论文_矩阵相似的若干判定方法.doc

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练矩阵相似的若干判定方法 系部：信息与计算科学系专业：数学与应用数学 学号：2009031112 姓名：杨文升 成绩：2012年6月8矩阵相似的若干判定方法杨文升长沙学院 信息与计算科学系，湖南 长沙，410022摘要：高等代数课程范围内，矩阵是一个很重要的基本问题。矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系，矩阵的相似涉及到矩阵，矩阵可逆，同时矩阵相似可应用于两分块矩阵中和求可逆矩阵中。在这里我们着重讨论了矩阵相似的基本概念和其性质。并且总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论，以便我们能对矩阵的相似有进一步的了解。关键词: 矩阵相似，矩阵，可逆矩阵 ，分块矩阵绪言 本文主要介绍除了高等代数中通过两矩阵的特征矩阵等价判定矩阵的相似的其他方法本文主要讨论了矩阵相似的基本概念及其相关性质，研究了两个方块矩阵和的相似以此介绍几种判定矩阵相似的方法，让我们对矩阵的相似有进一步的认识1 有关概念定义11 设，为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵,使得 就说相似记作定义23 设是数域上的多项式，以为元素的矩阵称为矩阵。记为数域P的矩阵的全体）。定义33 相似关系为数域上的阶矩阵之间的等价关系，对任何，集合称为矩阵形成的等价类。2 矩阵相似的性质 性质11 反身性：；这是因为 性质21对称性 ：如果,那么 ；如果 ，那么有X，使 令 就有 所以 。性质31 传递性：如果,那么。已知有,使令，就有因此，。3 n级矩阵相似的判定有关的引理和定理引理12 设是数域P上的一个矩阵，则存在数域上的可逆矩阵，使得为上三角矩阵。引理 22 设，是数域上的两个级矩阵，则与相似的充分必要条件是存在数域上的两个可逆的矩阵，使得（1）且A与B相似时有，这里是在时的左值。定理12 设，是数域上的两个级矩阵，则与相似的充分必要条件是存在数域上的可逆的矩阵，使得（2）且与相似时有，这里是在时的左值。证明 充分性.由，可逆，把（2）式两端同时右乘上得令，则可逆，且，由引理2得，与相似。 必要性.只须在（1）式中令即得（2）式。当A与B相似时，由引理2得，这里是在时的左值。定理 22 设,是数域上的两个级矩阵，则与相似的充分必要条件是存在数域上的可逆的矩阵，使得（3）且与相似时有，这里是在时的左值。证明 充分性.由可逆，把（3）式两端同时左乘上得： 令 则可逆，且由定理1得，与相似。 必要性.只须在(2)式中令即得(3)式.当当与相似时，由引理2得，这里是在时的左值。例题1设.判定与是否相似,并在相似时求可逆矩阵,使得.解 所以，与相似。令则令则定理33 对于数域上的阶矩阵,有的充要条件是证明 假定，因为因此,即.反之：若，对则，于是存在非奇异矩阵使得 又由于，于是存在非奇异矩阵Q使得于是即。于是因此同理可证于是定理得证。4 两个分块矩阵相似的判定在这里主要研究两个分块矩阵 和的相似由著名的Roth定理2就指出和相似的一个充分必要条件是矩阵方程 (1)有解定理4设A,B是两个方阵，在=和的条件下，则两个分块矩阵和相似的充分必要条件.证明 必要性: 由于A与B是幂等矩阵，所以也是幂等矩阵。因而如果和相似，则也是幂等的，也就是，=两边矩阵展开得到 .充分性: 由于和是幂等矩阵,它们能分解为: (2)将它们代入（1）式中，得到 (3)假设 (4)则（4）式进一步得到 (5)这个方程有解的充分必要条件和，根据（2），（4），显然等价于和这两个方程也等价于。由此可知，在条件下，方程（1）有解，因此两个分块矩阵和相似，证明完毕。参考文献1 刘嘉矩阵相似及其应用中国西部科技J,2010,9(26):46-482 王新民,袁强.关于矩阵相似的条件及其相似变换矩阵.聊城大学学报 J,2009,22(2):14-16.3 贺爱玲,马玉明,刘慧,陈业红关于矩阵