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文档简介

一般说来, 低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便. 于是, 我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题. 下面介绍行列式的另一重要性质, 即行列式按行(列)展开的法则就解决了这一问题. 为此, 先引入余子式和代数余子式的概念.,1.5 行列式按一行(列)展开,1,例如，3阶行列式按第一行展开,2,例如，3阶行列式按第二行展开,3,3阶行列式按第一列展开：,4,例如,记 Aij =(1)i+j Mij 称为aij的代数余子式。,在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列去掉，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij,5,(1)行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,(2)行列式D的元素aij的余子式Mij或代数余子式Aij与D的第i行元素和第j列元素没有关系, 特别与元素aij的大小和符号均无关.,注意：,6,定理5.1(展开定理) 行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.,7,按照第i行展开：,按照第j列展开：,例. 计算,8,综合运用行列式的性质和展开定理可以简化计算和书写。首先用行列式的性质把某行或某列化为只含一个非0元素后再用展开式定理，我们处理第三行得：,解：,该行为零元素最多的行,9,=40.,注：可以再次运用展开式以达到降阶的目的。,10,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,把行列式D= |aij |按第j行展开，有,11,或,把ajk换成aik (k=1,n)，即第 j 行换成第 i 行，可得,当ij时，,同理,12,关于代数余子式的重要性质,13,按照行展开,按照列展开,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,14,思考题解答,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,15,克拉默法则,设含有n个未知量n个方程的线性方程组一般形式为:,其中 aij (i,j=1,2,n) 称为方程组的系数;,bj (j=1,2,n) 称为常数项.,19,20,特别地， bj=0(j=1,2,n) 称为n元齐次线性方程组 .如 所示。,由系数aij(i,j=1,2,n)构成的行列式:,叫做方程组的系数行列式 ,(j=1,2,n),第j列,21,克拉默法则,定理5.3 如果线性方程组()式的系数行列式D0,那么它有唯一解，其解为:,22,定理5.4 若齐次线性方程组()的系数行列式D0 则它只有唯一零解,如果齐次线性方程组()有非零解，则它的系数行列式等于零,例 用克拉默法则解方程组,解,23,24,25,例 设齐次线性方程组,有非零解，试求的值.,解: 方程组有非零解，故系数行列式,26,故有,检验可知,当 时，方程组有非零解。,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系
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