【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第十三章 第一节 数学归纳法及其应用提能精练 理（全国版）

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法【答案】D2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1时正确，再推n2k3正确(kN*)B假使n2k1时正确，再推n2k1正确(kN*)C假使nk时正确，再推nk1正确(kN*)D假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN*)【解析】因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1正确，再推第k1个正奇数，即n2k1正确【答案】B3某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时，该命题不成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n4时，该命题成立【解析】因为当nk时，命题成立可推出nk1时成立，所以n5时命题不成立，则n4时命题也一定不成立【答案】C4用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A135(2k1)k2B135(2k1)(k1)2C135(2k1)(k2)2D135(2k1)(k3)2【解析】nk1时，等式左边135(2k1)(2k1)k2(2k1)(k1)2.故选B.【答案】B5已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c【解析】等式对一切nN*均成立，n1,2,3时等式成立，即，整理得解得a，bc.【答案】A6在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.【解析】由a1，Snn(2n1)an，得S22(221)a2，即a1a26a2，a2，S33(231)a3，即a315a3.a3，a4.故选C.【答案】C二、填空题(每小题6分，共18分)7若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_【解析】f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.【答案】f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n2(n3，nN*)个图形中共有_个顶点【解析】当n1时，顶点共有1234(个)，n2时，顶点共有2045(个)，n3时，顶点共有3056(个)，n4时，顶点共有4267(个)，故第n个图形共有顶点(n2)(n3)个，第n2个图形共有顶点n(n1)个【答案】n(n1)9下面三个判断中，正确的是()f(n)1kk2kn(nN*)，当n1时，f(n)1；f(n)1(nN*)，当n1时，f(n)1；f(n)(nN*)，则f(k1)f(k).【解析】中n1时，f(n)f(1)1k不一定等于1，故不正确；中n1时，f(1)1，故正确；中f(k1)f(k)，故不正确【答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10(2010年平顶山模拟)已知数列an中，a1，an1sin(an)(nN*)证明：0anan11.【证明】n1时，a1，a2sin(a1)sin.0a1a21，故结论成立假设nk时结论成立，即0akak11，则0akak1.0sin(ak)sin(ak1)1，即0ak1ak21，也就是说nk1时，结论也成立由可知，对一切nN*均有0anan11.11数列an满足an0，Sn(an)，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明【解析】an0，Sn0，由S1(a1)，变形整理得S1，取正根得S11.由S2(a2)及a2S2S1S21得S2(S21)，变形整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，上面已求出S11，结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即Sk.那么，当nk1时，Sk1(ak1)(Sk1Sk)(Sk1)整理得Sk1，取正根得Sk1.故当nk1时，结论成立由、可知，对一切nN*，Sn成立12平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2n2个部分【证明】(1)n1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立(2)假设nk(kN*)时，k个圆将平面分成k2k2个部分当nk1时，第k1个圆Ck1 交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆Ck