数值分析课件14

7 3 2二阶龙格 库塔方法 原来改进欧拉公式k2为xi 1点的近似平均值 现对k2重新设置取 内任一点 使用xi和xi l两点斜率值k1 k2加权平均作为 即 其中 为待定系数 k1仍为x1上的斜率值 即 问题是如何预测xi l处的斜率k2 类似于改进的欧拉方法 先利用欧拉公式得到斜率值 所以计算公式如下 其中 为调节参数 使其具有2阶精度 考虑截断误差 对 做二阶泰勒展开 再使用yi l 通过f x y 形式 得到斜率值 对 作为二元函数1阶泰勒展开 其中 余项是关于 的高阶无穷小 对节点 即 此时 对 利用复合函数求导 对 其中 有 可对 式关于x求导 将 和 带入整理得 要使 和 为一族系数与l有关 当时 时 即为改进欧拉公式 当 该公式为变形欧拉公式 即 特殊地 在区间 上取两点 预测相应斜率值 对 作加权得平均斜率近似值 对截断误差公式 要达到 则 的系数须为0 从而建立方程组求系数 总结二阶龙格 库塔构造方程 7 3 3高阶龙格 库塔公式 为进一步提高精度 如三阶精度 在 xi xi l 上除xi和xi l 外 可再增加一点 以xi xi l xi m三点处的斜率值k1 k2 k3加权平均 计算公式 其中k1 k2仍为前面定义 即 需要求K3 可在 上利用二阶龙格 库塔公式 得到预测值后 再利用f x y 得到斜率值 整个计算公式为 需求 使其具有3阶精度 可利用截断误差公式求解 具体略 可得条件 该方程组得到的是一族解 常用的三阶龙格库塔公式有 同样地 精度还可以提高到4阶 具体略 在计算yi 1之前 已经求出y0 y1 yi 是否可以用前面已算好的yi 得到高精度的yi 1的值 7 4线性多步法 该方法为多步法 前面方法为单步法 只涉及到yi yi 1 线性r步计算公式可写成 yi 1 yi hf xi yi yi 1 yi f xi y xi f xi 1 y xi 1 其中 例如欧拉公式 其中 梯形公式 式 中 j j为常数 当 1 0时为显式公式 1 0时为隐式公式 Ri 1 y xi 1 常微分方程数值解常用方法 利用数值积分方法 另外还有微分中值定理 y xi 1 y xi 对 提高精度 原来只使用一点 两点插值 7 4 1阿当姆斯内插公式 Admas 使用xi xi 1作插值节点 节点少 精度不高 可增加节点插值 但节点数不能太多 误差余项 采用更好的节点插值方法构造 需增加节点 若先取 xi xi 1 内部点 函数值未知 可通过龙格 库塔方法计算 但相对复杂 可选取 xi xi 1 外部的已知节点 阿当姆斯内插公式 选取节点为xi 2 xi 1 xi xi 1来计算y xi 1 构造三次插值多项式代替 近似计算 被积函数表示为 xi 2 xi 1 利用积分第一中值定理 x xi xi 1 内 不变号 多项式函数可求出积分值 可通过换元法 前两项可作为近似计算公式 最后一项作为误差余项 具体化简为 内插公式为 是关于yi 1的隐式公式 截断误差为4阶 需计算xi xi 1 xi 2三点函数值 初值点y0 y1 y2称为三步法 可通过欧拉方法或龙格 库塔方法计算 7 4 2阿当姆斯外推公式 将隐式转为显式公式 即将节点xi 1转为xi 3 取xi 3 xi 2 xi 1 xi为插值节点 求y xi 1 采用插值多项式 类似地得到 其误差为 外推公式 该公式是显式公式 截断误差为4阶 需要节点值 即初值需 可通过欧拉 方法或龙格 库塔方法求得 称为四步法 比较内插和外推公式 内插公式 隐式 计算复杂 但误差相对较小 余项系数较小 且计算公式 三步法 中的4个系数相对较小 产生的误差影响小 外推公式 显式 计算相对简单 但误差相对较大 余项系数较大 且计算 四步法 公式中的4个系数相对较大 误差影响大 可将两公式联合使用 构成阿当姆斯校正公式 即先通过外推公式求得 预测值 代入到内插公式中 再将 7 5一阶方程组和高阶方程7 5 1一阶方程组 原来一阶方程初值问题 将y f和看成向量 可应用到一阶方程组 使用下列标记 其中u和v是关于x的两个函数 和 是关于 的两个函数 即已知 求函数u和v 该问题可转为 为向量 这里要求每个向量相等 可利用前面方法求u和v的数值解 7 5 2高阶方程 有些高阶方程可将其转化为一阶方程组 例如二阶方程初值问题 可引入新变量 并将其转为一阶方程组 再使用一阶方程组方法求解 7 5 3二阶线性常微分方程通解 可利用差分方程求解 另外还需增加边界条件 方程形式 其中 为关于x的已知函数 1 将 a b 作n等分 即步长为 各节点为 数值解即为求出这些节点xi上y xi 的近似值 首先对方程 1 在节点xi上离散化 对xi用一阶差商和二阶差商分别近似该点一阶导数和二阶导数值 令 所以 1 式即为差分方程 具体求解方程 2 所以构成方程组 有n 1个方程 求n 1个未知数 需补充两个方程 可由不同的边界条件来补充 如 1 2 这样可通过求解方程组方法求出 该方程由为三对角方程组 所以可使用追赶法快速求解 第八章矩阵的特征值及特征向量计算 对n阶方阵A 其特征值为方程 的根 可写成 其中ci为系数 与矩阵A有关 称为矩阵A的特征方程 有n个根 包括重根 复数根 当 是A的特征值时 相应方程组 的非零解x称为矩阵A关于 的特征向量 对特征值和特征向量的计算 可看成是方程求根和线性方程组求解问题 理论上可以求出 但根据向量和矩阵及线性代数中的知识 可以使用一些别的数值方法 如对模最大或最小特征值的求解 一般特征值的统一求解方法 8 1问题提出 称为特征值 特征根 8 2模最大特征值的求解 幂法 矩阵A的特征值中 模最大的特征值称为主特征值 其模长称为谱半径 实数中 模长为绝对值 对于复数 模长为 思路 设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量 前提条件 所对应的特征值 并按模的大小排列 即 分以下两种情况讨论 1 任取初始向量v0 矩阵A有n个线性无关的特征向量 任何一个n维向量都可以由它们线性表示 即 1 现从v0出发作一系列迭代 可得一向量序列 并利用 1 可得 分别为 线性代数知 不同特征值的特征向量线性无关 相同特征值的特征向量不一定线性无关 k 0 1 2 同理有 i 2 3 n i 2 3 n 2 若 2 式迭代收敛 则 近似线性相关 即为模最大的特征值 其系数 为向量 其中 表示向量 的第j个分量 1 它是迭代法 收敛速度主要取决于 当 越小 收敛越快 2 迭代过程中 主要计算 所以称为幂法 另外防止计量出的新向量 中的分量值太大或过小 可使用 3 初始向量对迭代过程有影响 因此通常采用先算下去再说的方法 及时调整初值进行计算 4 另一种情况 类似地 有 该方法的特点 即每次迭代时将Vk的最大分量化为1 规范化的幂法求解 这里略 i 3 4 n i 3 4 n 同理 将上面三式带入 可知 上式说明 三向量大体上线性相关 令 则有 时 p q趋向于某固定值 可利用 求出 特殊地 当 时 可近似看成 设矩阵A为非奇异矩阵 前提条件 即零不是A的特征值 并设A的特征值有 因为A为非奇异矩阵 所以 存在 逆矩阵 且由 可得 即说明矩阵 的特征值为 j 1 2 n 并有 所以可对矩阵 利用幂法计算模最大特征值 对其求倒数 8 3模最小特征的求解 反幂法 即得A的模最小特征值 反幂法 求矩阵特征值和特征向量的一般方法对特征值重根 复根 特征值可能为0的情况都适用 若是奇异矩阵 则有零特征值 任取一个不为A特征值的数 则有 因为矩阵 是非奇异矩阵 只要得到 的特征值和特征向量就可方便求出A的特征值和特征向量 因此所求特征值 与原来的特征值相差一个 不失一般性 可设A为非奇异矩阵 对非奇异矩阵A 可以将其分解成一个正交矩阵Q 即A 1 AT 有A AT AT A E 和一个上三角矩阵R的乘积 即 A1 A Q1 R1 可得R1 Q 1 A1 交换该乘积顺序得 8 4QR分解法 思路 对矩阵A A2 R1 Q1 Q1 1 A1 Q1 A1与A2有相同的特征值 继续迭代下去 可得一迭代序列 Ak 当Q为正交矩阵时 可以证明 当k 时 矩阵序列