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DATE TAKE SCENES 10 1 PRODUCTION CREATEDWITH 质数模的同余式 定理1同余式 1 与一个次数不超过p 1的质数模同余式等价 定理一的证明 证明 由多项式的带余试除法知有二整系数多项式及使且的次数不超过 由费马定理知 对任何整数x来说 因此 1 与等价 定理2设 而是 1 的k个不同解 则对任何整数x来说 其中是n k次多项式 首项系数是 定理二证明 定理3 1 对任何整数x来说 2 Wilson定理 定理4同余式 1 的解数不超过它的次数 证明 我们用反证法 设 1 的解数不超过n个 则 1 至少有n 1个解 设为由定理2得由于 但p为质数 an modp 故有一使得 这与假设矛盾 补充例子 1 解同余方程 3x11 2x8 5x4 1 0 mod7 4x20 3x12 2x7 3x 2 0 mod5 解 原同余方程等价于3x5 5x4 2x2 1 0 mod7 用x 0 1 2 3代入知后者无解 原同余方程等价于2x4 2x3 3x 2 0 mod5 将x 0 1 2代入 知后者有解x 1 mod5 2 判定 2x3 x2 3x 1 0 mod5 是否有三个解 x6 2x5 4x2 3 0 mod5 是否有六个解 解 2x3 x2 3x 1 0 mod5 等价于x3 3x2 4x 3 0 mod5 又x5 x x3 3x2 4x 3 x2 3x 5 6x2 12x 15 其中r x 6x2 12x 15的系数不都是5的倍数 故
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