心电图形状分析的统计方法

华东师范大学 硕士学位论文 心电图形状分析的统计方法 姓名 李树良 申请学位级别 硕士 专业 概率论与数理统计 指导教师 周迎春 201105 中文摘要 摘要 在现代医学中 已经有很多种方法应用到了心电图的研究领域 他们大部分都是 提取一个人一段时间 如1 5 秒钟 的心跳情况进行分析 这其实是一个抽样过程 从 总体中抽出部分样本 但是 到目前为止 还很少有人从统计学的角度 用统计分析 方法对心电图的形状和特性进行研究 我们先采用传统的主成分分析方法对心电图进行分析 探索心电图的共性随时间 的变化特征 发现不同时间段内该病人的主要特征有共性 也有差异或者说变化 然 后介绍引起学术界越来越重视的函数型数据 介绍函数型主成分分析 对多元主成分 进行扩展 结合其在其它领域的良好效果 首次将其应用到心电图上 我们发现三个 波的变化特征极为相似 都体现为垂直方向上的移动 水平方向上的平移和斜率的变 化 各个波的主要变化形式也有量的差异 最后我们对已有函数型数据的非线性模型 进行细微的改动 把其应用从T 波推广到整个心跳的P 波 Q R S 复波和T 波三个波段 将其形状变化特征通过非线性模型分解为几个方向的变化 利用函数型数据能够抓住 数据的整体特征 进行降维 函数型数据良好的解释性 能够对心电图本身所隐含的 生理学信息进行解释 有助于解决Q T 的方法操作不方便 敏感性太强等局限性 关键词 心电图 主成分分析 函数型数据 函数型数据分析 英文摘要 A b s t r a c t M a n ym e t h o d sh a v eb e e nu s e di nt h ef i e l do fe l e c t r o c a r d i o g r a m E C G i nm o d e r n m e d i c i n e I nf a c t t h i si sas a m p l i n gp r o c e d u r e i e t a k e ss a m p l e sf r o mp o p u l a t i o n B u tS O f a r f e wp e o p l eh a v es t u d i e dt h es h a p ep r o p e r t i e sl l s i n gs t a t i s t i c a lm e t h o d ss o p h i s t i c a t e d l y F i r s t w ea n a l y z e dt h eE C Gu s m gp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s a n df o u n dc o m m o n f e a t u r e so ft h ev a r i a t i o n so ft h eE C G s W ef o u n dt h a tt h e r ea r es i m i l a r i t ya n dc h a r a c t e r s T h e nw ei n t r o d u c e dt h ef u n c t i o n a lp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i sa n de x t e n d e dt h ep r i n c i o p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s w h i c hr e c e i v e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nf r o mm a n yr e s e a r c h e r s a n dw eu s e di to nE C Gf o rt h ef i r s tt i m e W ef o u n dt h a tt h ev a r i a t i o no ft h ed 证e r e n t w a v e sa r es i m i l a r i e v e r t i c a la n dh o r i z o ns h i f t s F i n a l l y w em o d i f i e da ne x i s t i n gn o n l i n e a rm o d e lo ff u n c t i o n a ld a t aw h i c hh a v eb e e n u s e do nTw a v e a n de x t e n d e di tt oPw a v ea n dQ a Sc o m p l e xw a v et oc h a r a c t e r i z et h e s h a p eo fE C G s I ti sm u c he a s i e rt or e d u c et h ed i m e n s i o no ft h ed a t al l s i n gf u n c t i o n a l a n a l y t i c a lw h i c hg r e a t l yi m p r o v et h ec u r r e n t l yu s i n go fQ Tm e t h o d K e yW o r d s E C G P r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s F u n c t i o n a ld a t a N o n l i n e a rm o d e l X 李树良硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张日权教授华东师范大学主席 汤银才教授华东师范大学 吴贤毅教授华东师范大学 插图目录 插图目录 1 1 一个正常的心跳 1 2 一个病人1 0 秒钟的心电图 1 3 编号为s e l l l 6 的病人的样本矩阵的三维图 2 1 三段样本各自的前三个主成分 孓1 从多元主成分到函数型主成分 3 2 P 波 Q R s 复波和T 波各自的第一个主成分 3 3 P 波 Q R S 复波和T 波各自的第二个主成分 3 4 P 波 Q R S 复波和T 波各自的第三个主成分 4 1 P i 芰 垂2 Q R S 波 垂3 T 波 4 4 P 波参数散点图 凡 0 8 7 7 1 阳 一0 9 3 2 2 P 0 0 1 4 5 Q R s 波参数散点图 氏 0 6 7 9 3 触 一0 9 8 2 6 P 0 0 1 垂6 T 波参数散点图 p 曲 0 5 7 1 8 阳 一0 8 0 1 7 P 0 0 1 4 7 P 波和Q R S 复波参数h 散点图 垂8P 波和T 波参数h 散点图 4 9 Q R S 复波和T 波参数h 散点图 4 1 0P 波参数U 和h 的功率谱密度 4 1 1P 波参数d 和m 的功率谱密度 1 5 5 9 2 6 6 7 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 烈 表格目录 表格目录 2 1 贡献率I 9 3 1 贡献率I I 1 7 4 l 图垂1 垂2 垂3 对应P 波 Q R S 复波和T 波让 d m 和h 参数值 2 2 4 2 P 波 Q R S 波和T 波参数九的相关矩阵 p 0 0 1 2 4 4 3 P 波 Q R S 波和T 波参数U 的相关矩阵 p 1 时 g 6 o j 1 2 i 一1 3 V a r Z 里a x y 口r 善 x 磊6 l 白U 1 乒一1 假设 p 维随机向量x 的均值E X 0 协方差阵D X 0 则有如下定 理及相关性质 定理2 1 设X X 1 x 2 饰 为p 维随机向量 且D x E 的特征值 为A 1 A 2 20 6 已 岛为相应的单位正交特征向量 则x 的第i 个主成 分为 磊 x 0 1 2 P 性质2 1D Z 人 即p 个主成分的方差为 V a r Z 九0 1 2 p 且 它们是互不相关的 口p口 性质2 2 以t 丸 通常称 为原总体x 的总方差 i l 1i 1 该性质说明总体X 的方差和与主成分的方差和相同 故存在m m p 使 得E 九 即只需用前m 个主成分就可以提供总体的绝大部分信息 为了选 取f r t 的方便 我们引进累计贡献率的概念 以此作为确定仇的一个统计指标 定义2 2 我们称鲰 入 量沁为主成分磊的贡献率 又称G m 丕 衫墨k 为主成 分历 历 磊 T Y t 为含有n 个样品的样本集 五 X l l 勋2 I 一 为第2 个样I 口1 1 I 在P 个时间点t 1 t 2 p T a 6 上的样本观测值 把x 视为一个整体而非单个观测 值序列 称X 为原始函数数据 假设z z 为产生原始函数数据x 的对应函数 即有如下 模型 X 2 孟 e 3 1 其中e 代表原始函数数据中的扰动因素 噪音或误差 其中z 为拟合的函数曲线 用K 个基函数 B a s i sF u n c t i o n 妒1 也 讥的线性组合来表示函数z 亡 H p z t 一1 0 第三章函数型主成分分析 Q 七讥 亡 其中 讯表示基函数C k t 所占的权重 下标k 表示基函数以及它的权重 的顺序 常用的基函数为F o u r i e r S p l i n e 和G a u s s i a n 等 一般情况下当数据有一定的 周期性则用F o u r i e r 作为基函数 若没有明显的特征则用其它的函数作为基函数 在R a m s a y 和S i l v e r m a n 编著的 函数型数据分析 F u n c t i o n a lD a t aA n a l y s i s f 2 0 1 中 介绍了很多应用函数型主成分分析的例子 如由于年 月 日的温度具有明显的周 期性 所以他们采用F o u r i e r 函数作为基函数 利用函数型主成分方法分析了加拿大 的3 5 个站点1 2 个月的温度的变化特征 我们发现心电图的各个波和温度有类似的形状 特征 都是中间高 两端低 并有一定的对称性 所以我们这里用F o u r i e r 作为基函数 对原始数据进行拟合 我们采用如下方式来衡量拟合的程度 以此来选择最合适的基函数 其中l l x 一龟1 1 2 f z s 一 s 2 d s 窑 s 为z s 的拟合值 我们通过使 s s e 达到最小 来选择合适的基函数忍 z C i k C k t k l 3 2 函数型主成分的发展 随着对函数型数据研究的不断深入 理论的不断完善 应用范围的不断扩 大 以及应用效果的不断提高 近几年该方法引起了更加广泛的关注 很多学 者 比如B 玎1 瑚b a c k 和融c e 5 证明了混合效应模型与粗糙惩罚回归 P e n a l i z e dR e g r e s s i o n 的B L U P B e 斌L i n e a rU n b i a s e dP r e d i c t o r 是一致的 其解就是三次样条函数 从 光滑样条角度改进了函数型数据分析的理论和计算方法 C a r d o t 7 给出了均值和协方 差特征值的近似收敛速度 并说明光滑参数的选取对估计结果有一定的影响 从而对 函数型主成分进行了论证和应用 J a m e s 1 9 等人对稀疏函数数据的函数型主成分方法 进行了提高 改进了函数型主成分的计算方法 在实际应用方面 A g u i l e r a 1 2 拓展 了多变量主成分回归方法 应用函数型主成分方法对不均匀分布的连续时间序列进行 预测并得到了较好结果 F a n gY a o 和J a n e l i n gW a n g 1 2 等人提出了一种非参数方法对 不规则分布的稀疏重复数据进行主成分分析 S a l v a t o r e 1 7 把函数型主成分方法应用于 金融时间序列的分析中 李淳芄等人 3 3 利用函数数据对人体运动进行合成 通过对一 组样本运动进行函数主成分分析 构建出一个由特征运动构成的低维函数子空间 该 低维子空间不仅能够有效地刻画样本序列内在的变化规律 而且也为有目的的运动合 成提供了方法 并通过控制各特征运动的系数即可合成出逼真 平滑的运动序列 并 且该合成过程没有耗时的计算 因此能够满足各种实时应用的需求 他们的相关的实 1 1 甄 一 Z 僦 eSS 3 3 多元主成分和函数型主成分的异同 验结果证明了该算法的有效性 但是我们发现还没有学者把该方法应用到心电图领域 我们将在这些应用研究的 基础上研究其在心电图形状的效果 3 3 多元主成分和函数型主成分的异同 对于观测数据相对于样本个数来说相当大的情况 普通的P C A 一般有两种方 法 一种方法是缩小观测时间的区域 第二种方法是偏最小二乘 P a r t i a lL e a s t S q u a r e s P L S 当变量之间存在多重共线性时 采用主成分分析提取的主成分 虽然能较好地概括变量中包含的信息 却带来了许多无用的噪声 从而对因变量缺乏 解释能力 但是偏最小二乘方法一般用于建立预测回归方程 对于未知参数分布特性 的确定无能为力 它所给出自变量和因变量之间的结构关系也过于抽象 函数型数据 主成分分析是将变量看作函数的形式 其样本的协方差矩阵也变为函数的形式 因此 可以避免出现高维的协方差矩阵 在向量空间中 我们用卢 z 来表示向量x 在权重向量卢下的值 当卢和x 为关于8 的函 数时 关于j 的求和变成关于s 的积分 有求和变为做内积 同样在计算主成分得分时 也有多元分析中的A 岛1 旨甄变为五1 J r 6 s 毛 s 如 具体过程和异同如 图3 1 多元主成分函数型主成分 在在 口 it 一1 j 窖 凼 l 矗1 2 1 厶钮一 钮I 一 J 的约柬条件下 计算满足 的约束条件下 计算满足 一 2 一 m 技y 五3 厶川l l 蚓叹重函数磊国 的恢重向 矗 皤l 知 苴由 一 甲声一 t 毒中五一 主 5 瓦 5 然后在 然后在 箭 b r 1 知缸 矗矗 Q 一I 己l f 1 f 磊 卣 出 o 的约柬条件下m 丝C E Z 得到 的约柬条件下m 戡C Z 得到 I l 己 厶 己 岛 依此就能得到所有的主成分 依此就售皂得到所有的主成分 图3 1 从多元主成分到函数型主成分 1 2 第三章函数型主成分分析 在多元主成分分析中 主成分分析的目标是通过计算特征值和特征向量作为分析 的指标 在函数型主成分中 主成分分析的目标是寻找相互正交的单位权重函数知 并以此作为分析指标 定义协方差函数为 y s t 佗 1 毛 s 翰 t i l 其中z s 为按照第一节定义的函数型数据 则现在的函数型特征方程为 怖 鲍 如 必 s 其中p 仍然是特征值 但是 s 变为协方差函数的特征函数 若记 则 瞻 脚 砒 y 必 3 2 由此可见 通过选择合适的记号 函数型主成分和主成分分析的形式是一致的 但是两者的特征值和特征函数最大对数却不相同 在多元主成分分析中 变量的个 数k 决定了其协方差阵的特征值及其对应的特征向量的最大对数为k 因而满足约束条 件的主成分的最大个数为七 函数主成分分析中数据z t 是一个函数 样本的个数 决 定了其协方差算子的秩为 一1 因此其非零特征值的最大个数为 一1 进而满足约 束条件的主成分的最大个数为 一1 3 4 函数型主成分 通过上一节多元主成分和函数型主成分的思想和计算方法的对比 我们发现它们 的思想基本上是一致的 通过合适的记号 它们的记法也是相似的 但是在计算方法 上可能有些差异 原来离散的数据矩阵变为函数阵 这一节我们将具体介绍函数型主 成分的计算方法以及如何将得到的结果直观的展示 3 4 1 计算方法 假设有仃条已经中心化的曲线魏 为了计算方便 我们通过把如表示为一组己知基 函数讥的线性组合把3 2 式化简为矩阵或者单个的形式 K 的选取取决于原始数据个 1 3 3 4 函数型主成分 数 平滑水平 拟合效果等因素 现在假设每个函数有如下形式 筑 亡 铡 若记向量值函数z z 1 z 2 z 向量值基函数妒 妒1 也 C k 那么就可 以把n 条曲线表示为 z C 砂 其中C 为礼 K 阶矩阵 对应的协方差函数的矩阵形式为 令 V s t n 一1 砂 s C 妒 亡 假设3 2 式对应的特征函数如下 则3 2 式为 k 如 s 妒 s b 6 b l k w 彬 忡 鲍 出 n 1 帅 刚帅 6 出 帅 n I C C 肌 因此3 2 式可以表示为 妒 s n 一1 c c w b 彬 s b 由于等式对任意的S 成立 所以有 n a C C W b p b 3 3 由幢 s I I 1 可以得到6 6 1 类似的 当且仅当砖w 6 2 o 时 l 和已正交 定 义乱 w l 2 b 孓3 式两边同时乘以 1 2 得 n 1W 1 2 C W l 2 缸 p u 1 4 第三章函数型主成分分析 有此可得系数向量 b W I 2 u 至此 我们已经可以计算函数型主成分了 下面我们介绍如何将得到的结果更加 直观的展示出来 3 4 2 结果显示方法 在函数型主成分中一般通过如下三种方式对结果进行展示 第一种是通过均值函 数加上或者减去主成分函数的合适倍数7 7 的形式 第二种是主成分得分做图 第三种是 旋转P C A 这里我们具体介绍一下第一和第三种方法 1 均值函数加上或者减去主成分函数的合适倍数 定义卵为均值函数与的均方 根 矿 N 1 I I 芦 t 一 l 2 其中声 为均值函数 豇 N 1f f i C t d t 一般选择常数o 2 以得到具有可解释性的结果 对声 t 和芦 亡 4 o 2 叼硫 泵为第i 个主 成分函数 进行比较做图 描述原始数据的主要变化特征 方式和程度 2 旋转P C A 事实上 没有函数能够比上面得到的正交函数更好的拟合数据 但是并不是说没有正交函数集能够达到同样的效果 如果令f z 已 6 T 满 足 T I 那么就有这样的正交集 联 现在我们并不能保证砂l 能够解释最大变化 但是K 个正交函数在近似原始数据的时 候和旋转前有同样的效果 并且旋转后的函数可能更加容易的解释数据的一些性质 令B 为K 佗阶矩阵 代表前K 个主成分函数6 已 假如B 的第m 行来自等间隔的 时间点t 1 1 2 t 竹 旋转后的基函数对应的值为 A T B 我们通过令Q 乞最大化来计算T 把 单独拿出来作为一个向量 由于T 是旋转 阵 所以有 n 乞 t r a c e A A 打a c e B T B t r a c e B B m J 1 5 3 5 函数型主成分在心电图的应用 因此只有当这些值要么很大 要么几乎为零时才能使 乞达到最大 而同时 的值则趋向于或者绝对值很大 或者几乎为零 这些信息可能让主成分的变化易于 解释 在网站h t t p 胁 f u n c t i o n a l d a t a o r g 有关于T 的快速 稳定的计算方法和程 序 我们在这里不再叙述 我们通过平滑数据和平滑主成分两种方式 2 0 使得到的主成分更加光滑 3 5 函数型主成分在心电图的应用 在第一章我们介绍了一些生理学背景知识 了解到临床上把各个波的振幅 长 度 形态和变化方向等因素作为指标对病人进行诊断 另外 我们发现直接对整个心 跳拟合的效果不是很好 所以我们根据心电图的形状特征把其分为三段 P 波 Q R s 复 波和T 波 进行分析 这样不仅能够提高数据的拟合效果 减小误差 还能够得到每个 波形状的变化特征 下面我们按照上一节的理论基础和计算方法 把第二章所采用的数据根据生理学 特征分为三段 P 波 Q R S 复波和T 波 进行函数型主成分分析 我们选择前面所说 的第一种方法把结果展示出来 即均值函数加上或者减去主成分函数的合适倍数的方 式 选择前三个主成分 H P 蜘0P c h 1 婶 叶 O 图3 2P 波 Q R S 复波和T 波各自的第一个主成分 P 日h 2 青 a L 咖 p 州 t 目3 日 曩 P 忡 袖 明 图3 3P 波 Q R S 复波和T 波各自的第二个主成分 1 6 第三章函数型主成分分析 P c 3 垆 p 一 州 c 3 炉 曲岬 r 田P c l 俨 忡 4 图3 4P 波 Q R S 复波和T 波各自的第三个主成分 主成分P 波Q a s 复波T 波 第一主成分9 5 4 9 8 1 第二主成分2 3 4 1 4 弟二王成分1 8 2 从P 波 Q R S 波和T 波的前三个主成分可以看出 各个波的变化形式基本一致 前 三个主成分的累计贡献率都达到了9 1 以上 表3 1 与多元主成分分析的结果基本 一致 并且其具有更加具体和详细的可解释性 可以形象而又清晰的把各个波的变化 方式展现出来 从图3 2 至图 可以看出这些变化主要反映为三个方向的变化 垂直 水平和斜率 一 垂直方向上的移动 三个波段第一个主成分主要说明大部分波的变化方式是 在主曲线的基础上垂直方向上的波动 分别占了大约9 5 4 9 和8 1 之高 图3 2 在临床上反映为波形振幅的变化 也即这些心电图的主要变化方式为振幅的变化 二 水平方向上的平移 可以明显的看出三个波段的第二个主成分主要解释的是 水平方向上的平移 分别占了大约2 3 4 和1 4 图孓3 在临床上反映为变化方 向 这说明波的变化方向也是心电图的一种主要变化方式 三 斜率的变化 斜率在临床上反映为心电图形态的变化 三个波段的第三个主 成分主要解释的是斜率方向上的变化 可以看出在波峰处有明显的斜率上的变化 在 波的尾巴处有翘起或者跌下的趋势 充分的把波的这种变化特征显示出来 分别占了 大约1 8 和2 图 三个波的变化形式具有非偶然的一致性 但是我们注意到这些一致性并非绝对的 一致 也存在着一些差异 从各个主成分所占的比例可以看出 各个波的比例是不一 样的 这也说明各个波的主要变化形式也有量的差异 比如P 波主要是垂直方向上的变 化 占了9 5 的信息量 7 3 6 本章小结 3 6 本章小结 本章利用函数型主成分分析 结合临床上的研究指标 我们根据心电图的形状特 征把其分为三段 P 波 Q R S 复波和T 波 进行分析 这样不仅提高了数据的拟合效 果 减小误差 而且得到了每个波形状的变化特征 通过对比我们发现一些重要的特 征 1 这些波的变化主要反映为三个方向的变化 垂直方向 水平方向和斜率 并 且三段波的变化形式具有一致性 这三种变化方式与临床上所关注的振幅 长度以及 形状变化方向相对应 说明我们利用函数型主成分分析能够得到临床上所关注的心电 图的主要变化特征 2 但是每个波的各个主成分所占的比例并不一样 说明各个波的主要变化形式 也存在量的差异 这可能与各个波的临床意义以及诱因有关 这需要我们结合生理学 知识进一步的研究 但是由于专业知识不足及时间问题 我们暂时不再深入讨论 1 8 第四章函数型数据的非线性模型 第四章函数型数据的非线性模型 在第二章和第三章我们已经了解到 这些数据基本相似 只是在水平 垂直和斜 率方向有些变化而己 在引言中我们已经提到 临床上把各个波的时间长短 振幅 形态和方向等因素作为指标对病人进行诊断 例如 如果P 波的振幅增高 而P 波时限 正常或无明显延长时 就意味着有可能是右心房肥大 又如 在某些导联 T 波的振 幅不应低于同导联R 波的1 1 0 意味着不同波段之间也是有联系的 说明第二章和第三 章所得到的结果是非常重要的 使我们大概了解了心电图的一些变化特征 而这些特 征正是临床上所关注的指标 但是通过主成分分析很难对这些特征进行具体的定量描 述 这正是本章我们所要作的事情 我们将把这些有意义的变化具体的描述出来 并 找到各种变化形式之间和各个波之间的联系 本章的主要内容是介绍函数型数据非线性模型的发展及其在心电图T 波的应用 然 后从新的角度建立模型对心电图进行分析 通过对模型中的参数的关系分析探索其所 隐含的生理学信息 4 1 函数型数据的非线性模型的发展 我们先定义一个新的概念 一参考曲线 参考曲线是为研究数据的变化 是 一条代表该样本数据主要信息的曲线 分析函数型数据的其中一种方法是把参考曲线 的变化按照非线性的方向进行分解 这种曲线的非线性分解在过去的2 0 年里受到很大 的关注 H a s t i e 和S t u z t z l e 1 5 把线性主成分分解推广到非线性分解 并完成了主曲线的 定义和计算的前期工作 C h a l m o n d T F f l G i r a r d 9 等人对以主曲线为基础进行了方法和应 用方面的研究 和线性主成分分析一样 尽管非线性主曲线可以解释数据的大部分变 化 但是其缺乏可解释性 在此之前 I z e mR 和K i n g s o l v e rJ G 1 8 1 建立了一个三参数 模型 该模型把数据中的变化分解为一些预先确定的 解释性比较好的方向 该模型 把毛虫生长速度描述为关于温度的函数 五 巧 毗z 毗 如一佻 勉 4 1 其中磊 易 是第i 族毛虫在温度t j 时的生长速度 z 是参考曲线 伽 m 分别为斜 率 水平和垂直方向上的变化 该模型的一般形式如下 z t j K 吼 岛 1 9 一 4 2 4 1 函数型数据的非线性模型的发展 其中良是参数向量 该模型在处理毛虫生长速度问题时得到了良好的结果 能够对 该生长速度关于温度的变化做出很好的有意义的解释 随后Y i n g c h u nZ h o u 和N e l l S e d r a 璐k 2 8 对上述模型 垂1 进行了改进 并应用到心电 图的T 波上 两位学者对模型中的参数做了更为详细的改进 增加了一个参数 由原来 的单一的斜率变化为描述两面的斜率 现在关于数据阵X 的模型为 矾 怒浆黜乏 尝 c 蜘 其中i 1 2 I j 1 2 X 是参考曲线 四个参数u d m h i 别代表上 升斜率 下降斜率 水平 垂直方向 e N 0 铲 此时 眦 嚣浆黜臻 c 删 其中O i d 讹 他们用非线性最优化来估计该模型 乒3 以得到参数O i 的 估计口 即 t 拿 a r g 母 五 岛 一K 巩 坩 1 J 他们利用该模型 垂3 把每条T 波看作关于参考曲线的变换 得到每条T 波的参 数吼 i 1 2 说明四个参数可以很好的近似这一变化 并从生理学的实际背景 对四个参数进行解释 达到了降维并且具有医学意义上的可解释性的目的 该模型 4 3 有两个创新之处 第一 参考曲线的明确性 参考曲线显示了所有曲 线的一般形状 其它曲线是由其变换得到的 我们可以对参数进行分析和估计 参考 曲线不同于主曲线 为了衡量样本之间的变化 首先想到的是F r 百c h e t m e a n 由于T 波 在形状和位置上变化不大 用样条插值来得到参考曲线更为有效 计算量也大大降 低 第二 因为T 波的上升和下降曲线需要分别考虑 该模型采用分段函数的形式 2 0 第四章函数型数据的非线性模型 4 2 函数型数据非线性模型在心电图中的应用 受前面研究的启发 考虑到关于时间t 的尺度变换并不一定和整个函数的伸缩变换 相一致 所以我们用参数u 和d 来代替上面模型中的参数 才 修正之后的模型为 z t j 地z 画 巧一砜 4 5 其中i 1 2 n J 1 2 P u 代表函数整体的尺度变化 d 代表关于时 间t 的尺度变化 m 和h 分别代表水平和垂直方向上的位移 现在 其中 K 8 i t j X d 亡j 一佻 仇 讹 哦 佻 鬼 在第三章我们对函数型数据做了简单的介绍 现在我们按照前述方法对编号 为s e l l l 6 的病人的E C G 进行预处理 然后再对此进行分析 假设处理后的E C G 数据阵 为X 虽然X 的每列都是离散的数据 但是其中隐含着一个连续函数 这样X 就可以看 作关于时间t 的函数族 现在的目的就是如何更加详细的刻画该函数族的变化特征 首先我们把该方法应用到整个E C G 上面 得到残差平方和S S E 高达1 1 4 8 可能是 由于维度太高 拟合的效果并不好 由此产生的偏差将对我们进行下一步分析的结果 的准确性产生很大影响 注意到P 波 Q R S 复波和T 波的形状相似 结合第三章得到 的比较好的结果 我们考虑用同样的方法对三段波分别进行处理 把该方法分别应用 到P 波 Q R S 复波和T 波上 S S E 分别为 1 7 1 5 2 5 3 0 4 相对于整个E C G 做分析 分段处理拟合的效果更好 这样有助于减小下面分析的误差 4 2 1 四个参数的意义 从图形 图缸1 垂2 4 3 直观来看 拟合值和真实值相当吻合 这也与S S E 6 1 4 相一致 P 波 Q R S 复波和T 波三个波的变化方向和幅度具有一定的一致性 T 波的变 化特征和四个参数的意义和数值大小相一致垂1 就拿T 波来说 a 图相对参考曲线向 下移动 九 0 2 4 b 图在向上移动的同时 又有水平方向的移动 0 2 5 m 1 1 2 7 2 斜率也有所变化 牡和d 一个大一个小 c 图的两端没什么变化 但是波峰 有所上移 斜率变大 d 图恰恰与C 图相反 而是两端的斜率变小 变得平缓了 注 图垂1 缸2 垂3 为原始数据 拟合数据和参考曲线对比图 其中点线为原始数 据 虚线为拟合数据 实线为参考曲线 2 1 4 2 函数型数据非线性模型在心电图中的应用 P 波 Q R S 复波 r 波 I DUdmhU dm hUdmh a0 8 91 0 48 2 8 5一 2 80 7 9 0 9 9 8 0 6 3一 4 50 8 81 0 11 0 8 7 8一 2 4 b1 0 80 9 78 4 9 70 1 31 0 40 9 58 2 7 30 0 91 1 70 9 91 1 2 7 20 2 5 C1 1 9O 9 18 8 1 40 2 21 0 90 9 58 2 5 50 1 31 1 91 0 11 1 0 6 70 2 4 d1 0 11 0 88 2 7 9一 0 81 0 31 1 17 5 7 2一 1 21 1 50 9 61 1 1 4 2一 0 1 图垂1P 波图冬2Q R s 波图垂3T 波 4 2 2 各个波内部的参数关系 首先 我们对得到的参数进行分析 挖掘各个波内部四个参数所隐含的信息 我 们感兴趣的是这四个参数之间是否有某种联系 比如相关性等 为此我们对各个波的 四个参数做相关性分析 结果发现三个波都具有一个重要特征 即在0 0 1 的置信水平 下 1 每个波本身的m 和d 都显著负相关 2 u 和h 都显著正相关 图4 4 图4 4P 波参数散点图 p I 0 8 7 7 1 阳 一0 9 3 2 2 P 0 0 1 m 和d 都显著负相关说明当水平方向产生位移与关于时间t 的尺度变化是相反方向 的 可能是因为水平位移是由于关于时间的尺度变化所导致 或者是因为水平位移导 致尺度的变化 u 和h 都显著正相关说明垂直方向上的变化与整个波的尺度变化是一致 的 但是其他各系数之间并没有明显的相关性 在图垂4 至图缸6 中 用 P 心 代表P 波的参数也 依此类推 R u 7 代表Q R S 复波的参 数u 等 一2 2 第四章函数型数据的非线性模型 图禾5Q R S 波参数散点图 p 曲 0 6 7 9 3 舢 一0 9 8 2 6 p 0 0 1 图垂6T 波参数散点图 胁 0 5 7 1 8 腑 一0 8 0 1 7 p 0 0 1 4 2 3 各个波之间的参数关系 第三章中我们了解到三个波段的变化特征具有非偶然的一致性 但是没有给出具 体的在某个方向上量的一致性 在这里进一步对其分析 通过图形的直观展示可以看 出h 与图形的形状变化非常一致 能够充分说明原始数据关于参考曲线的变化方向 第 一条和第四条曲线的h t J 于零 意味着参考曲线向下移动 而第二条和第三条则相反 三段的h 之间有很大的相关性 这说明一个人的心电图各个波的垂直位置是相互关联 的 我们进行相关性分析的结果证实了这一点 并且相关性非常大 对三段的h 值做相关性分析结果如 表4 2 在0 0 1 的显著性水平下 p 值都小 于0 0 1 说明三段波的h 值是显著相关 图 垂7P 波和Q f L s 复波参图垂8 P 波和T 波参数h 散点图垂9q P s 复波和T 波参 数h 散点图图 数h 散点图 2 3 4 2 函数型数据非线性模型在心电图中的应用 相关系数P 波Q R S 复波T 波 P 波 1 0 7 1 40 6 5 5 Q R S 复波 0 7 1 4 1 0 7 4 8 T 波0 6 5 50 7 4 81 相关系数P 波Q R S 复波T 波 P 波 10 2 3 0 0 3 8 9 Q R S 复波 0 2 3 01 0 4 4 3 T 波 0 3 8 90 4 4 3 1 说明这些P 波 Q R s 复波和T 波至少在一个心跳周期内可以说是同步的 这就意味 着一旦一个人的心跳有问题 偏离正常位置太高或者太低 各个波段都会将这种现象 表现出来 而参数h 可以反映出来各个波的振幅大小 振幅是临床上医生进行诊断的重 要指标 从中可以反映出很多心血管疾病的特征 各个波的h 参数所反映出来的一致性 将对医生进行诊断大有帮助 他们可以只用针对其中一个比较明显的波进行检查 而 不用对所有的波进行检查 参数乱也有类似性质 豸t 4 3 但是相关性没有参数h 明显 在0 0 5 的水平下是显 著相关的 也能够说明上面类似的问题 但是参数瘌仇没有如此一致的性质 4 2 4 频谱分析 另外 我们可以把得到的参数值看作时间序列并获得关于心电图各个波的一些信 息 通过功率谱密度来研究这些时间序列的频率 进行频谱分析 图垂1 0P 波参数u 和h 的功率谱密度 频谱分析是将信号源发出的信号强度按频率顺序展开 使其成为频率的函数 并 考察变化规律 功率谱密度谱是一种概率统计方法 是对随机变量均方值的量度 功 率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果 是一条功率谱密度值与频率 2 4 第四章函数型数据的非线性模型 图4 1 1P 波参数d 和m 的功率谱密度 值的关系曲线 从图4 1 0 和图4 1 1 中可以看出 P 波的参数U 和h 都在0 0 8 H z 附近有一个极大点 对 应的周期为1 2 5 秒 而参数m 和d 在0 2 9 H z 附近有一个极大点 对应的周期为3 5 秒 这 正是E C G 图中可以大概观测到的异常心跳的频率 4 3 本章小结 雳 本章利用函数型数据的非线性模型把心电图的形状变化用四个参数来描述 我们 发现这四个参数之间有一定的联系 并且各个波之间也有一定的关系 1 四个参数的数学意义能够很好的对图形的变化进行解释 牡代表函数整体的 尺度变化 d 代表关于时间t 的尺度变化 m 和h 分别代表水平和垂直方向上的位移 在 临床上可以通过这几个参数对心电图的变化方式进行描述 这几个参数的意义和临床 上关注的指标相一致 可以作进一步研究 2 每个波的参数U 和h 都显著正相关 而参数m 和d 都显著负相关 这说明心电图 水平方向的变化与关于时间t 的尺度变化是相反方向的 在临床上可能反映为某些病症 的关联性 札和h 都显著正相关说明垂直方向上的变化与整个波的尺度变化是一致的 但是其他各系数之间并没有明显的相关性 3 三个波的参数h 都显著相关 参数仳也有一定的相关性 参数h 反映了各个波 的振幅大小 振幅是临床上进行诊断的重要指标 从中可以反映出很多心血管疾病的 特征 各个波的参数h 所反映出来的一致性将对医生进行诊断大有帮助 2 5 第五章结论 本文充分利用心电信号的统计特征 用统计方法对心电信号的形状特征进行分 析 介绍比较新的函数型数据的相关概念和理论 并把该方法应用到心电图上 并得 到了一定的有意义的结果 首先利用离散的多元主成分对一个病人的1 5 分钟的心电图分段做分析 这样提取 出不同时间段的主要特征 并将这些主要特征 主成分 进行对比 发现不同时间段 内该病人的主要特征有共性 形状基本相似 也有差异或者说变化 水平 垂直和 斜率的变化 但是其可解释性不足 这也是多元主成分美中不足的地方 结合现代对函数数据的关注以及函数型主成分的良好效果 我们利用函数型主 成分进行分析 考虑到心电图的临床意义及各个波的形状有相似的地方 我们采 用F o u r i e r 作为基函数对数据进行拟合 然后利用函数型主成分分别对三段波进行分 析 拟合效果比较好 前三个主成分的累计贡献率都达N 9 5 以上 并且可解释性更 强 可以形象而又清晰的把波的变化方式展现出来 通过三个波的主成分的横向对 比 我们发现三个波的变化特征极为相似 都体现为垂直方向上的移动 水平方向上 的平移和斜率的变化 另外是无规律的变化 但是我们注意到这些一致性并非绝对的 一致 也存在着一些差异 从各个主成分所占的比例可以看出 各个波的比例是不一 样的 这也说明各个波的主要变化形式也有量的差异 第四章我们对已有函数型数据的非线性模型进行细微的改动 把其应用从T 波推 广到三个波段 以验证其普遍适用性 我们发现结果与主成分得到的直观的结果相一 致 而且得到的四个参数的意义更加有说服力 通过比较各个波内的参数 我们发现 在0 0 1 的置信水平下 每个波各自的m 和d 都显著负相关 说明水平方向产生位移与关 于时间t 的尺度变化是相反方向的 而u 和h 都显著正相关 说明垂直方向上的变化与整 个波的尺度变化是同方向的 但是其他各系数之间并没有明显的相关性 通过比较各 个波之间的参数 我们发现参数h 与图形的形状变化非常一致 充分说明原始数据关 于参考曲线的变化方向 并且p 值都小于0 0 1 说明三段波的h 值是显著相关 说明这 些P 波 Q R S 复波和T 波至少在一个心跳周期内是同步的 参数h 可以反映出来各个波 的振幅大小 从中反映出相关的心血管疾病的特征 由于心电图本身的复杂性 在波段的选取时我们并没有利用临床上的方法自动选 择波段的起始和结尾 而是采用通过比较粗糙的方法 这样可能导致我们得到的结果 有一定的偏差 这是值得改进的 注意到参数之间的相关性 可以通过回归分析减少 对模型中的参数 但是由于时间关系 我们在这里并没有作出进一步的研究 这也是 今后我们需要进一步研究的 2 6 参考穸献 参考文献 1 A g u i l e r aAM O c a n a FA V a l d e r r a m aM J F o r e c a s t i n gt i m es e r i e sb yf u n c t i o n a l P C A d i s c u s s i o no fs e v e r a lw e i g h t e dA p p r o a c h e s C o m p u t a t i o n a lS t a t i s t i c s 1 9 9 9 1 4 4 4 3 4 6 7 2 2 A g u i l e r aAM O c a n aFA V a l d e r r a m aMJ F o r e c a s t i n gw i t hu n e q u a l l ys p a c e d d a t ab yaf u n c t i o n a lp r i n c i p a lc o m p o n e n tA p p r o a c h T e s t 1 9 9 9 8 2 3 3 2 5 3 3 A n d r e a o R V D o r i z z i B B o u d y J E C G s i g n a la n a l y s i st h r o u g hh i d d e nm a r k o v m o d e l s I E E ET r a n s a c t i o n so nB i o m e d i c a lE n g i n e e r i n g 2 0 0 6 5 3 s 1 5 4 1 4 B a r r a V A n a l y s i so fg e n ee x p r e s s i o nd a t au s i n gf u n c t i o n a lp r i n c i p a lc o m p o n e n t s C o m p u t e rM e t h o d sa n dP r o g r a m sb i o m e d i c i n e 2 0 0 4 7 5 1 9 5 B m m b a c k B A R i c e J A S m o o t h i n gs p l i n em o d e l sf o rt h ea n 出s i J so fn e s t e d a n dc r o s s e ds a m p l e so fc u r v e s J o u r n a lo fT h eA m e r i c a nS t a t i s t i c a lA s s o c i a t i o n 1 9 9 8 9 3 9 6 1 9 7 6 6 B o e n t e G F r a i m a n R K e r n e l b a s e df u n c t i o n a lp r i n c i p a lc o m p o n e n t s S t a t i s t i c s P r o b a b i l i t yL e t t e r s 2 0 0 0 4 8 3 3 5 3 4 5 7 C a b o tH N o n p a r a m e t r i ee s t i m a t i o no fs m o o t h e dp r i n c i p a lc o m p o n e n t sa n a l y s i s o fs a m p l e dn o i s yf u n c t i o n s J o u r n a lo fN o n p a r a m e t e rS t a t i s t i c s 2 0 0 0 1 2 5 0 3 5 3 8 8 C e y l a nl 2 J l i m e O z b a yY b k s e l C o m p a r i s o no fF C M P C Aa n d Wt e c h n i q u e s f o rc l a s s i f i c a t i o nE C Ga r r h y t h m i a su s i n ga r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k E x p e r tS y s t e m s 丽t hA p p l i c a t i o n s 2 0 0 7 3 3 2 8 6 9 C h a l m o n d B a