动量守恒和质点运动学

Chapter2动量守恒和质点动力学 Kinematics 研究如何描述物体的运动基本问题 已知中某一个求另外两个解决问题的武器 根据概念的定义进行微积分运算 Dynamics 研究外界作用与物体运动的关系基本问题 已知运动求力 或已知力求运动解决问题的武器 牛顿定律 动量定理及其守恒定律 能量定理及其守恒定律 角动量定理及其守恒定律 2 1惯性定律和惯性系 惯性定律 牛顿第一定律 孤立质点静止或作匀速直线运动 二 惯性参考系惯性定律能成立的参考系 三 Notes 在现实世界中 孤立质点可理解为质点虽受外界作用 但外界作用相互抵消2 某参考系是否可看作惯性系 只能根据观察和实验来确定3 相对惯性系做匀速直线运动的参考系也是惯性系 2 2质量动量和动量守恒定律 一 物体的质量 Mass 2 引力质量 gravitationalmass 用天平测出的 表征引力性质的质量 1 惯性质量的定义 表征物体惯性大小 即速度改变的难易程度 的质量 3 相对论性质量 物体的质量随速度变化而变化 只有相互作用的两质点的运动规律 理想实验 1 在任意给定的时间间隔内 两物体速度变化的方向相反 3 比例系数与质点有关 2 不论时间间隔大小如何 两物体速度变化的大小之比为定值 二 动量动量守恒定律 动量 质点质量与其速度的乘积 2 动量守恒定律 动量守恒定律是物理学中的普适原理之一 例题 设有一静止的原子核 衰变辐射出一个电子和一个反中微子后成为一个新的原子核 已知电子和反中微子的运动方向互相垂直 且电子动量为1 2 10 22kg m s 1 反中微子的动量为6 4 10 23kg m s 1 问新的原子核的动量的值和方向如何 解 即 恒量 又因为 代入数据计算得 系统动量守恒 即 一 力的定义如何用动量给出力的定义 力是一个物体对另一个物体的作用 它等于受力物体的动量对时间的变化率 即 2 3力冲量和动量定理 此即牛顿第三定律 二 冲量质点的动量定理 动量 冲量 此即牛顿第二定律 微分形式 积分形式 动量定理 在给定的时间间隔内 外力作用在质点上的冲量 等于质点在此时间内动量的增量 某方向受到冲量 该方向上动量就增加 说明 分量形式 例1 质量m 1kg的质点从O点开始沿半径R 2m的圆周逆时针运动 以O点为自然坐标原点 已知质点的运动方程为m 试求从s到s这段时间内质点所受合外力的冲量 解 例2 一枚返回式火箭以2 5 103m s 1的速率相对地面沿水平方向飞行 设空气阻力不计 现由控制系统使火箭分离为两部分 前方部分是质量为100kg的仪器舱 后方部分是质量为200kg的火箭容器 若仪器舱相对火箭容器的水平速率为1 0 103m s 1 求仪器舱和火箭容器相对地面的速度 解 则 三 质点系的动量定理 对两质点分别应用质点动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 质点系动量定理 推广到多个质点组成的系统 质点系动量定理 力的瞬时作用规律 1 系统的动量守恒是指系统的总动量不变 系统内任一物体的动量是可变的 各物体的动量必相对于同一惯性参考系 四 质点系的动量守恒定律 Notes 3 若某一方向合外力为零 则此方向动量守恒 4 动量守恒定律只在惯性参考系中成立 是自然界最普遍 最基本的定律之一 2 守恒条件 合外力为零当时 可略去外力的作用 近似地认为系统动量守恒 例如在碰撞 打击 爆炸等问题中 特殊情形 撞击问题 例3一柔软链条长为l 单位长度的质量为 链条放在有一小孔的桌上 链条一端由小孔稍伸下 其余部分堆在小孔周围 由于某种扰动 链条因自身重量开始下落 m1 m2 O y y 求链条下落速度v与y之间的关系 设各处摩擦均不计 解以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统 建立坐标系 由质点系动量定理得 则 又 m1 m2 O y y 两边同乘以则 m1 m2 O y y 设火箭在时刻的质量为 速度为 时间内 有燃料以相对火箭速度喷出 火箭速度增加为 设系统合外力为 则由动量定理得 火箭的运动 火箭是依靠燃烧燃料喷射气体来获得向前的推力的 五 变质量系统问题 火箭问题 因为 选取的方向为正方向 动力学以牛顿运动定律为基础 研究物体运动状态发生改变所遵循的规律 2 4牛顿运动定律及其运用 牛顿第一定律 惯性定律 数学表达式 惯性 物体保持其运动状态不变的性质 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态 直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止 一 牛顿运动定律的表述 牛顿第二定律 牛顿运动方程 数学表达式 v c 直角坐标系 分量式 动量为的物体 在合外力的作用下 其动量随时间的变化率即等于作用于物体的合外力 自然坐标系 分量式 牛顿第三定律 作用力和反作用力定律 两物体间的作用力和反作用力 沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作用在两个物体上 数学表达式 说明 1 作用力和反作用力总是成对出现 2 作用力和反作用力分别作用于两个物体 因此不能平衡或抵消 3 作用力和反作用力属于同一种性质的力 牛顿运动定律成立的参考系 简称惯性系 相对惯性系做匀速直线运动的参考系也是惯性系 地球可近似看成惯性系 惯性参考系 相对于惯性系作加速运动的参考系 在非惯性系内牛顿运动定律不成立 非惯性参考系 车厢由匀速变为加速运动 地面参考系 小球保持匀速运动 车厢参考系 二 自然界中几种常见力 1 万有引力 矢量式 地球对地面附近物体的万有引力 重力 R 地球半径 M 地球质量 星体之间 地球与地球表面附近的物体之间 以及所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的力 2 弹性力 物体发生弹性变形后 内部产生欲恢复形变的力 弹簧弹性力 绳索内张力 正压力和支持力 弹簧弹性力 绳索拉紧时张力 3 摩擦力 2 滑动摩擦力 当物体相对于接触面滑动时 所受到接触面对它的阻力 其方向与滑动方向相反 为滑动摩擦系数 1 静摩擦力 当物体与接触面存在相对滑动趋势时 所受到接触面对它的阻力 其方向与相对滑动趋势方向相反 最大静摩擦力 0为静摩擦系数 自然界四种基本相互作用的比较 以距源处强相互作用的力强度为1 力的种类 相互作用的物体 力的强度 力程 万有引力 一切物体 无限远 弱力 大多数微观粒子 小于 电磁力 带电粒子 无限远 强力 核子 介子等 温伯格萨拉姆格拉肖 三人于1979年荣获诺贝尔物理学奖 鲁比亚 范德米尔实验证明电弱相互作用 1984年获诺贝尔奖 电弱相互作用强相互作用万有引力作用 三 牛顿运动定律的应用 质点动力学基本运动方程 1解题步骤 已知力求运动方程已知运动方程求力 2两类常见问题 隔离物体受力分析建立坐标列方程解方程结果讨论 例1有空气阻力的抛体运动 设抛体阻力 抛体质量m 初速 抛射角 求抛体的运动轨迹 解 轨道方程 例2如图绳索绕在圆柱上 绳绕圆柱张角为 绳与圆柱间的静摩擦因数为 求绳处于滑动边缘时 绳两端的张力和间的关系 绳的质量忽略 圆柱对的摩擦力圆柱对的支持力 解取一小段绕在圆柱上的绳ds 建立坐标如图 若 END 例3 质量为m的摩托车 在恒定牵引力F作用下工作 所受阻力与速度的平方成正比 能达到的最大速率为vm 计算从静止加速到vm 2所需时间及走过的路程 解 例4 一升降机内有一光滑斜面 斜面固定在升降机的地板上 其倾角为 如图所示 当升降机以匀加速度a1上升时 物体m从斜面的顶点沿斜面下滑 求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度 解 已知斜面对地面的加速度为 设物体对斜面的加速度为 物体对地面的加速度为 m mg y y0 x N 例5 已知 桶绕y轴转动 const 水相对桶静止 求 水面形状 y x关系 解 选对象 一小块水为隔离体m 看运动 m作匀速率圆周运动 查受力 受重力 非粘滞流体间只能承受相互的压力 水 任选表面上 及其余水的压力 一 伽利略相对性原理 2 对于不同惯性系 牛顿力学的规律都具有相同的形式 与惯性系的运动无关 1 凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系 为常量 2 5非惯性参考系惯性力 二 非惯性系 1 非惯性系 相对惯性系作加速运动的参考系为非惯性系 牛顿运动定律在非惯性系中不再适用 1 地面 惯性系 观察者作用在小球上的合外力为零 小球保持静止状态 结论 牛顿定律适用 2 车厢内 非惯性系 观察者 作用在小球上的合外力为零 小球却相对车厢以加速 结论 牛顿定律不适用 三 加速平动非惯性系中的惯性力 S 故 由 得 定义惯性力 inertialforce 则有 惯性系 修改牛顿第二定律 使之适用于加速平动参考系 非惯性系中的 牛顿第二定律 式中 为由于相互作用物体所受的力 为物体在非惯性系中的加速度 为惯性力且 为非惯性系相对惯性系的加速度 惯性力的特点 1 惯性力是参考系加速运动引起的附加力 与非惯性系的加速度方向相反2 惯性力是虚拟力 无施力物体和反作用力3 惯性力可以测量和感受 可看成是实在的力 超重与失重 4 从惯性系来看 惯性力是惯性的一种表现形式 有时在非惯性系中讨论问题会更方便 例1 杂技演员站在沿倾角为 的斜面下滑的小车上 他以速率v0垂直斜面上抛一个红球 经t0时间后 又以同一速度上抛一个绿球 忽略摩擦 不计空气阻力 问两球何时相遇 解 选参考系 以车为参考系 对地的加速度为a0 gsin 方向沿斜面向下 受力分析 把小球视为质点 受力情况如图所示 运动情况 小球垂直斜面作上抛运动 应满足 红球 令y1 y2 可求得相遇时间 列方程 取红球抛出时为计时起点 根据匀变速直线运动的公式 相对车 小球沿y方向做初速度为v0 加速度为的竖直上抛运动 绿球 设S 系相对惯性系S匀速转动 1 物体m在S 中静止 即 S 令 S 则 惯性离心力 inertialcentrifugalforce 四 匀速转动非惯性系中的惯性力 中绳的拉力与惯性离心力平衡 m静止 物体重量和纬度的关系 重量并非地球引力 而是引力和惯性离心力的合力 物体重量W和地球纬度 的 式中 G 万有引力常量 Me 地球质量 R 地球半径 地球自转角速度 关系式为 自己推导 由于地球自转 地面物体会受到惯性离心力的作用 2 物体m在S 中运动 设物体m在S 中有速度 有关的惯性力 先看一个特例 在惯性系 地面 S 在非惯性系 桌面 S 1 科里奥利力 则在S 中看 m除受惯性离心力外 还要附加一个与速度 总惯性力 一个科里奥利力 Coriolisforce S 中牛顿第二定律为 可以证明 一般情况下 在匀速转动参考系 运动物体除受惯性离心力外 中 还要附加 强热带风暴漩涡的形成 河岸冲刷 北半球右岸 南半球左岸 北半球的科氏力 信风的形成 风暴漩涡的形成 落体偏东 与科里奥利力有关的问题 傅科摆 傅科摆 摆锤28kg 摆平面转动 这是在地面上验证地球自转的著