材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章

第第 9 章章 压杆稳定压杆稳定 思考题思考题 9 1 压杆失稳是指压杆处于什么状态 答答 压杆失稳是指压杆直线形态的平衡开始丧失的状态 9 2 压杆临界力的物理意义是什么 影响临界力大小的因素有哪些 cr F 答答 压杆临界力的物理意义是压杆保持微小弯曲的最小压力 9 3 为什么说欧拉公式有一定的适用范围 超出这一范围时 应如何求压杆的临界 力 答答 欧拉公式只适用于压杆横截面上应力小于比例极限的条件 即压杆的 p 2 E 大 柔读杆 对于压杆横截面上应力大于比例极限的 采用经验公式 直线公式或抛物线公式 计算临界力 9 4 何谓柔度 它的量纲是什么 它与压杆的哪些因素有关 答答 柔度 长细比 是 1 个量纲为一的量 i l 它集中反映了压杆的长度 l 约 束条件 截面尺寸和形状 i 等因素对临界应力 cr 的影响 9 5 如何区分大柔度杆 中柔度杆与小柔度杆 它们的临界应力如何确定 如何绘制临 界应力总图 答答 1 柔度 p 2 E 的称大柔度杆 ps 其中 b a s s p 2 p E 的称中柔度杆 s 的称小柔度杆 2 大柔度杆的临界应力 2 2 cr E 中柔度杆的临界应力 ba cr 或 2 11cr ba 小柔度杆的临界应力 对塑性材料 s 时 临界应力 scr 对脆性材料 b 时 临界应力 bcr 3 横轴表示柔度 纵轴表示临界应力 若用直线公式 则将 scr ba cr 和 2 2 cr E 三条线依次画出即可 若用抛物线公式 则将和 2 11cr ba 2 2 cr E 依 次画出即可 9 6 计算中小柔度压杆的临界力时 若误用欧拉公式计算其临界力 其后果如何 是偏 于安全 还是偏于不安全 答答 偏于不安全 9 7 如果细长压杆可在不同方向失稳 1 若在不同方向杆端支承情况相同时 压杆截 面的惯性矩如何要求有利 2 若在不同方向杆端支承情况不同时 压杆又应如何要求有 利 答答 1 若在不同方向杆端支承情况相同时 压杆截面的惯性矩要求基本相等较有利 2 若在不同方向杆端支承情况不同时 压杆要求其相应方向惯性矩 I 与约束值的 2 127 比值差不多时较有利 9 8 从稳定性的角度考虑 一般压杆截面的周边取圆形较为合理 但可以是空心或实 心的 如规定压杆横截面面积相同 则 1 从强度方面看 它们有无区别 为什么 2 从稳定性方面看 哪一种截面形式较为合理 为什么 3 如果空心圆形截面较合理的话 是否其内 外半径越大越好 答答 1 从强度方面看 它们无区别 因为AF 2 从稳定性方面看 空心截面形式较为合理 因空心截面惯性矩较大 3 如果空心圆形截面较合理的话 其内 外半径不是越大越好 因为在面积一定的情 况下 内 外半径太大了会造成薄壁失稳 9 9 如何进行压杆的合理设计 答答 1 选择合理的截面形状 2 改变压杆的约束条件 3 合理选择材料 9 10 满足强度条件的等截面压杆是否满足稳定性条件 满足稳定性条件的压杆是否 满足强度条件 为什么 答答 1 因为强度条件是 n u 而稳定性条件是 n p 又 up 故满足强度条件的等截面压杆不一定满足稳定性条件 2 满足稳定性条件的等截面压杆一般能满足强度条件 理由见 1 9 11 为什么说理想细长等直轴向受压的临界力是实际压杆临界力的上限值 答答 因为理想细长等直轴向受压是近似实物模型 与理想状态有误差 表现在细长等直 轴有形位公差 不是绝对直 绝对等截面 受压力不是绝对共线 对心 即偏心产生弯矩 等 这些因数会使实际压杆临界力下降 9 12 图示一端固定 另一端弹性支承的压杆的长度因数的范围是多少 提示 与一端 固定 另一端自由和一端固定 另一端铰支的压杆比较 思考题 9 12 图 答 答 长度因数范围 27 0 128 习习 题题 9 1 两端球形铰支的压杆 选用22a工字钢 材料弹性模量GPa 200 E 杆长 试用欧拉公式求其临界力 m 5 l cr F 解解 查附录 D 22a 工字钢 48 m10225 I kN178 5 1022510200 2 892 2 2 cr l EI F 9 2 图示各等圆截面杆的材料和横截面面积均相同 请问哪一根杆能承受的压力最大 哪一根的最小 图 e 所示杆在中间支承处不能转动 解解 2 2 cr 5 a EI F 2 2 cr 77 0 b EI F 2 2 cr 95 0 c EI F 2 2 cr 22 d EI F 2 2 cr 57 0 e EI F 2 2 crcrcrcrcr 2 2 5 3 edcba 5 EI FFFFF EI p 3 6 9 pp 125 10 4 8 25 01 9 92 10240 10210 i l E N6686 250 064 108 210 2 1242 2 2 cr l EI F st cr 79 3 7601 6686 n F F n 安全 9 4 三根圆截面压杆 直径均为mm 160 d 两端均为球铰铰支 长度分别为 和 且 材 料 为 Q235 钢 1 l 2 l 3 lm 542 321 lllGPa 206 E MPa 235 s 129 aMP 200 p 求各杆的临界压力 cr F 解解 101 200 206 p p E 6 61 12 1 235304 s s b a p 3 11 1 125 10160 5144 d l i l 属细长杆 p 12 2 5 62 2 i l i l p2s 属中长杆 25 31 4 13 3 i l i l s3 dD l i l kN37 9 5 264 10223001210 64 2 122293 2 443 2 2 cr l dDE l EI F kN49 7 3 1037 9 417 0 1 417 0 1 417 0 3 st cr n FF F 9 7 在图示铰接杆系中 ABCAB和皆为细长压杆 且截面 材料相同 若因在 平面内失稳而破坏 并规定 BC ABC2 0 求为许用最大值时的F 值 解解 当杆 AB BC 同时达到临界载荷时 F 为最大 设 AC 距离为 则杆 BC 的临界力为 l sin sin 2 2 cr1 F l EI F a 杆 AB 的临界载荷为 cos cos 2 2 cr2 F l EI F b 由式 a b 得 2 cottan 2 cotarctan 9 8 自制简易起重机如图所示 其压杆BD为 20 号槽钢 材料为 Q235 钢 起重机的 最大起重量是 稳定安全因数kN 40 P5 st n 试校核杆BD的稳定性 解解 设杆 BD 承受的轴向压力为 F 则由0 A M得 m2m5 130sin WF kN7 1061040 5 1 22 3 F Q235 钢 100 p 131 查附录 D 20b 槽钢 2 cm833 32 Acm09 2 min i p 2 min 9 82 30cos1009 2 5 11 n F F n 安全 9 9 图示的简单构架承受均布载荷kN m 50 q作用 撑杆AB为圆截面木柱 材料的 许用应力MPa 11 试设计杆AB的直径 解解 m38 14 2 22 AB l m2 3 CD l 令 AB FF 0 C M 2 2 1 4 2sinqlFAB kN178 26 04 2 102 350 32 AB F 1 第一次试算 设6 0 1 则 4 2 1 1 1 dF A mm185m10185 10110 6 101784 4 3 6 3 1 1 F d 659 64 10185 344 3 1 1 d l 线形插值查表 9 3 得622 0 1 取 611 0 2 622 06 0 2 11 2 m183 0 10110 611 101784 4 6 3 2 2 F d 57 65 183 0 344 2 2 d l 插值查表 9 3 得613 0 2 取 612 0 2 22 3 m183 0 10110 612 101784 4 6 3 3 3 F d 因此取 m183 0 d 132 9 10 求可以用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度 如果杆分别由下列材料制成 1 比例极限MPa 220 p 弹性模量GPa 190 E的钢 2 比例极限MPa 20 p 弹性模量GPa 11 E的松木 解解 1 3 92 10220 10190 6 9 p p E 2 7 73 1020 1011 6 9 p p E 9 11 图示下端固定 上端自由的工字钢立柱 承受轴向压力kN 100 F作用 立柱 高度 材料的许用应力m 2 1 lMPa 150 试按折减因数法选择工字钢型号 解解 1 第一次试取4 0 1 2 6 3 1 cm67 16 101504 0 10100 F A 试选 12 6 号工字钢 得 2 1 cm118 18 Acm61 1 1 i 149 1061 1 2 12 2 1 i l 查表 310 0 10 366 0349 0 306 0149 1 2 6 3 1 1 cm50 21 10150310 0 10100 F A 2 改选 14 号工字钢 得 2 2 cm516 21 Acm73 1 2 i 139 1073 1 2 12 2 2 i l 344 0 10 349 0401 0 349 0 2 2 6 3 2 2 cm38 19 10150344 0 10100 F A 比较后 取 14 号工字钢一定能满足要求 9 12 长m 5的 10 号工字钢 在温度为 0 时安装在两个固定支座之间 这时杆不受力 133 已知钢的线膨胀系数 110125 7 GPa 210 E 求当温度升高至多少度时 杆将 丧失稳定性 解解 10 号工字钢 cm52 1 2 i5 0 Tl EA Fl TE A F 2 2 E i l C2 29 55 010125 1052 1 2 7 2 22 2 22 l i T 9 13 图示刚性杆AB 在点C处由 Q235 钢制成的杆 支持 已知杆 的直径 材料的mm 50 dMPa 200 p GPa 206 E 求 1 A 处能施加的最大载荷为多少 F 2 若在 D 处再设置一根与杆 条件相同的杆 则 A 处能施加的最大载荷 F 又为多 少 a b c d 解解 1 图 b 0 B M F a aF F4 4 1 p 240 05 0 344 d l i l 2 2 1 l EI F 2 2 4 l EI F 134 kN3 17 6434 1050 01206 2 12492 F 2 图 c 0 B M 2 524 212 aFaFaFaF a 由图 d 变形谐调得 b 12 2FF 由式 a b 得 F l EI F 5 8 2 2 2 杆 先达临界失稳 c 2 2 8 5 l EI FkN3 43 6438 1050 012065 2 12492 9 14 刚性杆OCD的左端为固定铰支座 在C截面处由两根钢杆支承 已知钢杆和 的两端均为球铰铰接 长度 横截面为边长 AC BCm 1 lmm 20 a的正方形 材料的弹性 模量 比例极限GPa 200 EMPa 200 p 求能施加在刚性杆端的最大载荷 D max F 解解 设结构只在图示平面内失稳 显然杆 AC CB 受压力相等 设为 则 cr F 0 O Mm2m145cos2 cr FF FF2 cr 173 10200 10002 6 9 p p E p 3 2 4 173 1020 1212 12 1111 a a a AIi l F l EI F2 2 2 cr 12 4 a I 2 2 2 l EI FkN18 6N106 18 1212 102001200 3 2 12492 9 15 已知图 a 所示结构中梁和柱的材料均为 Q235 GPa 206 E MPa 200 p MPa235 s 求梁和柱的工作安全因数 a 135 kN S F mkN M A B C b 解解 1 求杆 CD 所受轴力 CD F EI ql w AB C 384 5 4 1 EI lF w ABCD C 48 3 2 0 21 CC ww 因杆 CD 压缩变形相对梁弯曲挠度小得多 故未计杆 CD 压缩变形 0 48384 5 34 EI lF EI ql ABCDAB kN012 8 5 AB CD ql F 2 梁 AB 的强度验算 由梁 AB 平衡得 kN36 BA FF mkN24284 2 1 236 2 C M mkN24 max C MM 16 号工字钢 46 m10141 z W MPa170 10141 1024 6 3 max z W M C yyC C z z 38 1170 235 maxs n 3 柱 CD 稳定性校核 每个等边角钢由型钢表中查得 56363 m1094 1m 1014 6 24 zCyC iiA 此组合截面 而 于是 zy II kN5 235 21 1017 23210206 2 892 2 min 2 cr l EI F 96 1 kN120 kN5 235 cr CD F F n 9 16 图示结构由三根直径均为的圆截面钢杆组成 在点ABCDdB铰支 而在点A 和点C固定 为铰接结点 D 10 dl 若此结构由于