王卫杰—解二元一次方程组

解二元一次方程组我的一点做法摘要：“代入法”和“加减法”都具有“万能性”，即任何一个二元一次方程组，既可以利用“代入消元法”，也可以利用“加减消元法”。也就是说，对于一个二元一次方程组，用哪种消元方法都可以。但是，我们更要根据方程组的具体形式特点，选择更加简便的方法，从而使我们的学习效果达到最优化，也能让学生逐步积累经验，提高选择辨析能力。 关键词：做题有法，但无定法，一题多解。二元一次方程（组）是中学数学中比较重要的内容，也是后面学习函数的基础。新人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组中，学习目标要求学生：1、了解解二元一次方程组的基本目标，就是使方程组逐步转化为x=a或y =b的形式；2、使学生体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。在备课时，我就三番五次阅读了教师教学用书中的相关内容，尤其体会到，在编写本章时有一个特别需要注意的问题那就是：“注重解法背后的算理，强调消元方法”。当方程组中含有多个未知数时：采用消元思想解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略，是产生具体解法的重要基础，而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施。因此，在教学第八章二元一次方程组时，我采纳了教材里的相关建议：先使学生了解消元的基本思想，然后在其指导下寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸现出来。结合“化二元为一元，化新知为旧知”这一思想，教材里在提出消元思想后，及时对代入消元法的基本步骤进行概括，即：代入法通过：“把一个方程（必要时先做适当变形）代入另一个方程”实现消元。我在讲授“代入消元法”时，着重强调让学生产生一种意识：即让学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法和消元结合起来，更让学生明确如此操作的目的就是“化二元为一元，化新知为旧知”去解决问题，从而“化未知为已知”。类似的，结合教材中两个简单例子（用加减消元法），让学生对另一种具体的消元解法加减法的过程进行了归纳即加减法就是通过“把两个方程相加减”实现消元，加减的依据是“等式的基本性质”，而加减的条件是“两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等”。学生在接触两种消元方法之后，我又及时告知学生，其实，“代入法”和“加减法”都具有“万能性”，即任何一个二元一次方程组，既可以利用“代入消元法”，也可以利用“加减消元法”。也就是说，对于一个二元一次方程组，用哪种消元方法都可以。但是，我们更要根据方程组的具体形式特点，选择更加简便的方法，从而使我们的学习效果达到最优化，也能让学生逐步积累经验，提高选择辨析能力。正是有了上述认识，无形中使我在数学课堂上更加放得开，尽量去发散学生的思维，努力去挖掘学生的潜力，让学生的思维更加活跃。因为，我始终坚信：“通往罗马的道路不止一条”。以下是我在一节数学课堂上的所作所为：讲授教材第95页例3.用加减法解方程组3x+4y=16 5x-6y=33 在处理之前，我就提示学生：不打无准备之仗，磨刀不误砍柴工，旨在引导学生：要先观察方程组中的两个方程，看能否发现某些特征？同时，我又及时设置以下问题，引导学生思考：（1）、请同学们观察方程，你能发现未知数x的系数是多少？y的系数又是多少呢？（2）、请同学们观察方程，你又能发现未知数x、y的系数各是多少呢？（3）、请同学们再回想一下，直接用加减法消元的前提条件是什么呢？（4）、那么，在此方程组中，你有没有发现哪一个未知数的系数相等呢？有没有哪一个未知数的系数相反呢？（5）、既然同一个未知数的系数不相等又不相反，那么我们又该怎么办呢？（6）、请大家继续思考：能否将未知数x的系数变相等呢？你能怎样去做呢？（7）、如果我想将未知数y的系数变相反，你能告诉老师又该怎样做呢？出示以上问题后，我并不急于找学生回答。而是让学生先独立思考，然后在学习小组内交流合作，分享收获，在学生进行了充分的研究之后，我开始领着学生归纳（学生口述，老师示范）：方法一：把方程 3，得9x+12y=48 把方程 2，得10x-12y=66 +消去y， 得19x=114 X=6把X=6代入，得36+4y=16 4y=-2 y=-12 原方程组的解为 x=6 y=-12方法二：把方程 5，得15x+20y=80 把方程 3，得 15x-18y=99 -消去X， 得-38 y =19 y=-12把y=-12代入，得3X+4（-12）=16 3X =18 X=6 原方程组的解为 x=6 y=-12两种方法揭示之后，学生们的兴致很高，大都跃跃欲试，很想再发现其他方法，我就顺水推舟，让学生尽情发挥，终于又有了新的思路。有学生指出：在方法一中求出X的值后，还可以代入方程、方程、方程，就能求出y的值。还有学生说：在方法二中求出y的值后，也可以代入方程、方程、方程，都能求出x的值。此刻，我及时让学生归结：用“加减消元法”解此方程组的方法已经有了8种。在学生感受到成功的喜悦、享受到收获的快乐之后，我又及时发问：（1）、请大家想一想，在前面的学习中，我们还研究过哪一种消元方法呢？（2）、那么，现在你能否用代入法再来解这个方程组呢？（3）、你准备消去哪个未知数？又该怎样消呢？让学生充分思考之后，我就再次引导学生开始探索归纳：方法一：由方程，得4 y=16-3 x y=16-3x4把代入，消去y，得 5 x -616-3x4=33 X=6把X=6代入，得 y=16-364=-12 原方程组的解为 x=6 y=-12方法二：由方程，得 3 x=16-4 y x=16-4 y3把代入，消去x，得516-4 y3-6y=3y=-12把y=-12代入，得 x=16-4（-12）4=6 原方程组的解为 x=6 y=-12方法三：由方程，得 5x=33+6 y x=33+6y5把代入，消去x，得333+6y5+4y=16y=-12把y=-12代入，得 x=33+6（-12）5=6 原方程组的解为 x=6 y=-12方法四：由方程，得 6 y =33-5x y=33-5x6把代入，消去y，得3x+433-5x6=16x=6把x=6代入，得 y=56-665=-12 原方程组的解为 x=6 y=-12类比刚才的“加减消元法”，学生们可以发现：在方法一中，还可以将x的值代入方程、方程中，求出y的值；在方法二中，还可以将y的值代入方程、方程中，求出x的值；在方法三中，还可以将y的值代入方程、方程中，求出x的值；在方法四中，还可以将x的值代入方程、方程中，求出y的值。接着，让学生归纳：用“代入消元法”解此方程组的方法有12种。同时，我又不失时机的再一次告诉学生：仅仅这一个方程组，在大家的共同努力下，我们收获了将近20种不同的解题思路，可见：团结起来力量大，没有办不到的事情，只有想不到的事情。纵观上述所有的方法，我又教育学生：一道看似普通的二元一次方程组题，我们通过认真分析方程组的特点，不但可以采用将方程组化成最简方程组的常规方法，而且还可以选择不同的方法，更要寻找最佳途径。面对众多解方程组的题目，我们只要细心观察、善于比较、勤于联想，就一定能够得心应手，顺利解题。对于此方程组，最佳方法就是用“加减消元法”，因为未知数的系数都是整数。并且消去y尤为简便。因为，在数学计算中，有一条潜规则：宁做加法，不做减法；宁做乘法，不做除法；宁算整数，不算小数。最后，我又给学生奉献了一段结束语：“在今后的生活学习中，不仅仅在数学课堂上，在其他课堂上，我们都要认真分析，仔细发现，善于思考，及时总结，争取利用最优的方法来提高效率，从而达到“事半功倍”的效果。更要寻找不同的途径开拓我们的视野，发散我们的思维，挖掘我们的潜力，何乐而不为？”在教学中，我一直给学生强调“消元的思想和方法”，应是贯穿于二元一次方程组的始终的一条主线。通过“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程实现求解的目的，体现了“化繁为简、以简驭繁”的基本策略，对促进学生理性思维的发