三角函数复习ppt课件

高中三角函数复习 一 角的概念及任意角三角函数 1 角的概念 1 正角 负角和零角 按时针方向旋转所形成的角叫 按时针方向旋转所形成的角叫 没有作任何旋转 称它形成一个角 负角 正角 零 逆 顺 2 象限角与终边相同的角的表示 1 象限角 使角的顶点与重合 角的始边与重合 角的终边落在第象限 就说这个角是第象限角 原点 x轴的非负半轴 几 几 2k k Z 或 360 k k Z 终边相同 x轴正半轴 2k k Z x轴负半轴 2k k Z 2 与角 终边相同的角的集合 一 角的概念及任意角三角函数 2k k Z 3 角的度量 思考探究 1 终边相同的角相等吗 它们的大小有何关系 2 锐角是第一象限角 第一象限角是锐角吗 小于90 的角是锐角吗 提示 1 终边相同的角不一定相等 它们相差360 的整数倍 2 第一象限角不一定是锐角 如390 300 都是第一象限角 但它们不是锐角 小于90 的角也不一定是锐角 如0 30 都不是锐角 1 终边与坐标轴重合的角 的集合为 A k 360 k Z B k 180 k Z C k 90 k Z D k 180 90 k Z C 练习一 3题 2 2弧度的圆心角所对弦长为2 则这个扇形的面积为 3 1 将 570 用弧度制表示出来 并指出它所在的象限 2 将用角度制表示出来 并在 720 0 之间找出与它有相同终边的所有角 1 已知扇形的周长为10cm 面积为4cm2 求扇形圆心角的弧度数 2 已知一扇形的圆心角是72 半径等于20cm 求扇形的面积 代入 得r2 5r 4 0 解之得r1 1 r2 4 当r 1cm时 l 8 cm 此时 8rad 2 rad舍去 当r 4cm时 l 2 cm 此时 rad 1 已知扇形的周长为10cm 面积为4cm2 求扇形圆心角的弧度数 2 已知一扇形的圆心角是72 半径等于20cm 求扇形的面积 已知一扇形的圆心角是 半径为R 弧长l 1 若 60 R 10cm 求扇形的弧长l 2 若扇形周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 变式训练 1 定义 任意角 的顶点在坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边上任意一点P x y 到原点的距离为r 则 4 任意角的三角函数 一 角的概念及任意角三角函数 3 三角函数的定义域正弦函数y sin 的定义域 余弦函数y cos 的定义域 正切函数y tan 的定义域 R R 2 三角函数的符号如图所示 即 一全正 二正弦 三两切 四余弦 5 特殊角的三角函数值 4 三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT 余切线 0 1 0 1 1 0 1 0 不存在 不存在 1 0 0 不存在 0 0 1 0 不存在 不存在 0 1 一 角的概念及任意角三角函数 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 变式训练 1 已知角 的终边上有一点P x 1 x 0 且tan x 求sin cos 练习二 6题 B D 4 函数y 的值域是 3 1 1 若角 满足条件sin2 0 cos sin 0 则 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 B 6 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 B 二 同角三角函数基本关系式 2 利用上述关系 可以解决以下问题 1 已知某角的一个三角函数值 求其他各三角函数值 2 化简某些三角函数式 3 证明某些三角恒等式 解 sin cos 而sin2 cos2 1 cos sin 2 sin2 cos2 2sin cos 1 又cos cos sin 提示 显然cos 0 分子分母同除以cos 后代入即得 1 已知 是第三象限角 则sec 1 tan2 tan sec2 1 A 1 B 1 C 1 D 以上都不对 C 练习三 4题 提示 原式 sec sec tan tan 又 为第三象限角 sec 0 从而得 三 诱导公式 1 常用的六组诱导公式 用公式时都是把 看作锐角 先化简式子 最后再转化 2 利用诱导公式求任意角的三角函数值 一般步骤 任意角的三角函数 0 到360 角的三角函数 任意正角的三角函数 0 到90 角的三角函数 练习四 4题 3 计算 sin210 sin280 tan10 tan80 C 2 1 四 三角函数的图象及性质 1 正 余弦函数 正 余切函数的图象与主要性质 函数 y sinx y cosx y tanx 一周期图象 定义域 值域 单调性 奇偶性 周期 R R 1 1 R 在 2k 2k k Z 在 2k 2k k Z 奇函数 偶函数 奇函数 2 2 1 1 四 三角函数的图象及性质 2 周期函数和最小正周期的意义 对于函数y f x 如果存在一个常数T 0 使得当x取定义域中的每一个值时 都有f x T f x 成立 那么函数y f x 叫做周期函数 T叫做f x 的周期 对于一个周期函数来说 如果在所有的周期中存在一个最小的正数 就把这个最小正数叫做最小正周期 三角函数的周期概指最小正周期 3 正弦型函数y Asin x 的振幅 周期 相位 初相及其图象与函数y sinx之间的关系 1 当A 0 0时 A称为该函数的振幅 T称为函数的周期 为角速度 x 称为函数的相位 称为函数的初相 2 当A 0 0 x R时 y Asin x 的图象 可以看作把y sinx的图象上的所有的点向左 当 0 或向右 1 或伸长 01 或缩短 0 A 1 到原来的A倍 横坐标不变 四 三角函数的图象及性质 题型一 求三角函数的值域和最值 注 最终化为一个角的三角函数式或其复合式 题型一 求三角函数的值域和最值 变式练习 题型二 三角函数的单调性 题型二 三角函数的单调性 变式练习 C B 变式练习 练习五 5题 3 函数y asinx b的最大值为2 最小值为 4 则a b 4 函数y Asin x 其中 0 A 0 的图象如右 则函数的解析式为 5 已知函数y log0 5cos2x 1 求定义域 值域 2 判断函数的奇偶性 3 求函数的单调区间 B D 3 1 五 方法指导 1 坐标法2 主元法3 递归法4 几何模型法5 图象变换法 3 递归法 1 诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数 2 诱导公式中的 角为任意角 确定符号时当锐角处理 3 研究周期函数图象性质时 可先归到一特殊周期研究 1 坐标法 数形结合法的表现 角的概念在平面直角坐标系中出现 能直观地说明角的内涵 终边相同的角 象限角等概念能把众多角归类 2 主元法 当问题涉及多种三角函数或多个角时 据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元 把其他各三角函数或角进行变换 化为主元三角函数或同角三角函数 简单说成 化同名 化同角 切割常化弦 返回 证明 在平面直角坐标系中 取单位圆 如图 依定义可知 sin MP tan AT 而 即为弧AP的长 考虑三角形OMP和OAT及扇形OAP的面积 有S OMP S扇形OAP S OAT 再据三角形及扇形面积计算得 MP 弧长AP AT 故命题成立 注 该结论应记住 4 几何模型法 单位圆能直观地解释三角函数 因而成为几何工具 主要应用有 1 用三角函数射影法作基本三角函数的图象 2 直观地表示简单三角方程或简单三角不等式的解集 3 证明诱导公式及一些重要的三角等式和不等到式 5 图象变换法 讨论正弦型函数y Asin x h A 0 0 的图象作法 除了用 五点法 外 还有图象变换法 平移变换 伸缩变换 例 已知 0 90 求证 sin tan 六 注意问题 1 区分 角 2 判断符号3 恒等变换4 活用公式5 由形察数6 对称问题 1 区分 角 主要指当角相同时 三角函数值相等 而当三角函数值相等时 角不一定相等 特别是终边相同的角并不就是相同的角 初学三角函数时常会把它们混在一起 2 判断符号 一指诱导公式中各符号的判断 二指利用 一倒二商三平方 的 平方关系 求值时 需根据角的范围来确定平方根号前的 或 号 如 sin 0 5 360 450 则 390 千万不能写成了30 如果用弧度制写更易出错 返回 3 恒等变换 主要指在化简或证明过程中 必须在定义域上对式子进行保 值 变 形 避免会改变定义域的变换 4 活用公式 在化简求值等变形中 要合理决定变换的简捷程序 善于观察角 如x 30 和60 x互余 x 45 与135 x互补等 5 由形察数 这是数形结合思想的一个方面 既可从图形中发现一些函数性质 又可从图形中得到函数解析式 试做一题 答案为 1 你做对了吗 返回 这章又结束了 你学到了什么 再过一遍看看 任意角三角函数 基本关系式 诱导公式 图象性质 注意问题 方法指导 1 角的概念2 三角函数 1 关系式2 应用 1 常用的六组诱导公式2 利用诱导公式求任意角的三角函数值 1 函数的图象与主要性质2 周期函数3 正弦型函数y Asin x 的一些概念 性质 1 坐标法2 主元法3 递归法4 几何模型法5 图象变换法 1 区分 角 2 判断符号3 恒等变换4 活用公式5 由形察数6 对称问题 返回首页 结束放映 返回 题 已知 是第二象限角 那么 各是第几象限角 解 为第二象限角 2k 2k k Z 2k 2k k Z 即 是第三象限角 又k k k Z 分别令k为奇数和偶数 可知为第一或第三象限角 同法可求得是第一或第二或第三象限角 返回 题 已知tan a2且 cos cos 求sec 返回 x x 题 下列函数中 既在区间 0 内递增 又是以2 为最小正周期的偶函数是 A y sinx B y 1 cos2 C y 2cosx D y cot 2 2 解 A 答案是以 为周期的函数 且在 上是减函数 可排除 C 答案中 t cosx在 0 单调递减 而y 2t为增函数 故该函数在 0 单调递减 排除 D 答案显然不是偶函数 且在 0 单调递减 也可排除 故选 B 其实 B 中函数可化为y sin2 还可继续化为y 1 cosx 分析可知满足题意 返回