等腰三角形教学案设计

案例展示 【案例信息】 案例名称：新人教版八年级上册第十四章轴对称第三单元等腰三角形习题课 构造基本图形等腰三角形 授课教师：李娜 （北京 十一中学 中学一级 ） 【教学设计】 一、教学目标 知识与能力 ： 1探究构造等腰三角形的方法，能通过作垂线和平行线来构造等腰三角形。 2能灵活的运用等腰三角形的性质进行有关说理并解决具体的数学问题。 过程与方法 ： 1. 运用类比研究问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。 2培养学生逻辑推理能力和创造性思维能力。 3在自主探究中理解基本图形，收获探究方法，充分体现观察、实验、猜想、论证、应用的研究几何图形问题的全过程。 情感、态度、价值观 ： 1认识到观察、实验、类比可以获得数学猜想，数学活动赋予探索、充满挑战。 2引导学生面对困难时要积极对待，冷静思考，尽力寻求方法解决问题。 二、教学重点 学生探索构造等腰三角形。 三、教学难点 对构造的基本图形 - 等腰三角形方法的归纳。 四、教学手段 运用几何画板，利用多媒体手段，直观演示图形。 五、教学过程 （一）导入新知 在轴对称一章里，我们接触了等腰三角形，如图等腰三角形 ABC ，它有什么性质和判定方法？ 等腰三角形： 等边对等角，等角对等边及底边上的高线、中线、顶角的角平分线重合。等腰三角形具有这么特殊的性质，提供了“边与边、角和角及边和角的关系”。我们把等腰三角形看作是平面几何中的一个基本图形，在很多问题中，如果有等腰三角形，我们要把它能从复杂图形中找出来；如果问题中没有有时我们还需要想办法构造出来，本节课我们就来探究如何构造等腰三角形。 我们来看这样一个问题：（展示课件）（学生活动） 问题 1 ：利用圆规或三角板，在角上添加线构造等腰三角形 方法：有多种方法，分别把 O 作为底角和顶角来构造。 问题 2 ：利用角平分线的条件，过点 P 作一条线段构造等腰三角形 设计说明：这个环节由学生自己动手画图操作，发散学生思维，寻求多种方法解决问题，同时对每一种画法，说明理由。 在探索过程中，学生可能会给出多种构造方法，比如： 1 以顶点 O 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的两边于点 A 、 B ，连结 AB ，则 OAB 为等腰三角形。 2 以点 P 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的一边于点 A ，连结 AP ，则 OAP 为等腰三角形。 3 过 P 点分别向角的两边引垂线段，垂足点 A 、 B ，连结 AB ，则 OAB 为等腰三角形。 对于作平行线的方法学生可能比较难考虑到，此时给出适当的引导：我们知道角平分线可得两角等，而等腰三角形也有两角等，那么我们能不能想个办法把角平分线得到的这对等角转移到一个三角形中呢？ （二）在封闭的三角形内研究基本图形的构造 刚才，我们利用角和角的平分线，过一点通过添加线来构造等腰三角形，我们探索了很多的方法，下面我们把这个角平分线的条件放到一个三角形里，看是否还存在我们所研究的基本图形等腰三角形。 问题 3 ： 在 ABC 中， BD 平分 ABC ， P 是 BD 上的一点，过点 P 添加一条线段能构造等腰三角形吗？ 【设计意图】把角平分线放到一个封闭图形（三角形）中，进一步探究作平行线和垂线来构造等腰三角形的方法。 变形：利用多媒体几何画板的优势，改变点相对于三角形的位置关系，观察上面的结论是否发生变化。 变化过程：点在三角形内部点在三角形边上点在三角形外部。 画板演示变化过程：以作平行线为例。 问题 4 ： 已知：在 ABC 中， BD 、 CD 分别平分 ABC 和 ACB ，请思考过点 D 添加线段能够造等腰三角形。 我们由刚才一条角平分线变成两条角平分线，还可以构造等腰三角形吗？ 演示一：作平行线 就构造的基本图形提出应用： 图：若已知， BC=6 ，你能知道A的周长吗？ 图：若已知， BC=6 ，求的周长。 演示二：做垂线 【设计指导】引导、画图、讲解同步进行，师生共同研究。 【设计意图】对于下面的问题 5 和 6 ，教师引导学生自己提出问题。 为了更好的理解基本图形，即更好的体现新课程标准中提倡的课堂不要过满，课堂学习可以有效延伸的课后学习，此两个题目作为思考题留到课下，由学生独立探究完成。 问题 5 ： 已知在 ABC 中， BD 平分 ABC ， CD 平分外角 ACM ，请思考过点 D 添加线段构造等腰三角形。 改变角平分线的位置：从两内角平分线变为一内角和一外角平分线。 作平行线：（应用：线段 EF 、BE 、FC 有什么数量关系？答 EF=BE-FC ） 做垂线： 问题 6 ： 已知：在 ABC 中， BD 、 CD 分别平分外角 CBE 和 BCM ，请思考过点 D 如何添加线能构造等腰三角形？ 【设计意图】改变角平分线的位置，由两内角角平分线变为两外角角平分线，通过对图形的变化，使学生更深刻的理解基本图形的构成。 （三） 课堂小结 对比黑板上画出的各种构造等腰三角形的方法。 归纳构造方法：作平行线和垂线是利用角等来构造等腰三角形，而其它比如利用角平分线的性质到角两边距离相等或利用圆规画图的方法是直接利用边等来构造等腰三角形，今天我们主要研究利用角等来构造等腰三角形的方法。 从知识点和方法上，你有什么收获？ 板书： 基本图形的构成 （四）基本图形的应用 【例题】已知： ABC 中， ABC=3 C ， 1= 2 ， BE AE 于 E 。求证： AC-AB=2BE 。 【设计意图】此题目较前面的例题有一定的难度，要给学生充分讨论交流的时间，先引导学生寻找基本图形，再从要证明的结论入手，当学生遇到困难时，老师及时引导帮助。 分析：延长 BE 交 AC 于点 M ，利用做角平分线的垂线构造的基本图形，可得 ABM 是等腰三角形，则 AB=AM 且 BE=EM ，所以 AC-AB=MC ， 2BE=BM ，要证 AC-AB=2BE ，只需证 MC=BM 即可，再利用已知和已得的角的关系推证即可。 【课后反思】 本节课是新人教版八年级上册第十四章轴对称第三单元等腰三角形的一节习题课。讲授以后，老师和同学们普遍评价较好，认为是一节好课。课后我认真反复的思考，感到本节课既有亮点也存在一些需要改进的地方。 一、教学设计上的亮点 ：设计新颖、独到 在设计本节课的时候，我一直在思考一个问题，初中几何中对图形的学习，个人认为主要就是包括两个方面：即图形的识别与图形的构造。这两者之间存在怎样的关系呢？一般我们认为“图形的识别”比较简单，因为图形已经存在，只需要进一步“认识”图形就可以了；“图形的构造”好像略微有难度，因为图形还不存在或图形不完全，需要“构建”图形。 老师们都知道，等腰三角形、平行线（垂线）与角平分线这三者之间的图形是轴对称一章中非常重要的基本图形。通常 研究基本图形的方法，首先是由教师给出一些 典型 几何图形，指出其中哪些是基本图形，让学生认识，再给出一些其它图形，让学生自己从中识别基本图形， 即从复杂的图形中识别出简单的基本图形；学习过如何识别图形后，再学习如何构造图形。在以前的教学中我也采用了这样的教学设计，但我发现学过这部分内容后，在其它较为复杂的图形中再出现“等腰三角形、平行线（垂线）与角平分线”这个基本图形时，学生总是很难立刻识别出来。 为什么会这样呢？如何解决图形的识别问题？我把着眼点放到了“图形的构造”上。如果学生很清楚的知道了这个基本图形是如何来的，那么再识别图形应该更加容易了吧！在这个理念的指导下，我大胆的设计了这节课，确定了以“图形的构造”作为本节课的教学重点。 反思为什么教学设计上会有这样的思路，主要来源于以下几点： 1 明确的指导思想 本节课主要设计思想都依据数学课程标准（以下简称标准），标准的基本理念强调了数学课程的基础性、普及性和发展性，学生的学习内容应当是现实的、有意义的和富有挑战性的。教学内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。教师是学生学习的组织者、引导者和合作者，在师生共同交流的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能，常用的数学思想和方法。 2 准确确定教学目标 标准在“空间与图形”部分，明确提出要加深学生对基本图形的认识。在本章知识中，“等腰三角形”是很重要的一个基本图形，它直接的给出了边和角的一种对应关系，为了更好的研究基本图形，本课我确定以“探”为核心制定教学目标。探索研究问题的方法，旨在强调学习的过程，让学生想、学生说，学生提出问题，学生解决问题，总之 要 增加他们的体验，从而加深对知识的理解和记忆。 3 选用合适的教学方法 为了达成“在自主探究中理解基本图形，收获探究方法”的目标，并确保课堂的效率，本节课采用教师铺设问题、引导学生自主探究的教学方法。 具体过程是：观察图形、实验画图、合理猜想、推理论证、实践应用。 分层次从简单到复杂，从一般到特殊来探究在不同条件下构造基本图形的方法。 在问题 1 中， 学生自主探究，从最简单的图形“角”入手，添加线构造等腰三角形。尝试实验和猜想，初步体验自我探究。 在问题 2 中，学生利用角平分线的条件，过角平分线上任一点 P 作一条线段构造等腰三角形。这部分是本节课探究的重点，在给定的限制条件下，尽可能寻找多种构造方法，最终探索到作垂线和平行线的方法。此部分采用 学生自主探究与合作交流的教学方法，可以提高学生学习兴趣，加深对基本图形的理解。 对于问题 4 ，图形 从一条角平分线演变成两条内角角平分线，进一步探究图形的构造。在独立思考的基础上，学生互相讨论， 并 学习 能与他人交流思维的过程和结果 。 对于问题 5 和 6 ，利用类比方法研究问题， 体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性 。 4 利用信息技术来开展教学活动 本节课是一节综合习题课，学生已经初步认识了等腰三角形的性质和判定。本节课设计到的做图方法很多，有效的使用计算机辅助教学可以提高效率和直观性。 对于问题 3 ， 把角平分线的条件放到一个封闭图形中，探索前面构造的基本图形是否还存在，同时改变点相对三角形的位置关系：从点在三角形内部，变为点在三角形边上再到点在三角形外部。利用 “几何画板” ，直观演示构造基本图形的变化情况。 “几何画板”的动态演示可以形象直观的反映出本节课的主旨：从运动变换的角度看待数学问题。 二、教学过程中的亮点 本节课师生交流顺畅，氛围和谐，学生深深的被老师的教学内容所吸引，表现出浓厚的学习兴趣。从问题 1 图形角开始，学生积极思考问题，踊跃回答问题。因为设计的是开放性的问题，学生们探究问题的思路也非常的开阔。虽然课堂氛围的活跃度一般，但通过学生回答问题，可以看出学生的思维是非常活跃的，学生通过自我探究、师生对话、合作交流找到了非常多解决问题的方法。可以说，课堂是和谐的、是学术的。 反思教学过程为什么会有这样的亮点？ 1 充分尊重学生的主体，关注每一个学生的发展，给学生充分表达自己观点的机会和时间 标准指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。学生学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 本节课师生交流和对话时间大概 20 多分钟，学生独立思考的时间大约 10 分钟，学生交流合作的时间约 5 分钟。学生针对老师提出的问题有足够的思考时间和空间。我平时较关注学生的不同需求，特别关注学生自我表现需要以及受到成人认可的需要。本节课学生回答问题的机会很多，课堂上我设计了多个问题，而且分层次提出，由浅入深，以保证各种基础的同学能够找到自己能力适合的问题来回答。事实上本节课共有 20 多位学生独立回答，并有几次学生齐答的情况。本节课还是尊重学生的主体行为的，特别是在学生回答问题时，给学生以足够阐明自己观点的时间和自由。 2 问题设计精巧，有层次感，环环相扣，展示方法动态，能吸引学生的注意力 标准指出：数学课程要面向全体同学，不同的人在数学上得到不同的发展。因此我们在教学设计上就要适度考虑这个问题，如何设计教学才能尽可能的照顾到各类学生呢？我以设计开放式问题的方式体现新课程的第一条理念。在构造图形的过程中，不同的人就会有不同的理解，有基本的构造方法，也有复杂的构造方法。这样给同学们以很大的探索空间，从而实现不同的同学对这个问题有不同的理解，从而在数学上得到不同的发展。 在本节课，为了激发学生的兴趣，我采取了如下的措施：在内容的选取上，贴近学生生活实际或学生感兴趣的；在教学环节上，注重调动学生积极性，鼓励学生，并充分肯定学生的做法；使用“几何画板”演示动画，吸引学生的注意。 3 教学中既注重基础知识的落实又注意对个体差异的同学进行不同培养 本节课体现的基础知识主要有等腰三角形的性质和三种判定方法，利用直尺和圆规进行几何作图，角平分线的性质，平行线的性质。这些知识每一位同学都需要掌握，每一个知识点都需要落实。所以我采取教师提出问题，学生独立思考，动手操作，给出解答的方法，以保证每位同学学习必要的数学。 同时在构造图形的过程中，充分体现观察、实验、猜想、论证的研究几何图形问题的全过程。在能力培养上强调了学生动手操作能力、逻辑推理能力和创造性思维能力。运用类比研究问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。在课堂小结部分，由学生从知识点和学习方法上谈自己本节课的收获，培养学生归纳问题、提升问题的能力。在研究的观念上注重运动的观点，这些对部分同学是有难度