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第2章行列式 行列式是线性代数的一个重要组成部分 它是研究矩阵 线性方程组 特征多项式的重要工具 本章介绍了n阶行列式的定义 性质及计算方法 最后给出了它的一个简单应用 克莱姆法则 第一节行列式的定义 用消元法解二元线性方程组 一 二阶行列式的引入 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 主对角线上的乘积 副对角线上的乘积 则二元线性方程组的解为 注意分母都为原方程组的系数行列式 我们想当然的会考虑 通过行列式把n元线性方程组的解表示出来 二 n阶行列式的定义 叫做元素的代数余子式 例如 定义1 定义2 则有 注 因上式中使用了行列式的第一行元素 故上式也称为D依第一行的展开式 例1计算下列行列式 解 这是一个n阶行列式 按第一行展开得 定理2 1行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 三 行列式按行 列 展开法则 注 若行列式中某一行 列 只有一个非零元素 则该行列式等于该元素乘以它的代数余子式 例2 计算下列行列式 提示 按第一行展开即可 例3 下三角行列式 重要结论 上 下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积 定理2 2行列式与它的转置行列式相等 行列式称为行列式的转置行列式 记 四 转置行列式 行列式的行与列地位平等 因而后面对行成立的性质 对列也成立 例4计算行列式 解 方法一 按第一行展开 得 方法二 按第二行展开 得 定理2 3 a 若行列式有一行或一列包含的元素全
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