工程经济第二章资金时间价值

工程经济学主讲人 孟戈 第二章现金流量与资金时间价值 学习要点 现金流量 资金时间价值概念单利 复利如何计息 将来值 现值 年值的概念及计算 名义利率和有效利率的关系 计算年有效利率 利用利息公式进行等值计算 一 基本概念 1 资金的时间价值 指初始货币在生产与流通中与劳动相结合 即作为资本或资金参与再生产和流通 随着时间的推移会得到货币增值 增值的原因是由于货币的投资和再投资 投资就是为了在未来获得更大的回收而对目前的资金进行某种安排 未来的回收应当超过现在的投资 即预期的价值增长才能刺激人们从事投资 资金一旦用于投资 就不能消费 从消费者角度看 资金的时间价值体现为放弃现期消费的损失所得到的必要补偿 资金时间价值的表现形式 在市场经济的条件下 资金增值有两种主要方式 一种是将现有资金存入银行 可以取得利息 一种是将现有资金用于生产建设 可以取得利润 资金增值示意图 资金时间价值在经济计算中的作用 考察一笔资金的价值时 考虑资金时间价值 静态的计算方法 NO YES 动态的计算方法 数量 时间 通常用货币单位来计量工程技术方案的得失 我们在经济分析时就主要着眼于方案在整个寿命期内的货币收入和支出的情况 这种货币的收入和支出称之为现金流量 CashFlow 2 现金流量图 cashflowdiagram 描述现金流量作为时间函数的图形 它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况 是资金时间价值计算中常用的工具 大小 流向 时间点 现金流量图的三大要素 300 400 时间 200 200 200 1234 现金流入 现金流出 0 说明 1 水平线是时间标度 时间的推移是自左向右 每一格代表一个时间单位 年 月 日 2 箭头表示现金流动的方向 向上 现金的流入 向下 现金的流出 3 现金流量图与立足点有关 注意 1 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初 2 立足点不同 画法刚好相反 3 净现金流量 现金流入 现金流出4 现金流量只计算现金收支 包括现钞 转帐支票等凭证 不计算项目内部的现金转移 如折旧等 考虑了货币时间价值的经济分析方法 货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有关 而且与发生的时间有关 由于货币的时间价值的存在 使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较 这就使方案的经济评价变得比较复杂了 经济效果评价的几类问题 1 投资时间不同的方案评价 例如 是早投资还是晚投资 是集中投资还是分期投资 2 投产时间不同的方案评价 例如 是早投产还是晚投产 是分期投产还是一次投产 3 使用寿命不同的方案评价 4 各年经营费用不同的方案评价 如有的方案前期经营费用大 后期小 有的方案前期费用小 后期费用大 问题 如何消除方案时间上的不可比 例如 有一个总公司面临两个投资方案A B 寿命期都是4年 初始投资也相同 均为10000元 实现利润的总数也相同 但每年数字不同 具体数据见表1一1 如果其他条件都相同 我们应该选用那个方案呢 表1一1 另有两个方案C和D 其他条件相同 仅现金流量不同 300030003000 方案D 300030003000 6000 123456 方案C 0 123456 0 30003000 01234 400 01234 方案F 方案E 200200200 100 200200 300 300 400 从现金流量的绝对数看 方案E比方案F好 但从货币的时间价值看 方案F似乎有它的好处 3 利息 在借贷过程中 债务人支付给债权人的超过原借款本金的部分就是利息 用 I 表示 在工程经济学中 利息是指占用资金所付的代价或者是放弃近期消费所得的补偿 4 利率 在单位时间内所得利息与借款本金之比 用 i 表示 计息周期通常用年 月 日表示 也可用半年 季度来计算 用 n 表示 利率高低的影响因素 1 社会平均利润率 利润率高于利率借款人才可能借款 2 金融市场上借贷资本的供求状况 3 银行所承担的贷款风险 4 通货膨胀率 资金贬值可能会使实际利率无形中成为负值 5 借出资本的期限长短 二 利息公式 一 利息的种类 设 I 利息P 本金n 计息期数i 利率F 本利和 单利 复利 1 单利 每期均按原始本金计息 利不生利 则有 例题1 假如以年利率6 借入资金1000元 共借4年 其偿还的情况如下表 年 年初欠款 年末应付利息 年末欠款 年末偿还 1 1000 1000 0 06 60 1060 0 2 1060 1000 0 06 60 1120 0 3 1120 1000 0 06 60 1180 0 4 1180 1000 0 06 60 1240 1240 2复利 利滚利 公式的推导如下 P 1 i 2 P 1 i n 1 P 1 i n 1 P P i P 1 i 2 P 1 i P 1 i i n 1 P 1 i n 2 P 1 i n 2 i n P 1 i n 1 P 1 i n 1 i 例题2 假如以年利率6 借入资金1000元 共借4年 其偿还的情况如下表 年 1000 1000 0 06 60 1060 0 1060 1060 0 06 63 60 1123 60 0 1123 60 1191 02 0 1191 02 1262 48 1262 48 1123 60 0 06 67 42 1191 02 0 06 71 46 复习思考题 1 什么叫资金的时间价值 2 画现金流量图时要注意哪些问题 3 单利计算与复利计息的根本区别是什么 二 复利计息利息公式以后采用的符号如下i 利率 n 计息期数 P 现在值 即相对于将来值的任何较早时间的价值 F 将来值 即相对于现在值的任何以后时间的价值 A n次等额支付系列中的一次支付 在各计息期末实现 G 等差额 或梯度 含义是当各期的支出或收入是均匀递增或均匀递减时 相临两期资金支出或收入的差额 1 一次支付复利公式 1 i n 一次支付复利系数 F P 1 i n P F P i n 例如在第一年年初 以年利率6 投资1000元 则到第四年年末可得之本利和F P 1 i n 1000 1 6 4 1262 50元 例 某投资者购买了1000元的债券 限期3年 年利率10 到期一次还本付息 按照复利计算法 则3年后该投资者可获得的利息是多少 I P 1 i n 1 1000 1 10 3 1 331元 解 2 一次支付现值公式 例如年利率为6 如在第四年年末得到的本利和为1262 5元 则第一年年初的投资为多少 3 等额支付系列复利公式 等额系列 年金 终值系数 F A A 1 i A 1 i 2 A 1 i n 1 1 以 1 i 乘 1 式 得F 1 i A 1 i A 1 i 2 A 1 i n 1 A 1 i n 2 2 1 得F 1 i F A 1 i n A 例如连续5年每年年末借款1000元 按年利率6 计算 第5年年末积累的借款为多少 解 4 等额支付系列积累基金公式 等额系列偿债基金系数 某公司5年后需一次性还一笔200万元的借款 存款利率为10 从第一年年末起企业每年等额存入银行多少偿债基金 解 A 200 A F 10 5 万元 200 0 1638万元 32 75万元 等额支付系列积累基金公式 5 等额支付系列资金恢复公式 等额系列资金回收系数 根据 某工程初期总投资为1000万元 利率为5 问在10年内要将总投资连本带息收回 每年净收益应为多少 解 A 1000 A P 5 10 1000 0 1295 129 5万元 等额支付系列资金恢复公式 6 等额支付系列资金恢复公式 某工程项目每年获净收益100万元 利率为10 项目可用每年获净收益在6年内回收初始投资 问初始投资为多少 解 P 100 P A 10 6 万元 100 4 3553万元 435 53万元 例4 拟建立一项永久性的奖学金 每年计划颁发10000元 若年利率为10 现在应投入多少钱 当时 所以上式可变为 元 无限年的公式 n 7 等差 均匀梯度 系列公式 一般规定 P发生在第一年年初 F发生在第n年年末 而G发生在每一年的年末 需要注意的是 这个等差系列是从0开始的 第n年的现金流量为 n 1 G 1 等差系列终值公式 已知G求F 由图可知 该等差序列的终值可以看作是若干不同年数而同时到期的资金总额 则第n年年末的终值F可以用下式计算 等差系列典型现金流量图 称为等差系列终值因子 常以符号 F G i n 表示 2 等差系列现值公式 已知G求P 将一次支付终值公式 代入等差系列终值公式 消去F可得 称为等差系列现值因子 常以符号 P G i n 表示 无限年的公式 n 3 等差系列年值公式 已知G求A 即根据G求与之等价的年等值系列A 代入基金存储公式 将等差系列终值公式 经整理得 称为等差系列年值因子 常以符号 A G i n 表示 例 有一项水利工程 在最初10年内 效益逐年成等差增加 具体各年效益如下 已知i 7 试问 到第十年末的总效益为多少 假定效益发生在年末 这十年的效益现值 第一年年初 为多少 这些效益相当于每年均匀获益多少 解 本例的现金流量图如下 由等差支付系列计算公式的推导过程可知 如果要直接利用这些公式进行计算 就必须满足一定的前提条件 即 系列的第一个值必须为0 现值折算基准点为该系列的第1年 现金流量为0的那一年 的年初 在图中P 100的位置作水平线a 点划线 将等差系列分为两部分 上半部分依然是一个G 100的等差系列 且n 10年 下半部分成为一个等额系列 且A 100 n 10 两个系列的计算基准点均为图中的0点 于是 直接使用公式的条件就满足了 只要对两个系列分别进行计算 两部分之和就是原来的等差系列 a 十年后的效益终值为 十年的效益现值为 当然 也可以利用一次支付现值公式将终值直接折算为现值 相当于每年均匀获益为 等差递减系列的情况 图中递减等差系列 阴影ABC 可以看成是等额系列ABCD减去递增等差系列ACD后的剩余部分 而等额系列和递增等差系列均可用前面已推导得到的公式计算 于是就解决了递减等差系列的计算问题 需注意的是 这三个系列的现值折算基准点均为图中所示的0点 即P所在的位置 等比数列的等值计算公式 等值计算公式表 运用利息公式应注意的问题 1 为了实施方案的初始投资 假定发生在方案的寿命期初 2 方案实施过程中的经常性支出 假定发生在计息期 年 末 3 本年的年末即是下一年的年初 4 P是在当前年度开始时发生 5 F是在当前以后的第n年年末发生 6 A是在考察期间各年年末发生 当问题包括P和A时 系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生 当问题包括F和A时 系列的最后一个A是和F同时发生 7 均匀梯度系列中 第一个G发生在系列的第二年年末 倒数关系 P Fi n 1 F Pi n P Ai n 1 A Pi n F Ai n 1 A Fi n 乘积关系 F Pi n P Ai n F Ai n F Ai n A Pi n F Pi n A Fi n i A Pi n 运用利息公式要注意的问题 例 写出下图的复利现值和复利终值 若年利率为i 解 例 有如下图示现金流量 解法正确的有 答案 AC A F A P A i 6 F P i 8 B F A P A i 5 F P i 7 C F A F A i 6 F P i 2 D F A F A i 5 F P i 2 E F A F A i 6 F P i 1 例 下列关于时间价值系数的关系式 表达正确的有 A F A i n P A i n F P i n B F P i n F P i n1 F P i n2 其中n1 n2 nC P F i n P F i n1 P F i n2 其中n1 n2 nD P A i n P F i n A F i n E 1 F A i n F A i 1 n 答案 AB 例 若i1 2i2 n1 n2 2 则当P相同时有 A F P i1 n1 F P i2 n2 C F P i1 n1 F P i2 n2 D无法确定两者的关系 答案 A 借款还本付息的例子 例 某人现在借款1000元 在5年内以年利率6 还清全部本金和利息 有如表2 1中的四种偿还方案 三 名义利率和有效利率 名义利率和有效利率的概念 当利率的时间单位与计息期不一致时 有效利率 资金在计息期发生的实际利率 例如 每半年计息一次 每半年计息期的利率为3 则3 半年 有效利率 如上例为3 2 6 年 名义利率 1 离散式复利 按期 年 季 月和日 计息的方法 如果名义利率为r 一年中计息n次 每次计息的利率为r n 根据一次支付复利系数公式 年末本利和为 F P 1 r n n一年末的利息为 P 1 r n n P按定义 利息与本金之比为利率 则年有效利率i为 例 某厂拟向两个银行贷款以扩大生产 甲银行年利率为16 计息每年一次 乙银行年利率为15 但每月计息一次 试比较哪家银行贷款条件优惠些 解 因为i乙 i甲 所以甲银行贷款条件优惠些 例 现投资1000元 时间为10年 年利率为8 每季度计息一次 求10年末的将来值 每季度的有效利率为8 4 2 用年实际利率求解 年有效利率i为 i 1 2 4 1 8 2432 F 1000 F P 8 2432 10 2208 元 用季度利率求解 F 1000 F P 2 40 1000 2 2080 2208 元 解 例 某企业向银行借款1000元 年利率为4 如按季度计息 则第3年应偿还本利和累计为 元 A 1125B 1120C 1127D 1172 F 1000 F P 1 4 3 1000 F P 1 12 1127元 答案 C 解 例 已知某项目的计息期为月 月利率为8 则项目的名义利率为 A 8 B 8 C 9 6 D 9 6 解 所以r 12 8 96 9 6 例 假如有人目前借入2000元 在今后2年中每月等额偿还 每次偿还99 80元 复利按月计算 试求月有效利率 名义利率和年有效利率 解 99 80 2000 A P i 24 A P i 24 99 8 2000 0 0499查表 上列数值相当于i 1 5 月有效利率则名义利率r 1 5 12 18 年有效利率i 1 1 5 12 1 19 56 2 连续式复利 按瞬时计息的方式 在这种情况下 复利可以在一年中按无限多次计算 年有效利率为 式中 e自然对数的底 其数值为2 71828 下表给出了名义利率为12 分别按不同计息期计算的实际利率 名义利率的实质 当计息期小于一年的利率化为年利率时 忽略了时间因素 没有计算利息的利息 四 等值的计算 一 等值的概念 在某项经济活动中 如果两个方案的经济效果相同 就称这两个方案是等值的 例如 在年利率6 情况下 现在的300元等值于8年末的300 1 0 06 8 478 20元 这两个等值的现金流量如下图所示 同一利率下不同时间的货币等值 货币等值是考虑了货币的时间价值 即使金额相等 由于发生的时间不同 其价值并不一定相等 反之 不同时间上发生的金额不等 其货币的价值却可能相等 货币的等值包括三个因素 金额 金额发生的时间 利率 在经济活动中 等值是一个非常重要的概念 在方案评价 比较中广泛应用 小结 在工程经济分析中 利用资金等值的概念 可以将发生在不同时期的金额 换算成同一时期的金额 然后再进行评价 在资金等值计算中 把将来某一时点的现金流量换算成现在时点的等值现金流量称为 贴现 或 折现 通常把将来时点的现金流量经贴现后的现金流量称为 现值 而把与现值等价的将来时点的现金流量称为 终值 期值 或 将来值 从利息表上查到 当n 9 1 750落在6 和7 之间 6 的表上查到1 6897 的表上查到1 839 从 用直线内插法可得 二 计息期为一年的等值计算 相同 有效利率 名义利率 直接计算 例 当利率为多大时 现在的300元等值于第9年年末的525元 解 F P F P i n 525 300 F P i 9 F P i 9 525 300 1 750 计算表明 当利率为6 41 时 现在的300元等值于第9年年末的525元 例 当利率为8 时 从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值 A F A F 8 6 10000 0 1363 1363元 年计算表明 当利率为8 时 从现在起连续6年1363元的年末等额支付与第6年年末的10000等值 解 例 当利率为10 时 从现在起连续5年的年末等额支付为600元 问与其等值的第0年末的现值为多大 解 P A P A 10 5 2774 50元计算表明 当利率为10 时 从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274 50元是等值的 三 计息期短于一年的等值计算如计息期短于一年 仍可利用以上的利息公式进行计算 这种计算通常可以出现下列三种情况 1 计息期和支付期相同例 年利率为12 每半年计息一次 从现在起 连续3年 每半年为100元的等额支付 问与其等值的第0年末的现值为多大 解 每计息期的利率 每半年一期 n 3年 每年2期 6期P A P A 6 6 100 4 9173 491 73元计算表明 按年利率12 每半年计息一次计算利息 从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491 73元的现值是等值的 2 计息期短于支付期例 按年利率为12 每季度计息一次计算利息 从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元 问与其等值的第3年年末的借款金额为多大 解 其现金流量如下图 第一种方法 取一个循环周期 使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列 其现金流量见下图 将年度支付转化为计息期末支付 单位 元 A F A F 3 4 1000 0 2390 239元 239 F 季度 0123456789101112 经转变后计息期与支付期重合 单位 元 F A F A 3 12 239 14 192 3392元 第二种方法 把等额支付的每一个支付看作为一次支付 求出每个支付的将来值 然后把将来值加起来 这个和就是等额支付的实际结果 F 1000 F P 3 8 1000 F P 3 4 1000 3392元 F A F A 12 55 3 1000 3 3923 3392元 第三种方法 将名义利率转化为年有效利率 以一年为基础进行计算 年有效利率是 通过三种方法计算表明 按年利率12 每季度计息一次 从现在起连续三年的1000元等额年末借款与第三年年末的3392元等值 计算期内按单利计息 例2 14 付款情况如图2 13所示 年利率为8 半年计息一次 计息期内的收付款利息按单利计算 问年末金额是多少 解 计息期实际利率i 8 2 4 A1 100 1 5 6 4 150 1 3 6 4 50 1 2 6 4 200 507A2 70 1 4 6 4 180 1 3 6 4 80 1 1 6 4 336F 507 1 4 336 863 28 计期周期大于收付周期的计算 3 复利计息在计息周期内的收付按复利计算 此时 计息期利率相当干 实际利率 收付周期利率相当于 计息期利率 收付周期利率的计算正好与已知名义利率去求解实际利率的情况相反 收付周期利率计算出来后即可按普通复利公式进行计算 计期周期大于收付周期 周期内复利计息 的计算 例2 15 某人每月存款100元 期限一年 年利率8 每季计息一次 复利计息 计息期内收付利息按复利计算 问年末他的存款金额有多少 解 据题意绘制现金流量如图2 14所示 例 求每半年向银行借1400元 连续借10年的等额支付系列的等值将来值 利息分别按 1 年利率为12 年内不计息 2 年利率为12 每半年计息一次 3 年利率12 每季度计息一次 这三种情况计息 解 1 计息期长于支付期 F 1400 2 F A 12 10 49136 元 2 计息期等于支付期 F 1400 F A 12 2 10 2 51500 元 3 计息期短于支付期 F 1400 A F 3 2 F A 3 4 10 52000 元 例4 假定现金流量是 第6年年末支付300元 第9 10 11 12年末各支付60元 第13年年末支付210元 第15 16 17年年末各获得80元 按年利率5 计息 与此等值的现金流量的现值P为多少 解 P 300 P F 5 6 60 P A 5 4 P F 5 8 210 P F 5 13 80 P A 5 3 P F 5 14 300 0 7162 60 3 5456 0 6768 210 0 5303 80 2 7232 0 5051 369 16也可用其他公式求得P 300 P F 5 6 60 F A 5 4 P F 5 12 210 P F 5 13 80 F A 5 3 P F 5 17 300 0 7462 60 4 3101 0 5568 210 0 5303 80 3 153 0 4363 369 16 例 某项工程第一年投资1000万元 l年后又投资1500万元 2年后再投入2000万元 第3年建成投产 投资