文科微积分2习题册_答案

班级 学号 姓名 1 微积分 习题集 文科 班级 学号 姓名 班级 学号 姓名 2 P7 习题 6 1 6 一动点与两定点 1 3 2 和 6 5 4 等距离 求该动点的轨迹方程 解 设该动点坐标为 x y z 则 222222 2314y56xyzxz 462148101277xyzxyz 4410630 xyz 即 该动点轨迹方程为平面 7 求以点 2 3 1 O为球心 且通过坐标原点的球面方程 解 因为球面过原点 球面半径 222 1 03 02014R 故所求球面方程为 222 13214xyz 222 2640 xyzxyz 即 8 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形 1 2 x 2 1 xy 3 4 22 yx 4 xyx2 22 补充题 解 见下表 方程 平面解析几何中 空间解析几何中 2x 平行于 y 轴的直线 平行于 y0z 面的平面 1yx 直线 平行于 z 轴的平面 22 4xy 圆 曲线 圆柱面 母线平行 z 轴 22 2xyx 双曲线 双曲柱面 母线平行 z 轴 9 指出下列各方程表示哪种曲面 1 22 1yxz 补充 2 2 22 yx z 1 球心在原点半径为 1 的上半球面 椭圆抛物面 3 22 yxz 补充 4 zzyx2 222 补充 上半圆锥面 球心 0 0 1 半径 R 1 的球面 班级 学号 姓名 3 14 分别按下列条件求平面方程 1 平行于xoy面且经过点 3 5 2 解 所求平面平行于xOy面 设平面方程为 0CzD 将点 2 5 3 代入上式 得 303CDDC 故所求平面方程为30z 2 通过z轴和点 2 1 3 的平面方程 解 设该平面方程为0AxBy 将 3 1 2 代入上式 得 303ABBA 故所求平面方程为 30 xy P13 习题 6 2 1 设 22 2 yx xy yxf 求 1 x y f 解 222 2 2 1 2 1 1 y yxy x f xxy y x 3 求下列各函数的定义域 5 22 1 ln yx x xyz 4 解 由 22 22 1 0 0 0 0 xy xy x yx yx 故所求定义域为 22 0 1 Dx y yxxy 班级 学号 姓名 4 4 求下列函数的极限 1 22 0 1 ln lim yx ex y yx 2 xy xy yx 42 lim 0 0 解 原式 0 ln 1 ln2 10 e 2 解 原式 0 0 4 4 lim 24 x y xy xyxy 0 0 11 lim 424 x y xy 5 证明下列极限不存在 yx yx yx 0 0 lim 证 设动点 P x y沿着直线ykx 趋向点 0 0 则 0 1 lim1 1 x y kx xkxk Ik xkxk 当k取不同常数时 极限值I随之变化 故原极限不存在 6 研究下列函数的连续性 0 0 0 0 0 ln 2222 yx yxyxyx yxf 补充题 解 令cossinxy 则 22 3 0 0 000 2 2 ln2 ln lim lim lnlimlim0 0 0 1 2 x y f x yf f x y 在 0 0 处连续 又当 0 0 x y 时 2222 ln f x yxyxy 为初等函数 则 f x y在整个平面区域内连续 P19 习题 6 3 1 求下列函数的偏导数 1 32 2yxyxz 4 xy yx z 22 班级 学号 姓名 5 3 z 22 x 23 xy z xy x 解 22 x 11 y z yx zyzx xyxyyx 解 6 cos sin 2 xyxyz z cos2cossincossin2xyyxyxyyyxyxy x 解 由对称性有 xyxyx y 2sincos z 9 22 yx x z 22 222 322 22 2 2 2 x xyx xyzy xxy xy 解 322 22 22 2 2 2 zxyxy yxy xy xy 2 设 11 yx ez 证明z y z y x z x2 22 1111 22 11 xyxy zz ee xxyy 解 左边 11 22 22 xy zz xyez xy 右边 得证 4 设 0 0 0 1 sin 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf 求 0 0 0 0 yx ff 解 2 2 2000 1 sin 00 01 limlimlimsin0 0 x xxx x f xf x fx xx x 班级 学号 姓名 6 2 000 1 s i n 0 0 0 1 0 0 li mli mli m s i n 0 y yyy y yfyf f yyy 不存在 6 求下列函数的 2 2 2 2 y z x z 和 yx z 2 3 y x z cos 2 2 2 2 sin2 zzcos xx x xyxy 解 22222 22 2 z12sin4cos2sin cos 4 xxxx xx xyyy 2222 223 2sin2cos zxxzx x yyyy P24 习题 6 4 1 求下列函数的全微分 1 y x yxz 2 3 2 2 1 6 3 y xy x zxyzx y 解 2 2 1 6 3 xy x dzz dxz dyxydxxdy yy 2 求函数 2ln 22 yxz 在 1 2 yx时的全微分 222222 122 2 222 xy xy zxz xyxyxy 解 2 1 2 12 1 42 77 dxdydxdy xx zzdz 7 求函数 x y z 在2 0 1 0 1 2 yxyx时的全增量z 和全微分dz 1 0 21 0 119 20 12 zf xx yyf x y 解 2 1 2 1 2 12 12 1 2 1 0 10 20 125 xy y dzzxzy xx 班级 学号 姓名 7 P31 习题 6 5 1 设 x y z 而 t ex t ey 2 1 求 dt dz 解一 tttt t t ee dt dz ee e e z 1 2 解二 tttt eee x e x y x v v z dt dx x z dt dz 2 2 2 1 4 设vuzln 2 而yxv y x u23 求 y z x z 解 yxy x yx y x v u y vu x v v z x u u z x z 23 3 23ln 2 3 1 ln2 2 2 2 2 yxy x yx y x v u y x vu y v v z y u u z y z 23 2 23ln 2 2ln2 2 2 3 22 2 7 求下列函数的一阶偏导数 其中f可微 1 22 xyyxfu 解 设 tvfuxytyxu 22 则 yfxf x t t u x v v u x u tv 2 tv fxfy y t t u y v v u y u 2 9 求下列函数的 2 22 2 2 y z yx z x z f具有二阶连续偏导数 1 yxyfz 解 211 ffx y z yf x z 11 2 1112 2 fyyfyfy xx z 21111 1 11 2 ffyf x f yffy yyx z 222111 2 22122111 21 21 2 2 2ffxfx fxffxfx y f y f xfxf yy z 班级 学号 姓名 8 13 设zyxzyx32 32sin 2 证明 1 y z x z 证 zyxzyxzyxF32 32sin 2 设 3 3 32cos 2 132cos2 zyx zyx F F x z z x 3 3 32cos 6 232cos4 zyx zyx Fz F y z y 1 32cos 63 332cos6 zyx zyx y z x z 14 设 222 y z yfzyx 其中f可导 求 y z x z 解 y z yfzyxzyxF 222 设 z y z f x yy z f yz x F F x z z x 2 2 1 2 2 yz y z fy y z fz y z yfy z y z f y z y z fy y z fy F F y z z y 2 2 2 2 2 2 P42 习题 6 6 1 求下列函数的极值 1 xyyxyxf3 33 1 10 0 033 033 2 2 驻点解 解方程组 xyfy yxfx yffxf y yyxxx 6 3 6 没有极值处 在点 090 0 2 BAC 1 1 1 06 0271 1 2 fABAC取得极小值 且处 在点 班级 学号 姓名 9 4 欲围一个面积为 60 2 米的矩形场地 正面所用材料每米造价 10 元 其余三面每米造价 5 元 求场地的长 宽各为多少米时 所用材料费最少 解 设场地正面长为x米 宽为y米 则所用材料费为 yxyxxyxf10152510 所求问题归结于讨论 f x y在约束60 xy 下的极值 构造拉格朗日函数 60 1015 xyyxyxL 唯一驻点 解方程组103 102 060 010 015 xyL xL yL y x 则当场地长宽分别为102米及103米时 所用材料费最少 5 某工厂生产两种A与B产品 出售单价分别为 10 元与 9 元 生产x单位的产品与生产y 单位的产品的总费用是 33 01 032400 22 yxyxyx 元 求取得最大利润 时两种产品的产量 33 01 032400 910 22 yxyxyxyxyxL 解 利润 4006803 001 003 0 22 yxyxyx 令 解方程得唯一驻点 80 120 0606 001 0 0801 006 0 yxL yxL y x 由题意可知 当产品 A B 产量分别为 120 和 80 时 可获得最大利润 7 设生产某种产品的数量与所用两种原料A B的数量yx 间有关系式 yxyxP 2 005 0 欲用 150 元购料 已知A B原料的单价分别为 1 元 2 元 问购进两种原料各多少 可使 生产的数量最多 解 所求问题是讨论 P x y在约束2150 xy 下的最值 构造拉格朗日函数 1502 005 0 2 yxyxyxL 班级 学号 姓名 10 解 唯一驻点 25 100 01502 02005 0 001 0 2 yxL xL xyL y x 则当购进 A 原料 100 B 原料 25 时 又使生产的数量最多 P47 习题 6 7 1 利用二重积分定义证明 1 D d 为区域D的面积 证 被积函数 f x y 1 由二重积分的定义 对区域 D 任意分割和取点 有 0 1 0 1 0 lim1lim lim1 n i n i ii D iiyfd D id中的最大直径 是各其中 8 估计二重积分的值 2 dyx D 94 22 其中D是圆形闭区域 4 22 yx 2222 9494925xyxy 解 又积分区域D的面积 4 22 36949 25100 D xyd P56 习题 6 8 1 计算下列二重积分 1 ydx D 22 sinsin 其中 yxD0 0 2 000 2222 sinsinsinsinsin 解 xdxydyxdxydx D 2 0 2 2cos1 dx x 4 2sin 4 1 2 2 0 x x 2 dyx D 23 闭区域D由坐标轴与2 yx所围成 xy x D 20 20 解 积分区域 班级 学号 姓名 11 222 22 0 000 32 3 x x dxxy dyxyydx 原式 2 2 223 0 0 220 2244 33 xxdxxxx 2 画出积分区域 并计算下列二重积分 2 d x x D sin 其中D是由2 2 x x yxy所围成的区域 22 00 2 2 sinsinsin x x x x D xxx ddxdyy dx xxx 解 2 2 0 0 111 sincos 1 cos2 222 xdxx 3 dex y D 2 2 其中D是以 1 0 1 1 0 0 为顶点的三角形闭区域 2222111 2232 0000 11 36 y yyyy D x eddyx edxyedyy de 解 221 212 0 0 112 1 66 yy y eedy e 3 改变下列二次积分的积分次序 1 1 00 y dxyxfdy 11 0 1 0 1 10 0 10 x dyyxfdxdxyxdyf yx x x xx y yD型型 解 积分区域 2 ex dyyxfdx 1 ln 0 011 0ln y yxe XY yxexe 解 型型 1 0 y e e d yy fx y d x 原式 班级 学号 姓名 12 4 设是D由不等式1 yx所确定的有界闭区域 求二重积分dxdyyx D x x DD D xdydxxdxdydxdyx ydxdy 1 1 1 0 22 0解 由对称性 3 2 32 4 4 1 0 32 1 0 2 xx dxxx 3 2 dxdyyx D 11 求由曲面 22 2yxz 及 22 26yxz 所围立体的体积 于是为 积分区域两曲面的交线为 为 开口向下 下顶面解 该立体上顶面为 2 2 226 2222 2222 yxDyx yxzyxz 2222 6 2 2 D Vxyxyd 2222 3 2 3 2 DD xydxyd 4 22 2222 00 00 3 2 3 6 4 r drrdrr P61 习题 6 9 2 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分 1 aya dxyxfdy 00 22 22 2 0000 cos sin aaya dyf x y dxdf rrrdr 解 3 利用极坐标计算下列二重积分 1 de D yx 22 其中是D由9 22 yx所围成的闭区域 22222233 2239 00 000 1 1 2 xyrrr D edderdredree 解 2 dyx D 22 其中是D由axyx2 22 与x轴所围成的上半部分闭区域 班级 学号 姓名 13 解 积分区域 0 02 cos 2 Dra 2 cos 22244 22 000 4cos a D xyddrrdrad 44 3 13 4 4 2 24 aa 3 dyx D 1ln 22 其中是D由4 22 yx与坐标轴所围成的在第一象限内 的闭区域 2 222 2 00 ln 1 ln 1 D xyddrrdr 解 2 22 2 0 0 1 ln 1 1 2 rdr 2 2222 0 2 0 2 1 ln 1 1 5ln54 414 r rrrdr r 4 dyx D 22 sin 其中是D由xyxyyxyx2 4 222222 所围 成在第一象限内的闭区域 解 积分区域 arctan2 2 4 Dr arctan222 22 4 sinsin arctan2 cos 4 D xy ddrrdrrdr 2 2 arctan2 coscos 3 arctan2 44 rrdr P73 习题 7 1 1 写出下列级数的前五项 3 1 1 3 1 n n n 2345 11111 33333 解 2 写出下列级数的一般项 1 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 n n u n n 1 1 1 解 4 判别下列级数的收敛性 1 9 8 1 9 8 9 8 9 8 3 3 2 2 n n n 班级 学号 姓名 14 17 8 9 8 1 9 8 1 1 9 8 q a s qq 则和 有式比解 此为等比级数 公 4 1 2 1 cos1 n n n 222 11 lim 1 cos lim2sin 2 nn nn nn 解 2 1 sin 11 2 lim 0 1 22 2 n n n 所以原级数发散 P81 习题 7 2 1 用比较判别法或其极限形式判别下列级数的收敛性 1 1 2 1 1 n n n 发散为发散性 则原级数也由调和级数 解 1 2 1 1 1 1 lim 1 lim n n n n n n nn n u 4 11 1 nnn 3 2 111 1 n u n nn n n 解 而级数 3 1 2 13 1 2 n n 收敛 所以原级数也收敛 5 1 2 sin n n 班级 学号 姓名 15 s i n 2 l i ml i m 1 22 n n nn nn u 解 而几何级数 1 1 2n n 收敛 所以原级数也收敛 2 用比值判别法判别下列级数的收敛性 1 1 2 3 n n n n 数 发 散由 比 值 判 别 法 知 原 级 解 1 2 3 3 2 2 1 3 limlim 1 1 1 n n n n n n n n n nu u 4 4 5 3 5 2 5 1 32 1 1 5 limlim01 1 5 n n n nn n un un 解 所以原级数收敛 3 用根植判别法判别下列级数的收敛性 4 1 2 1 3 n n n n n 原级数发散 解 1 3 1 1 3 lim 1 3 limlim e nn n u n n n n n n n n 5 若 1 2 n n a 1 2 n n b收敛 证明下列级数也收敛 1 1n nnb a 收 敛由 比 较 判 别 法 知 该 级 数 解 2 1 22 nnnn baba 班级 学号 姓名 16 2 2 1 n n n ba 收敛由比较判别法知该级数 解 22 2 2 0 nnnnnn bbaaba 3 1n n n a 收敛既得 中取解 在 11 1 1 n n n nn n n a ba n b P85 习题 7 3 1 判别下列级数的收敛性 若收敛 是条件收敛还是绝对收敛 1 1 1 1 1 n n n 解 易见 11 11 1 2 n nn up n 发散 利用莱布尼兹定理 有 1 111 l i ml i m0 1 nnn nn uuu nnn 故原交错级数收敛 即为条件收敛 2 1 1 3 1 n n n n 从 而 原 级 数 绝 对 收 敛 收敛故绝对值级数 解 1 1 1 1 3 13 3 1 limlim n n n n n n n n u n n u u 3 1 2 1 sin n n na 班级 学号 姓名 17 解 22 sin1 1 1 n na u nn 而级数 2 1 1 21 1 n p n 收敛 所以原级数绝对收敛 5 若 1n n a和 1n n b绝对收敛 证明下列级数也绝对收敛 1 1 n nn ba 绝对收敛所以而 收敛 知收敛 由收敛级数性质绝对收敛 则和证 因为 1 11111 n nnnnnn n n n n n n n n n n n bababa bababa P93 习题 7 4 1 求下列幂级数的收敛域 2 1 3 n n n n x 故 原 级 数 的 收 敛 域 为 收敛 时 级数为当 发散时 级数为当 解 3 3 1 3 1 3 3 3 3 1 limlim 1 1 1 1 n n n n n n n n n n x n x n n a a R 8 1 5 n n n x 班级 学号 姓名 18 域为综上所述 原级数收敛 发散时 级数成为当 此莱布尼茨级数收敛时 级数成为当 即收敛区间为 原级数成为令 6 4 1 6 1 4 6415111 1 1 limlim 5 1 1 1 1 n n n n n n n n n n x n x xxy n n a a R n t xt 2 求下列幂级数的收敛半径 1 1 1 n n n x n n 1 1 1 2 2 l i ml i ml i m 1 1 1 n n n n nnn n annn R annn 解 e R e n n 11 1n 1 1lim 1 收敛半径 4 求下列幂级数的和函数 1 1 1 n n nx 解 收敛半径 1 limlim1 1 n nn n an R an 当1x 时 易见级数发散 则收敛区间为 1 1 设和函数 1 1 n n S xnx 先积分得 11 000 111 1 xxx nnn nnn x S x dxnxdxnxdxx x 再两边求导得 2 1 11 1 1 x S xx xx 班级 学号 姓名 19 3 1 12 12 n n n x 1 1 1 ln 2 1 1 1 12 1 1 1212 0 2 1 12 2 1 2 1 12 1 12 x x x dx xn x x x n x n x x n n n n n n n n 再积分得 先求导 P101 习题 7 5 1 将下列函数展开成的幂级数 并求其成立的区间 1 ln xaxf 1 1 0 ln 1 lnln 1 ln 1 1 n n n n xx f xaa aa x a na 解 收敛域为 11 x axa a 2 2 x exf 0 n x n x e n 解 由 有 2 2 0 n x n x ex n 4 xxf 2 cos 2 2 0 1cos2112 cos 1 222 2 n n n xx x n 解 21 2 0 12 2 2 nn n n xx n 1 6 将函数 x x xf 1 1 arctan 展开成x的幂级数 2 2 0 1 1 11 1 nn n fxxx x 解 由 班级 学号 姓名 20 221 00 00 1 0 1 21 n xx nnn nn f xffx dxx dxx n 0 arctan1 4 f 又 21 0 1 1 arctan 11 1421 n n n x xx xn 故 P110 习题 8 1 5 x exCCy 21 21 C C是任意常数 是方程02 yyy的通解 求满足初始条 件2 4 0 0 x x yy的特解 6 设函数 1 2 xuxy 是方程 3 1 1 2 xy x y的通解 求 xu 班级 学号 姓名 21 P117 习题 8 2 1 求下列微分方程的通解 1 0ln yyxy 2 0 1 1 22 dyxydxyx 3 01 2 dyxxydx 2 求下列齐次方程的通解 3 0cos cos dy x y xdx x y yx 4 x y ey x y 3 求下列初值问题的解 2 2 1 x y x y y x y P123 练习 8 3 1 求下列微分方程的解 1 42xxy dx dy 2 2 1 2 xy xdx dy 4 2 2 42 1 xxyyx 班级 学号 姓名 22 2 求下列微分方程满足初始条件的特解 1 2 83 0 x yy dx dy P129 练习 8 5 1 判断下列各组函数是否线性相关 1 32 x x 2 验证xy cos 1 及xy sin 2 都是方程0 2 yy 的解 并写出方程的通解 P133 练习 8 6 1 求下列微分方程的通解 1 065 yyy 2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 1 0 2 044 0 0 x x yyyyy P138 练习 8 7 1 下列微分方程具有何种形式的特解 班级 学号 姓名 23 1 54 xyyy 2 xyy 4 3 2 x eyy 2 求下列微分方程的通解 1 32 2 xyyy 3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 1 2 1 523 0 0 x x yyyyy 2 1 0 4 0 0 x x x yyxeyy 班级 学号 姓名 24 P156 练习 8 9 1 求下列函数的一阶差分和二阶差分 1 2 21ty 2 确定下列方程的阶 1 23 1 2 3 xxx yyxy 5 求下列差分方程的通解 3 2 1 62tyy tt 8 求下列二阶差分方程的通解和特解 3 122 12 ttt yyy 0 0 10 yy 4 tyyy ttt 45 12 班级 学号 姓名 25 装装 订订 线线 内内 禁禁 止止 答答 题题 提示 考试作弊将取消该课程在校期间的所有补考资格 作结业处理 不能正提示 考试作弊将取消该课程在校期间的所有补考资格 作结业处理 不能正 常毕业和授位 请诚信应考 常毕业和授位 请诚信应考 注意事项 1 答案一律做在答题卷上 2 请写上学院 班级 学号和姓名 一 选择题 共 5 题 每小题 3 分 共 15 分 电子科技大学中山学院考试试题卷电子科技大学中山学院考试试题卷 课程名称课程名称 微积分微积分 IIII 文 文 试卷类型 试卷类型 B B 卷卷 2012011 1 2012012 2 学年第学年第 2 2 学期学期 期末期末 考试考试 考试方式 考试方式 闭卷闭卷 拟题人 拟题人 日期 日期 20122012 5 5 2323 审审 题题 人 人 学学 院 院 班班 级 级 学学 号 号 姓姓 名 名 班级 学号 姓名 26 1 微分方程 2 240 x yyx 的阶数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 差分方程 52 537 tt yy 的阶数是 A 1 B 2 C 3 D 4 3 设 xy zedz 则 A xy ye dx B xy xe dy C xyxy ye dxxe dy D xyxy xe dxye dy 4 改换二次积分次序 11 00 x dxf x y dy A 11 00 y dyf x y dx B 11 00 x dyf x y dx C 11 00 dyf x y dx D 11 00 y dyf x y dx 5 微分方程 2 443 x yyyxe 的特解形式 y为 A 2 yx axb B 22 x yx axb e C 2 x yx axb e D 2 x yaxb e 二 填空题 共 5 题 每小题 3 分 共 15 分 1 设 22 2 xy f x y xy 则 1 y f x 2 0 2 sin2 lim x y xy x 3 y z zx y 设则 4 级数 1 1 0 p n p n 收敛 则 p 满足的条件是 5 微分方程 3 20yyy 的通解是 三 计算题 每小题 6 分 共 18 分 1 设 22 3 zxxyy 求 2 zzz xyx y 班级 学号 姓名 27 2 设 x zfx y 其中f可微 求 y z x z 3 设函数 zz x y 由方程0 z exyz 所确定 求 zz xy 四 每小题 6 分 共 18 分 1 判断级数 1 1 3n n n 的收敛性 2 级数 1 1 1 1 1 n n n 是绝对收敛 条件收敛 还是发散 3 求幂级数 1 1 n n nx 的收敛域与和函数 五 求表面积为 2 a而体积最大的长方体的体积 提示 可用拉格朗日乘数法来解 6 分 六 求解下列微分方程 每小题 7 分 共 14 分 1 求一阶线性微分方程 5 2 2 1 1 yyx x 的通解 2 求二阶微分方程230 0 1 0 0yyyyy 的特解 七 计算下列积分 每小题 7 分 共 14 分 1 计算 D xydxdy 其中D是由点 0 0 1 0 1 1 所围成的闭区域 2 利用极坐标系计算 22 xy D ed 其中D是由 22 4xy 所围成的圆型闭区域 班级 学号 姓名 28 电子科技大学中山学院试题标准答案及评分标准电子科技大学中山学院试题标准答案及评分标准 2011 2011 20122012 学年第学年第 2 2 学期 学期 课程名称 微积分 II 文 考试班级 经管 化生学院 11 级各班 试题套数 命 题 人 送题时间 2012 05 28 考试形式 闭卷 基 本 要 求 对填空题 选择题 判断题等客观类题目的答案须做到答题标准唯一 简述 题 论述题 分析题等主观类题目的答案 须提供 答题要点 或 评分标准 标准答案及评分细则 B B 卷卷 一 选择题 共 15 分 每小题 3 分 1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 班级 学号 姓名 29 1 22 2xy xy 2 4 3 ln y xx 4 1p 5 2 12 xx yC eC e 三 计算题 每小题 6 分 共 18 分 1 6 分 解 23 32 zz xyxy xy 2 3 z x y 6 2 6 分 解 令 x uvx y 1 12y zfuf ff xuxx 3 1 2 zfux f yuyy 6 3 6 分 解 令 z F x y zexyz x Fyz y Fxz z z Fexy x zz z Fzyzyz xFexyexy 4 y zz z F zxzxz yFexyexy 6 四 每小题 6 分 共 18 分 1 解 1 1 2 31 limlim1 313 n n n nn n un un 5 所以 1 1 3n n n 收敛 6 2 解 1 11 11 1 11 n nn nn 发散 3 令 1 1 n u n 则 1nn uu 且lim0 n n u 所以 1 1 1 1 1 n n n 收敛 故 1 1 1 1 1 n n n 条件收敛 6 班级 学号 姓名 30 3 解 令 n an 则 1 1 limlim1 n nn n an an 于是收敛半径1R 当 x 1 时 1 1 1 n n n 发散 当 x 1 时 1n n 发散 收敛域为 1 1 3 令 1 1 n n s xnx 则 1 00 11 1 xx nn nn x s xnxx x 2 1 1 1 x s x xx 1 1 x 6 五 6 分 解 设长 宽 高分别是 x y z 则 2 222 L x y zxyzxyyzxza 2 2 2 0 2 0 2 0 222 x y z Lyzyz xxz Lxzxz yyz Lxyxyyxy zxz xyyzxza 即 6 6 a xyz 666 666 aaa 长为宽为 高为时 体积最大 6 六 六 求下列方程的解 每小题 7 分 共 14 分 1 解 方程 2 0 1 y y x 解为 2 1 yC x 3 原方程解设为 2 1 yu x x 则有 2 1 2 1 yu x xu x x 代入原方程得 1 2 1 u xx 32 2 1 3 u xxC 所以 原方程通解为 3 2 2 2 1 1 3 yxxC 7 2 解 23 12 2301 3 xx rrryCeC e 特征方程 通解 4 3 12 3 0 1 0 0 xx yCeC eyy 代入 班级 学号 姓名 31 装装 订订 线线 内内 禁禁 止止 答答 题题 3 12 3131 4444 xx CCyee 得 特解 7 七 计算下列积分七 计算下列积分 每小题 7 分 共 14 分 1 1 解 解 D xydxdy 1 00 x dxxydy 4 1 2 0 0 1 2 x xydx 1 3 0 1 2x dx 1 8 7 2 解 令 cos02 sin02 xrr yr 22 xy D ed 222 00 r de rdr 4 2 44 0 1 1 1 2 ede 7 注意事项 1 答案一律做在答题卷上 2 请写上系别 班级 学号和姓名 一 一 选择题 共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 电子科技大学中山学院考试试题卷电子科技大学中山学院考试试题卷 课程名称课程名称 微积分 文本 试卷类型 试卷类型 A A 卷卷 202010 10 202011 11 学年度第学年度第 2 2 学期学期 考试方式 考试方式 闭卷闭卷 拟题人 拟题人 审审 题题 人 人 系别 系别 班班 级 级 学号 学号 姓姓 名 名 班级 学号 姓名 32 1 方程4 22 yx在空间直角坐标系中表示 A 圆 B 圆柱面 C 球面 D 平面 2 9 3 lim 2 1 3 xy xy yx A 不存在 B 0 C 3 1 D 6 1 3 改换二次积分的积分次序 dyyxfdx x 1 0 0 2 A dxyxfdy y 1 0 0 2 B dxyxfdy y 1 0 0 C dxyxfdy y 1 0 1 D dxyxfdy y 1 0 1 4 下列方程中 哪一个是可分离变量的微分方程 A dyydxxdy B 2 2 y xxy dx dy C 12 xyy D xyyx 5 用待定系数法求微分方程 x xeyy 的特解时 特解 y 可能的形式是 A x yaxb e B yaxb C x ebaxxy 2 D x yx axb e 二二 填空题 共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 1 设 3 2 xyyxfz 则 z x 2 若级数 1 1 1 n p n 收敛 则p的取值范围是 3 幂级数 n n n x n 1 2 1 1 的收敛域是 4 差分方程 121 352 ttt yyy的阶数是 5 一阶差分方程 1 2 1 1 tt yy 的通解是 班级 学号 姓名 33 三 每小题 6 分 共 18 分 1 设 y x yxz 2 求 z x 2z x y 2 设 zy yexu 3 2sin 求全微分 du 3 设方程83 3 xyzz 确定一个二元函数 zz x y 求 1 0 x z 四 判断下列级数的敛散性 每小题 4 分 共 8 分 1 1 2 1 2 n n n 2 1 2 3 n n n 五 每小题 6 分 共 12 分 1 级数 1 3 1 1 1 n n n 是绝对收敛 条件收敛 还是发散 2 求幂级数 1n n n x 的收敛域与和函数 六 将周长为 12 厘米的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体 问矩形的边长 各为多少时 方可使圆柱体的体积为最大 提示 可用拉格朗日乘数法来解 6 分 七 每小题 7 分 共 14 分 1 求一阶线性微分方程 x xey xdx dy 1 的通解 2 求二阶线性微分方程 02 yy 2 3 00 xx yy 的特解 八 每小题 6 分 共 12 分 1 计算 d x d yy D 12 其中 D 由1 2 xxy及轴x所围成的区域 2 利用极坐标系计算 D dxdyyx 4 22 其中 D 是圆形闭区域16 22 yx 班级 学号 姓名 34 电子科技大学中山学院试题标准答案及评分电子科技大学中山学院试题标准答案及评分标准标准 20201010 20201111 学年第学年第 2 2 学期 学期 课程名称 微积分 考试班级 10 级本科 文 试题套数 A 卷 1 命题人 送题时间 2011 6 12 考试形式 闭卷 基 本 要 求 对填空题 选择题 判断题等客观类题目的答案须做到答题标准 唯一 简述题 论述题 分析题等主观类题目的答案 须提供 答题 要点 或 评分标准 A 卷 标准答案及评分细则 班级 学号 姓名 35 一 选择题 共 5 题 每小题 3 分 共 15 分 1 B 2 D 3 D 4 A 5 D 二 填空题 共 5 题 每小题 3 分 共 15 分 1 21 32yff x z 2 2 p 3 3 1