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文档简介

5.2 相似矩阵和相似矩阵的性质,则称矩阵 A与矩阵 B相似，记作 AB.,1、相似矩阵的定义,定义 设 A , B 为 n 阶方阵, 若存在n 阶可逆矩阵P，,使,P-1AP = B ,而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.,(1) 反身性: 一个矩阵与它自身相似;,(2) 对称性: 若矩阵 A 相似于矩阵 B ,则矩阵 B 也相似于矩阵 A;,(3) 传递性: 若矩阵 A 相似于矩阵 B ,具有下面的性质:,性质 若 与 相似，则,（1） 与 有相同的特征多项式、特征值和迹；,（2）,（3）,（4） 与 也相似，其中 为正整数.,2、相似矩阵的性质,且方阵多项式,即,（5）,（6） 若A可逆，则,例 设 A B ，其中,求a, b 的值。,矩阵可对角化的定义和条件,定义 若n阶矩阵A 与 n阶对角矩阵 相似, 则称,A 可以对角化。,定理 阶方阵 可对角化的充要条件是,有 个线性无关的特征向量.,推论 如果 阶方阵 有 个不同的特征值，,则 可对角化.,n1 + n2 + + ns = n.,矩阵对角化的步骤,设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的,步骤如下：,（1）求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的特,征值 1 , 2 , , s ，它们的重,数分别为 n1, n2 , , ns , 有,(2) 对 A 的每个特征值 i , 求(i E -A) x = 0,的基础解系, 设为,则 P-1AP = .,试证A可以对角化，,例,并求P与对角矩阵,使,解,得基础解系,相应的方程组为,相应的方程组为,得基础解系,=diag(1, 1, -2)。,则,注:（1）相似的对角矩阵不唯一，比如=di
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