微积分在大学物理中的应用探究

第 15 卷第 2 期 2010 Vol 15 No 2 2010 微积分在大学物理中的应用探究 梁小佳 兰州资源环境职业技术学院 物理系 甘肃兰州730021 摘要 在大学物理的学习中 用微积分的方法分析解决物理学有关问题 已经成为学习大学物理的基本方 法 微积分是用一种运动的思想考虑问题 分析问题的数学方法 在大学物理中有着广泛而重要的应用 本文通 过分析微积分在普通物理学中的应用 使学生尽快理解微积分思想 熟练运用微积分的方法分析物理问题 关键词 微积分 大学物理 应用 中图分类号 G642 421文献标识码 A文章编号 1008 9020 2010 02 078 03 收稿日期 2009 11 06 作者简介 梁小佳 1968 女 辽宁瓦房店人 讲师 研究方向 物理 大学物理中微积分有着广泛而重要的应用 用微积分求 解物理有关问题 是大学物理教学的重点和难点 不易理解 和掌握 大学物理中无论是质点力学 刚体的定轴转动 热力 学基础 还是静电场 稳恒磁场都要用微积分来解决问题 由 于学生在中学阶段主要应用代数运算来分析简单的物理问 题 进入大学阶段后 在大学物理的学习中如何使学生从代 数运算解决物理问题转变到用微积分方法解决复杂的物理 问题显得尤为重要 1 微积分在大学物理中重要性 1 1 微积分的方法是一种辨证的思想方法 它包含了有 限与无限的对立统一 近似与精确的对立统一 它把复杂的物 理问题进行时间 空间上的有限次分割 在有限小的范围内 进行近似处理 然后让分割无限的进行下去 局部范围无限 变小 那么近似处理也就越来越精确 这样在理论上得到精 确的结果 1 微分就是在理论分析时 把分割过程无限进行下 去 局部范围便无限小下去 积分就是把无限小个微分元求 和 这就是微积分的方法 物理学就是要抓住主要方面而忽略 次要方面 从而使得复杂问题简单化 因此在大学物理中应 用微积分的方法 能够把看似复杂的问题近似成简单 基本 可研究的问题 1 2 物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规 律为基础的 例如质点运动学是从匀速 匀变速直线运动开 始 带电体产生的电场是以点电荷为基础 对于实际中的复 杂问题 则可以化整为零 把它分割成在较小时间 空间等范 围内的相应局部问题 只要局部范围被分割到足够小 小到 这些局部问题可近似处理为简单 基本 可研究的问题 把局 部范围内的结果累积起来 就可以得到问题的结果 2 微积分在质点力学中的应用 2 1 用微积分的方法解决速度和加速度的问题 当质点沿任一曲线轨道运动时 质点在不同时刻速度的 大小和方向是不同的 如图 1 设 t 时刻质点在 A 处 经过 t 运动到点 B 在此时间内 从 A 到 B 的位移是 x 我们知道 质点的位移 x与完成这段位移所需的时间的比值即是这段 时间内的平均速度 可以令 t 趋近于零 把 t 0 的平均速 度的极限值称为质点在 t 时刻的瞬时速度 也称速度 表示为 v lim t 0 r t rd dt 再如在研究匀变速直线运动时 速度均匀变化 如图 2 中描 写速度变化快慢的物理量加速度就可以将 t 0 的平均加 速度的极限值称为质点在 t 时刻的瞬时加速度 也称加速度 表示为 a lim t 0 v t vd dt 由此看出 通过运用数学中导数的概念 也就是通过求平均 变化率的极限来得到速度和加速度的瞬时值 不仅使学生恍 然大悟 把导数概念应用于物理学当中 同时也学到了一种 研究物理问题的新方法 2 2 用微积分的方法解决变力做功的问题 力学 热力学基础中经常会有求变力作功的问题 质点在 恒力F 軋作用下 沿直线产生位移 r 軆过程中的功 A F軋 r 軆 但对 一般情况 质点沿曲线从 a 运动到 b 且质点运动过程中 作 用于质点上力的大小 方向都可能不断改变 要计算F 軋力对质 点所做的功 可将轨道曲线分成许多微分线段 称为位移元 78 第 15 卷第 2 期 2010 Vol 15 No 2 2010 dr 軆 计算出F 軋在每一位移元上所做的元功 再对整个路径上所 有元功求和 由于 dr 軆极小 所以每一位移元都可看成直线段 而质点所受力皆可视为恒力 这样质点所做的元功为 dA F 軋 dr 軆 变力所做的功就是全部元功的和 写成积分的形式就是 A b a 乙F 軋 dr 軆 因此通过微积分的方法可以把物理问题中变化的量转化为 不变的量 先求微元再求和的方法 从而求出变力在整个物 理过程中做的总功 使看似复杂的问题简单化 3 微积分在刚体转动问题中的应用 在应用微积分方法解物理问题时 微元的选取非常关 键 选的恰当有利于问题的分析和计算 其一要保证在所选 取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型 以便于分析 物理问题 其二要尽量把微分元选取的大 这样可使积分运 算更加简单 因为微分和积分互为逆运算 微分微的越细 越 精确 但积分越繁琐 计算工作量较大 所以还要在微分和积 分这对矛盾之间协调处理 例 1如图 1 所示 计算半径为 R 质量为 M 密度均匀 圆盘绕过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量 2 我们用微分的方法来求解 如图 1 所示 把圆盘分成许多 无限薄的圆环 圆盘的密度为 圆盘的厚度为 h 则半径为 r 宽为 dr 的薄圆环的质量为 dm 2 rhdr 薄圆环对轴的转动惯量为 dI r2dm 2 hr3dr 然后沿半径积分得 I R 0 乙2 hr 3dr 2 h R 0 乙 3dr 1 2 hR4 其中 h R2为圆盘体积 hR2为圆盘质量 m 故圆盘转动惯 量为 I 1 2 mR2 例 2计算半径为 R 质量为 M的均匀球体绕任意直径 转动的转动惯量 方法一 任选一体积元 dV dxdydz 则该体积元可近似为 一质点 它到 z轴的距离为 r 绕 z轴的转动惯量为 dI r2dm r2 dV x2 y2 dxdydz 所有微分元对 z轴的转动惯量 dI 的和即积分值 I 蓓 x2 y2 dxdydz R R 乙dz R 2 z2 姨 R 2 z2 姨 乙 dy R 2 z2 y2 姨 R 2 z2 y2 姨 乙 x 2 y2 dx 2 5 MR 2 就是要求的转动惯量 如图 4 方法二 如图 5 可以把任意选取的半径为 r 厚度为 dr 的薄球壳近似成球壳 球壳是没有厚度的 薄球壳是有厚度 的 尽管它的厚度趋于零 则它绕 z轴的转动惯量为 dI 2 3 r2dm 2 3 r2 4 r2dr 最后积分得转动惯量 I R R 乙 2 3 r2 4 r2dr 2 5 MR2 方法三 如图 6 可以把任意选取的半径为 r 高度为 dz 的薄圆台近似成薄圆盘 则它绕 z轴的转动惯量为 dI 2 3 r2dm 2 3 r2 4 r2dr 最后积分得转动惯量 I R R 乙 1 2 R2 z2 dz 2 5 MR2 从上面例子可以看出 微元的选取不唯一 在每一种微 元里近似的物理模型是不同的 重积分远比一元积分麻烦 所 以在分析物理问题时 应充分利用对称性 选取适当的一元 微元 使积分运算简单 不管选取怎样的微元 结果是相同 的 都是问题的精确解 由此看出 用微积分解题的神奇之处 由于微元无限趋近于零 使得有限范围内的近似到无限小范 围内的精确 从而完成了问题的精确求解 4 用微积分解决电磁学的问题 物理学中有许许多多物理量 每个物理量都是为了定量 R m r 軆 dr 軆 图 3 x z y R r 图 4 图 5图 6 梁小佳 微积分在大学物理中的应用探究 79 第 15 卷第 2 期 2010 Vol 15 No 2 2010 描述某种物理现象和规律引 入的 因此每个物理量都有明 确的物理意义 物理学中物理 量的同一种微分形式表示的 物理意义是有差别的 注意区 分这些物理量的物理意义 特 别是有几种物理意义的 更需 要注意区别 一般来讲 某个 物理量的微分形式是和微小 时间段 dt 或微小过程相关的 它表示的是一个微小变化量 或微小过程量 若其微分形式 是在某一时刻和其他微小量相关的 则表示一个微小量 例 3如图 7 所示 一无限长载流直导线电流 i I0sin t 一单匝矩形线圈与之共面 求线圈中的感应电动势 问题中电流随时间变化 电流的磁场也随时间变化 线 圈虽然不动 但它所在处的磁场随时间变化 因此线圈中有 感应电动势 先给出通过线圈所围面积的磁通量 再根据法 拉第电磁感应定律求出线圈中感应电动势 设在某时刻 长直导线电流产生的磁场 B 0I 2 x 由于磁场为变化的 所以需要用微积分的方法来分析计算 做 一个微小面元 ds 则在该面元上的磁场可以近似为匀强磁 场 通过面元 ds 的磁通量为 d覬m Bds 0Il 2 1 线圈所围面积的磁通量 覬m 0Il 2 a b a 乙 dx x 0Il 2 In a b a 根据法拉第电磁感应定律 回路中感应电动势为 d覬m dt 0Il 2 In a b a dI dt 0l 2 In a b a I0 cos t 2 其中 1 和 2 式中的 d覬m物理含义不同 1 式中的 d覬m表示 微元面上的磁通量 2 式中的表示微小时间段内的磁通量变 化 不能混淆 由此可见 微分符号 d 不能只从数学角度理解 成无穷小 更重要的是从物理角度理解其含义 这样才能从 物理概念 物理实质上掌握物理规律 因此 要知道什么样的问题要用微积分的方法来分析 就需要明确为什么要用微积分的方法来分析 知道去分析问 题的主要方面 也就是知道在微元内要近似成什么 掌握选 取微元的两条基本原则 也就是要知道应该选取适当的微 元 更重要的是正确理解物理量微分形式的物理意义 才能 从物理学的角度理解物理规律 形成物理观念 由此可见 微积分在大学物理中的应用不仅是数学工具 的应用 还是一种思维方法的应用 通过实际教学使学生学会 把实际中复杂的的物理问题化整为零 把它分割成较小时间 或空间内的局部问题 然后再积零为整 把局部问题累积起 来 经过微积分在大学物理中不同问题中的应用 最后学生可 以较熟练的掌握并运用微积分的思想方法去解决一些中学 阶段解决不了的物理问题 使学生对物理课的学习增加了信 心 提高了兴趣 收到了较好的教学效果 参考文献 1 黎定国 大学物理中微积分的思想方法浅谈 J 大学物 理 2005 24 12 52 54 2 赵建彬 物理学 M 北京 机械出版社 2006 3 周圣源 高工专物理学 M 北京 高等教育出版社 1996 责任编辑 郭有婧 Discussion on Calculus Application in the University Physics LIANG Xiao jia Lanzhou Resources and Environmental Voc tech College Lanzhou Gansu730021 Abstract the calculus thought and method in the university physics teaching is based on teaching experience The calculus is a maths method of thought and analysis problem in moving thought wide application of the university ph