列式？,思路一：求n阶方程的通解，找公共分母。,太繁琐,思路二：类比二，三阶行列式。,但是对于四阶行列式而言,无法使用对角线法则或沙路法,23,观察三阶行列式：,行标均为123,列标各不同：,123,231,312,132,213,321,符号似乎与列指标的排列顺序有关,24,1.2 n阶排列及其逆序数、对换,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解：,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,25,定义：由自然数1，2，n 组成的一个n元有序数组称为一个n阶排列.,例如：,3，4，2，1,5，1，2，3，4,2，3，2，1，4,都是排列.,不同的n阶排列有 个.,n !,定义：按数的大小次序，由小到大的排列称为自然排列.,26,3，1，5，4,都不是排列.,定义：在一个排列(i1i2itisin) 中，若数 it is ，即一个较大的数字排在一个较小的数字之前（不须相邻），则称这两个数组成一个逆序.,27,定义： 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，通常记为 (i1i2 in).,定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列.逆序数为偶数的排列称为偶排列.,分别计算出排在 1,2,n-1前面比它大的数的个数，即分别算出 1,2,n-1这n-1个元素的逆序数，记做1， 2， n-1, 他们的和即为所求排列的逆序数，即 (i1i2 in)= 1+ 2+n-1,计算排列的逆序数的方法：,注意：可以不计算n所对应的逆序数,28,例：求8阶排列 57864312 的逆序数和奇偶性。,5=0， 7=0， 6=2， 4=4， 3=5， 1=6，2=6,(57864312)=23,奇排列,例：计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解:,逆序数为偶数.,解：逆序数为零，偶排列,29,解：,当 时，逆序数为偶数；,当 时，逆序数为奇数.,这个特殊的问题还能用什么办法解决？,30,实际应用当中我们往往并不关心绝对逆序数，而更关注排列相对的奇偶性变化,思考：还有别的一般的计算逆序数的方法吗?,定义：,把一个排列中的任意两个数i , j交换位置，其余数字的位置不动，叫做对该排列作一次对换，记做(i , j),将相邻的两个数对换，称为相邻对换.,例如,31,注意：,对换具有可逆性,定理: 一次对换改变排列的奇偶性,证明：先证简单的情形，相邻对换,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 ij 时，对换后i的逆序数不变, j的逆序数减少1;,设排列为,现来对换 i 与j,33,再来证一般情况，,事实上任意对换都可以表示为一些相邻对换的组合,对换任意两个元素，排列改变奇偶性.,共经过2m+1相邻对换,34,推论：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变, 经过偶数次对换其奇偶性不变.,推论：,时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占,一半，各为n！/2个.,证明,设n个数的排列中，,奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，,则 pqn！,对 p 个奇排列，施行同一对换，,则由定理,得到 p 个偶排列,而且是 p 个不同的偶排列,但总共只有有 q 个偶排列，所以,同理,所以,定理：,任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列；且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.,1的证明：,涉及到n的论断往往可用数学归纳法证明,当n=1，2时，结论显然成立.,假设结论对n-1阶排列成立,现证对n阶排列也成立.,35,由归纳法假设知， 可经过一系列对换变成自然排列，从而 可经过一系列对换变成自然排列.,又转换为第一种情形，故结论也成立.,所以任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列.,自然排列是偶排列：做奇数次对换，变为奇排列；做偶数次对换，变为偶排列。,36,结论2的证明：,推论：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变,