数学物理方法课件(北师大版)4

第四章 留数定理 4 1 留数定理 4 2 应用留数定理计算实函数的积分 4 3 复杂实积分的计算 4 4 留数定理计算级数 4 1 留数定理 一 留数的概念 设 z0 是函数 f z 的孤立奇点 则由洛朗定理知 在 z z0 点的某个去心邻域内 f z 可展开成洛朗级数 由积分公式 zzazf n n n 0 n n dzzz i n 11 10 2 1 I 0 为什么a 1特殊 1 0 ai2dz n n n dzzzazf 称 f z 的洛朗级数中 z z0 1的系数a 1为 f z 在 z0 点的留数 有时也称残数 记为 二 留数定理 设函数 f z 在闭合回路C所围成的区域B内除有限个 孤立奇点 z1 z2 zN 外解析 并且直到边界连续 则有 B C z1 z2 zN N j j C zfidzzf 1 Res2 Res 0 zf zz Resa 01 zf 或 三 留数的计算方法 1 一般方法 利用留数的定义来求留数 即将函数 展开为洛朗级数 取负一次幂即可 2 对于一阶极点 如果f z P z Q z 则 3 对于m 阶极点 lim Re 00 0 zfzzzfs zz zfzz dz d lim m zf m m m zzzz 0 1 1 001 1 Res Re 0 zQzPzfs 例1 求函数 在 z 1 处的留数 n为整数 P53 例2 试确定函数 的极点 并求f z 在这些 极点处的留数 p54 例3 试确定函数 的极点 并求 f z 在 这些极点出的留数 p54 1 1 n z zf zsin zf 1 35 4 2 zz iz zf zz dz z 10 2 2 1 计算积分 p55 例4 计算积分 例5 dz z ze z z 1 2 2 计算积分 例6 dz z z z 1 4 2 计算积分 例7 dz z z ez z 2 2 1 讨论 1 定理关系 留数定理与柯西定理 柯西公式以及柯 西公式的高阶导数的关系 2 概念关系 奇点 孤立奇点 极点 单极点 4 2 留数定理计算实函数的积分 利用留数定理计算实积分的办法 1 将实变函数的定积分与复变函数的回路积分联系起 来 2 利用留数定理计算出环路积分 3 如果能够将路径 2的积分计算出来 通常为零 就可以得到左边的实函数的积分 2121 dz z fdz z fdz z fdx x f b a x y a b 1 2 类型一 其中被积函数是三角函数的函数 积分区间为 0 2 计算方法 做自变数代换z ei 实变数 从0增至2 则复变数z沿回路 z 1一周 原积分化为 2 0 dsin cosR 2 0 23 1 d sincos 例2 2 0 1 1 d cos 例1 其中0 0 dxexf imx k imz k imx k ezfsidxexf 上半平面 Re2 成立的前提 1 f z 在上半平面只有有限个奇点 2 3 为此 需要有以下的约旦引理 0lim R C imz R dze z f CR O R R 约旦引理 如果m为正数 CR是以原点为圆心而位于上半 平面的半圆周 当z在上半平面或实轴上趋于无穷时f z 一致趋于0 则 证明要点 0lim R C imz R dze z f 是有限的即可 故只需证明由于 0R R 0 0 lim 0 Rde z f max Rde z f max idReee Refdze z f sinmR sinmR icosimRsinmRi C imz R 2 y sin 在0 2区间内 0 2 sin 于是 m e m RdeRdeRde RmR mR sinmRsinmR 1lim lim2lim2lim R 2 0 2 R 2 0R0R 讨论 对于m为负数 约旦引理是否成立 如何处理 例1 计算积分 0 2 1 dx x mxsinx imzimz e z z ezf 2 1 O z i x y z i Re 12 1 1 sin 2 1 1 sin 22 0 2 imz iz imx ezfs dx x xe i dx x mxx dx x mxx 讨论 1 上半平面和下半平面的奇点是否关于实轴对称 2 类型三中如果是正弦或余弦函数 须化成指数形式eimz 例2 0 222 dx ax mxsinx p61 实轴上有单极点的情况 考虑满足类型二或类型三条件的积分 C CR R R dx x f 构造如图所示的环路 有 k k k k zfsizfsidxxf 实轴上上半平面 Re Re2 单极点的 洛朗展开 0 dz z fdz z fdx x fdx x fdz z f CC R R R 计算积分 0 2 1 dx x x xsin 例2 说明 本题的被积函数满足类型三 但不满足类型二 因为sinz在 z 时可能呈指数发散 因此应当按照类 型三的方法计算 计算积分 0 dx x xsin 例1 p63 CR 1 R R 1 0 注意 1 C 不是闭合曲线 f z 洛朗展开的解析部分的积分值是 由于 0才趋于0 2 实轴上的奇点只能是单极点 不能是二阶或更高阶的 极点 更不能是本性奇点 讨论 1 仿佛实轴上的极点只贡献一半的留数 2 C 是否可以取下半圆弧 dx x x 10 1 0 1 例1 计算积分 p64 CR R R C 1 4 3 复杂实积分的计算 dx x x 10 1 0 1 例2 计算积分 p65 多值函数的积分 dx xcosh 1 0 0 1 cosh 11 coshcosh 11 cosh cosh C RR RR dz z dxdx xxi idyidy RiyRiy 111 cosh2cosh C dxdz xz 2 Res z i if z 奇点 z 2k 1 i 2 k 1 2 例3 当R 时 后两项趋于0 O R R 0 2 3 2 思考 当函数 f z 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理 0 2 2 0 2 1 cos sin dxxIdxxI和 例4 计算菲涅尔积分 p67 4 R 4 4 留数定理计算级数 考虑费米和玻色分布函数 1 1 1 1 z B z F e f e f 它们在复平面上具有一阶极点 in z in z nn 2 12 和 相应的留数分别为 1 和1 再考虑函数F z 它在虚轴上没有奇点 取回路C C C C BosonzF i Fermion