概率论与数理统计6

数理统计 对随机现象进行观测 试验 以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理 分析 作出推断 决策 从而找出所研究的对象的规律性 第六章数理统计的基本概念 第六章 参数估计 第七章 假设检验 第八章 回归分析 第十一章 方差分析 第九章 推断统计学 总体 研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个 或某些 数量指标的全体 它是一个随机变量 或多维随机变量 记为X X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征 6 1基本概念 6 1 样本 从总体中抽取的部分个体 称为总体X的一个容量为n的样本观测值 或称样本的一个实现 用表示 n为样本容量 样本空间 样本所有可能取值的集合 个体 组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标 可看作随机变量X的某个取值 用表示 若总体X的样本满足 一般 对有限总体 放回抽样所得到的样本为简单随机样本 但使用不方便 常用不放回抽样代替 而代替的条件是 1 与X有相同的分布 2 相互独立 则称为简单随机样本 简单随机样本 N n 10 设总体X的分布函数为F x 则样本 若总体X的密d f 为f x 则样本 的联合d f 为 的联合分布函数为 设是取自总体X的一个样本 为一实值连续函数 且不含有未知参数 称 定义 例是未知参数 若 已知 则为统计量 是一样本 是统计量 其中 则 常用的统计量 为样本均值 为样本方差 为样本标准差 为样本的k阶原点矩 为样本的k阶中心矩 例如 5 顺序统计量与极差 为样本值 且 定义r v 其中 注样本方差与样本二阶中心矩的不同 故 推导 2 例1从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件 测得其重量为 单位 公斤 210 243 185 240 215 228 196 235 200 199求这组样本值的均值 方差 二阶原点矩与二阶中心矩 解 令 例1 则 例2在总体中 随机抽取一个容量为36的样本 求样本均值落在50 8到53 8之间的概率 解 故 例2 例3设总体X的概率密度函数为 为总体的样本 求 2 3 解 1 例3 近似 3 由中心极限定理 2 确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一 正态总体是最常见的总体 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言 6 2 1 正态分布 则 特别地 则 标准正态分布的 分位数 正态分布的上 分位数 定义 正态分布的双侧 分位数 若 则称为标准 若 则称 为标准 标准正态分布的 分位数图形 常用数字 z 2 z1 2 2 分布 n为自由度 且都服从标准正态分布N 0 1 则 n 1时 其密度函数为 卡分布 n 2时 其密度函数为 为参数为1 2的指数分布 一般 其中 在x 0时收敛 称为 函数 具有性质 例如 分布的性质 n 10 性质 性质 性质 性质 相互独立 则 3 t分布 Student分布 定义 则称T服从自由度为n的T分布 其密度函数为 t分布 t分布的图形 红色的是标准正态分布 t分布的性质 1 fn t 是偶函数 2 T分布的上 分位数t 与双测 分位数t 2均有表可查 性质 t t t 2 t 2 4 F分布 则称F服从为第一自由度为n 第二自由度为m的F分布 其密度函数为 定义 令 F分布 m 10 n 4m 10 n 10m 10 n 15 m 4 n 10m 10 n 10m 15 n 10 F分布的性质 例如 事实上 故 求 性质 例1证明 证 例1 证 例2 证明 设 令 例2 抽样分布的某些结论 一个正态总体 设总体 样本为 结论 II 两个正态总体 相互独立的简单随机样本 令 则 则 相互独立的简单随机样本 的概率不小于90 则样本容量至少取多少 例3设 为使样本均值大于70 解设样本容量为n 则 故 令 得 即 所以取 例3 n 20的样本 1 求 2 求 解 1 即 例4 故 2 故 例5设r v X与Y相互独立 X N 0 16 Y N 0 9 X1 X2 X9与Y1 Y2 Y16分别是取自X与Y的简单随机样本 求统计量 所服从的分布 解 例5 从而 例6设总体 的样本 为总体X 解 故 因此 例6 简单随机样本 是样本均值 则服从自由度为n 1的t分布的随机变量为 例7 故应选 B 解 补充作业 其样本均值为 求统计量 1 设为从正态总体X N 2 中抽取的简单随机样本 的数学期望E Y 习题 转后页 是来自正态总体的容量为n的两个样本均值 且两样本相互独立 试确定n 使两样本均值之差的绝对值超