24.1.1圆的概念

1 圓上各點到定點 圓心O 的距離都等於定長 半徑r 2 到定點的距離等於定長的點都在同一個圓上 歸納 圓心為O 半徑為r的圓可以看成是所有的點的集合 從畫圓的過程可以看出 到定點 圓心O 的距離都等於定長 半徑r 24 1 1圓 在一個平面內 線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周 另一個端點A所形成的圖形叫做圓 固定的端點O叫做 線段OA叫做 以點O為圓心的圓 記作 讀作 圓心 半徑 O 圓O r O A 圓的概念 確定一個圓的要素 圓心確定其位置 1 圓心 2 半徑 半徑確定其大小 圓的要素 2 經過圓心的弦 如圖中的AB 叫做直徑 1 連接圓上任意兩點的線段 如圖AC 叫做弦 與圓有關的概念 C O A B 弦 1 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧 簡稱弧 以A B為端點的弧記作 讀作 圓弧AB 或 弧AB 2 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧 每一條弧都叫做半圓 B A A B 與圓有關的概念 弧 弧有三類 分別是優弧 劣弧 半圓 C O A B 1 小於半圓的弧 如圖中的 叫做劣弧 2 大於半圓的弧 用三個字母表示 如圖中的 叫做優弧 與圓有關的概念 弧 能夠重合的兩個圓是等圓 容易看出 半徑相等的兩個圓是等圓 反過來 同圓或等圓的半徑相等 與圓有關的概念 等圓 B O1 A 在同圓或等圓中 能夠互相重合的弧叫做等弧 D O2 F E C 注意 長度相等的弧是等弧 與圓有關的概念 等弧 判斷下列說法的正誤 1 弦是直徑 2 半圓是弧 3 過圓心的線段是直徑 4 過圓心的直線是直徑 5 半圓是最長的弧 6 直徑是最長的弦 7 半徑相等的兩個圓是等圓 想一想 24 1 2垂直於弦的直徑 可以發現 圓是軸對稱圖形 任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸 探究1 把一個圓沿著它的任意一條直徑對折 重複幾次 你發現了什麼 由此你能得到什麼結論 探究2 O A A 如圖 AA 是 O的一條弦 作直徑CD 使CD AA 於點M O A A C D M 探究2 問題 1 右圖是軸對稱圖形嗎 如果是 對稱軸是 2 根據軸對稱性質 圖中相等線段有 相等的劣弧有 如圖 AA 是 O的一條弦 作直徑CD 使CD AA 於點M O A A C D M 探究2 問題 1 右圖是軸對稱圖形嗎 如果是 對稱軸是 2 根據軸對稱性質 圖中相等線段有 相等的劣弧有 如圖 AA 是 O的一條弦 作直徑CD 使CD AA 於點M 幾何語言表示為 若CD AA 於點M且CD為直徑則 探究2 下列圖形是否具備垂徑定理的條件 是 不是 是 不是 練一練 1 在 O中 弦AB長8cm 圓心O到AB的距離為3cm 求的 O半徑 圓的線段問題轉化為直角三角形問題 練一練 垂徑定理的幾個基本圖形 CD過圓心 CD AB於E AE BE 圖形語言幾何語言表示為 垂徑定理 垂直於弦的直徑平分弦 且平分弦所對的兩條弧 AE BE 已知 如圖 CD是 O的直徑 AB為弦 且AE BE 探究3 圖形語言幾何語言表示為 垂徑定理推論 平分弦 不是直徑 的直徑垂直於弦 並且平分弦所對的兩條弧 CD是直徑 AE BE CD AB 垂徑定理推論 平分弦 不是直徑 的直徑垂直於弦 並且平分弦所對的兩條弧 不是直徑 這個條件能去掉嗎 判斷 1 垂直于弦的直線平分這條弦 並且平分弦所對的兩條弧 2 平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧 3 經過弦的中點的直徑一定垂直於弦 4 弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧 24 1 2垂直於弦的直徑 圖形語言幾何語言表示為 垂徑定理 垂直於弦的直徑平分弦 且平分弦所對的兩條弧 AE BE 圖形語言幾何語言表示為 垂徑定理推論 平分弦 不是直徑 的直徑垂直於弦 並且平分弦所對的兩條弧 CD是直徑 AE BE CD AB 垂徑定理的逆定理 如圖 在下列五個條件中 能否只要具備其中兩個條件 就可推出其餘三個結論 CD是直徑 AM BM CD AB 垂徑定理的逆定理 如圖 已知求證 CD是直徑 AM BM CD AB 垂徑定理的逆定理 如圖 已知求證 CD是直徑 AM BM CD AB 垂徑定理的逆定理 如圖 已知求證 CD是直徑 AM BM CD AB 垂徑定理及逆定理 垂直于弦的直徑平分弦 並且平分弦所的兩條弧 平分弦 不是直徑 的直徑垂直於弦 並且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑 垂直平分弦 並且平分弦所對的另一條弧 弦的垂直平分線經過圓心 並且平分這條弦所對的兩條弧 垂直于弦並且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心 並且平分弦和所對的另一條弧 平分弦並且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心 垂直於弦 並且平分弦所對的另一條弧 平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心 並且垂直平分弦 垂徑定理的推論 若圓的兩條弦互相平行 那麼這兩條弦所平的弧相等嗎 垂徑定理的推論圓的兩條平行弦所夾的弧相等 課堂討論 根據已知條件進行推導 過圓心 垂直於弦 平分弦 平分弦所對優弧 平分弦所對劣弧 1 平分弦 不是直徑 的直徑垂直於弦 並且平分弦所對的兩條弧 3 弦的垂直平分線經過圓心 並且平分弦所對的兩條弧 2 平分弦所對的一條弧的直徑 垂直平分弦 並且平分弦所對的另一條弧 只要具備上述五個條件中任兩個 就可以推出其餘三個 1 填空 1 根據圓的定義 圓 指的是 而不是 圓面 2 圓心和半徑是確定一個圓的兩個必需條件 圓心決定圓的 半徑決定圓的 二者缺一不可 圓周 位置 大小 9 Fast最長的弦長為500m 則該圓的半徑為 250m O B C A 10 如圖 半徑有 OA OB OC 若 AOB 60 則 AOB是 三角形 11 如圖 弦有 ABBC AC 在圓中有長度不等的弦 等邊 直徑是圓中最長的弦 強調 O B C A 12 如圖 弧有 13 劣弧有 優弧有 判斷 半圓是弧 但弧不一定是半圓 議一議 說一說 1 車輪為什麼做成圓形的 試想一下 如果車輪不是圓的 比如橢或正方形的 坐車的人會是什麼感覺 議一議 說一說 2 如果車輪做成三角形或正方形的 坐車的人會是什麼感覺 r 把車輪做成圓形 車輪上各點到車輪中心 圓心 的距離都等於車輪的半徑 當車輪在平面上滾動時 車輪中心與平面的距離保持不變 因此 當車輛在平坦的路上行駛時 坐車的人會感到非常平穩 這就是車輪都做成圓形的數學道路 圓上的點到圓心的距離是一個定值 車輪為什麼做成圓形的 歸納總結 變式1 如上圖 若以O為圓心再畫一個圓交弦AB