建模1-4几项智力游戏

大禹治水的时代诞生了河图洛书 右图所示的就是洛书中的算图 用现代数学语言来演绎 它表示的是三阶幻方 1 4几项智力游戏 三阶幻方俗称九宫格 就是在平面上画好的表格 再把1 9这九个数字分别填写在这九个方格内 要求每行的三个数字之和 每列的三个数字之和以及每条对角线上三个数字之和都相等 当幻方的阶数高于3阶时 问题会变得复杂起来 1 4 1幻方 从已经填好的右表来看 1 2 3这三个较小的数分别填在了既不同行又不同列的位置上 9 8 7这三个较大的数也分别填在了既不同行又不同列的位置 这应该是起码的游戏常识 把最小的数字 1 填在第一行中间的方格内是可以理解的 次小的数字 2 和以后的数字都应该填在哪里呢 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 如果刚刚填完的数字既不在表格的第一行 也不在最后一列 则下一个数字填写在这个数字的右上角 2 如果刚刚填完的数字正好在表格的第一行 但是不在最后一列 则下一个数字填写在表格的最下边一行右边的一列 3 应该填写的位置如果已经有了数字 则填写在下一行相同的位置 上述方法不但适用于三阶幻方 也适用于五阶 七阶的幻方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 表中每一行 每一列五个数字的和都是65 两条对角线上五个数字的和也是65 按照以上的填写方法 任何奇数阶的幻方都不难完成 但需要指出的是 这种方法用于偶数阶的幻方的时候 会出现一定的问题 首先遇到的问题是 1 应该填在那里 这两个表都是已经填好的四阶幻方 偶数阶的幻方可以采取一分为四的预填写办法 预填写之后对调少数数字进行调整 这一般来说是可行的 一 走马分油 1 4 2韩信故事两则 韩信骑在马上说 葫芦归罐罐归篓 二人分油回家走 说完了 打马远去 两个人按照韩信的办法倒来倒去 果然把油分成每人5斤 各自回家 1 4几项智力游戏 两人在路边分油 有一只容量10斤的篓 里面装满了油 还有一只7斤的空罐和3斤空葫芦 两人想要把这10斤油平分成每人5斤 二人到底是怎样把油分开的呢 葫芦可以量出3斤 关键在于如何量出另外的2斤油来 这其实可以是一个用加减号连接10 7 3构造算式的问题 运算过程的中间的数不能超过10 而最终得数是5 这里 出现2是关键性的企盼 这道算术题的答案是 把这个算式变成实际操作见下表 表中各列代表着每个步骤三种容器盛油量 分油的过程还可以用下图来演示 图中从左向右的几个箭头指明了利用3斤的葫芦一再从篓中盛油到罐中 当7斤的罐装满之后 在右侧斜线所表示的葫芦中余下2斤油 至此 分出5斤油就容易做到了 012345678910 01234567 1 2 3 2斤 二 韩信点兵 韩信在此只是就小数字的情形来说明自己的点兵之法 这28个字的实际含义是 三人同行七十稀 五束梅花廿一支 七子团圆整半月 除百零五便得之 先命令士兵站成三列 将最后一排的人数乘以70 再重新站成五列 将最后一排的人数乘以21 然后改站成七列 将最后一排的人数乘以15 把这三个乘积加起来 去掉105的整数倍 得到的就是士兵人数 为了说明韩信点兵的数学原理 可以用 表示士兵总人数 设 注意到 一定是一个整数 便知 三人同行七十稀 五束梅花廿一支 七子团圆整半月 除百零五便得之 1 4 3华容道 游戏借喻于三国故事华容道上蜀将关羽义释战败的曹操 游戏的基本要求是充分利用剩余的空间 合理滑动这些棋子 使得大正方形 曹操 率先从下面的缺口处移出 曹操 赵云 关羽 张飞 黄忠 马超 兵 兵 兵 兵 我们注意到 图中的剩余空间可容纳两个兵 而两个兵的面积等于任何一个矩形的面积 曹操又刚好等于矩形面积的2倍 游戏的基本要领是适当运动这四个兵 为其它棋子创造移动空间 游戏者要利用尽可能少的行棋步数 想方设法从缺口处放走曹操 一 二 13 27 三 四 42 61 五 六 67 94 返回 行棋过程请注意以下要领 1 为了便于运行其它的兵将 曹操的下行路径应该是沿着左侧或右侧而不是中央 因而首先要让曹操离开中央位置 2 关羽同其它四个矩形擦肩而过的时候 上下各需要两枚兵填充位置 3 既然 华容道 借喻的是三国故事 最终当然应该是关羽率兵放走了曹操 用华容道的这十枚棋子还可以构造不同的游戏 其规则与此相同 为区别这三种不同的构图 上图称为 横刀立马 这两图分别称为 过五关 和 水泄不通 完成上述过程需要行棋近百步 已知的最好成绩约80步 横刀立马 水泄不通 1 4 4棋盘麦粒梵塔九连环 国王打算奖赏国际象棋的发明人西塔 问他想要什么 印度有一个古老的传说 舍罕王厌倦了皇宫单调的生活 一些大臣千方百计地寻找种种新奇的玩艺儿帮他解闷 西塔献上一种新发明的玩具 他用木头雕刻出王 后 车 马 相 兵共三十二个棋子 一半被染成黑色 画出的64个小方格 在不相邻的一半方格内图上黑色 梵塔说 陛下 请您在这张棋盘的第1个小格里 赏给我1粒麦子 在第2个小格里给2粒 第3小格给4粒 以后每一小格都比前一小格加一倍 直至摆完64个格子 国王觉得微不足道 告诉侍者计算一下粒数 下午就请西塔拿着口袋来装麦子 可是 下午西塔并没有领奖赏他的麦子 因为宫廷总管还没有算出来 直到三天后 总管告诉国王说 西塔要的麦子太多 把全国所有的麦子都给他也不够 西塔要求得到的麦粒到底有多少呢 人们估计 全世界两千年也难以生产这么多麦子 在印度北部的圣庙里 一块黄铜板上插着三根宝石针 印度教的主神梵天在创造世界的时候 于其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片 这就是所谓梵塔 不论白天黑夜 总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片 一次只移动一片 不管在哪根针上 小片必须在大片上面 把64片金片 由一根针上移到另一根针上 并且始终保持上小下大的顺序 这一共需要移动多少次金片呢 移动第1片只需1次 第2片则需2次 第3片需4次 第64片需移动金片共有2的63次方次之多 假如每秒钟移动一次 共需要多长时间呢 一年大约有31556926秒 计算表明 移完这些金片需要五千八百多亿年 不管把哪一片金箔移到另一根针上 移动的次数都要比移动上面一片的次数增加一倍 借助于计算机计算出了结果 全部次数为18446744073709551615次 这和 麦粒问题 的计算结果是完全相同的 九连环 想要摘下右数第一个圈儿和第二个圈儿是容易做到的的 只要抽动手柄 金属圈儿就可以从手柄的中间落下来 游戏的目标是将所有的金属圈儿从手柄上摘下来 但是要想摘下第三个圈儿的话 却需要卸掉第一个圈儿而保留第二个圈儿 要想摘下第四个圈儿的话 需要卸掉第一个和第二个圈儿而保留第三个圈儿 要想摘下第九个圈儿的话 需要卸掉第一个至第七个圈儿而保留第八个圈儿 九连环 想要摘下右数第一个圈儿和第二个圈儿是容易做到的的 只要抽动手柄 金属圈儿就可以从手柄的中间落下来 游戏的目标是将所有的金属圈儿从手柄上摘下来 但是要想摘下第三个圈儿的话 却需要卸掉第一个圈儿而保留第二个圈儿 要想摘下第四个圈儿的话 需要卸掉第一个和第二个圈儿而保留第三个圈儿 要想摘下第九个圈儿的话 需要卸掉第一个至第七个圈儿而保留第八个圈儿 如果将圈儿的个数增加到与金箔数相等的64个而做成 六十四连环 的话 完成操作所需要的时间必将会远远超过上面的五千八百亿年 1 4 5猴子过河 有三只母猴各带一只小猴子 准备利用一条小船渡河 试设计渡河方案 注意 1 每只猴子都会划船 但船上每次只能承载两只猴子 不论大猴还是小猴 2 每只小猴子在接触到其它母猴的时候必须有自己的母亲在场 否则将被伤害 将三个大猴分别记为A B C 对应的三个小猴子分别记为a b c A B C a b c 首先过河的可以是Aa Bb Cc同理 或ab bc ac同理 但最先渡河的不能是AB BC AC同理 总之 当船第一次回到北岸时 留在南岸的是a 第二次过河的只有一种可能 就是bc 其它方案都不可行 再由c将船送回北岸 第三次过河的只能是AB 其它方案都不可行 A B C c a b 现在的问题是 由谁将船送回北岸 北岸 南岸 只能由Aa 或Bb 送船 1 4 6猜帽子 某老师有三个非常聪明的学生 为考察其中那个学生最聪明 老师展示了三黑二白一共有五顶帽子 要求学生闭上眼睛后 给每位学生戴上一顶帽子 然后 让他们同时睁开眼睛 通过观察别人来断定自己头上帽子的颜色 结果 三个学生互相看了看 都稍稍犹豫一下 同时说自己戴的是黑色帽子 试说明理由 答案 事先 三个学生就都可以想到 老师不可能用上两个白帽子 否则 第三个学生可以毫不犹豫地断定自己头上戴的是黑帽子 这显然不公平 为此 只要看到一个同学戴的是白帽子的话 就可以说自己头上的帽子是黑色了 这一点 相信其他学生也清楚 但是 在睁开眼睛的一瞬间 每一位同学都注意到 另两个同学没有马上做出回答 这说明什么 充分证明了自己戴的必然不是白色帽子 其实已经断定所有人带的都是黑色帽子 有若干人在水龙头前排队打水 每人的水桶大小不同 请问应如何排队才能使总体